Математика · 7 класс
Серединный перпендикуляр: свойства и геометрическое место, 7 класс
Равноудалённые точки, прямое и обратное свойства, поиск центра окружности. Объяснение условий и письменные доказательства.
Потренируйся самостоятельно
Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.
Без регистрации · ответы можно записывать в тетради
Родителю или репетитору — без имени и ответов.
Для преподавателя: выдать или распечатать набор
Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».
Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.
Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.
Равноудалённость и обратное свойство
Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.
Любая его точка равноудалена от концов отрезка. Обратно: всякая точка, равноудалённая от концов, принадлежит серединному перпендикуляру.
Центр окружности, проходящей через две точки, равноудалён от них. Для трёх не лежащих на одной прямой точек центр получают пересечением серединных перпендикуляров двух соединяющих отрезков.
Объясни и докажи
Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.
Докажи обратное свойство: если PA = PB и A ≠ B, то точка P лежит на серединном перпендикуляре к AB. Учти случай, когда P лежит на прямой AB.
Разбор и ориентиры для проверки
Если P ≠ M и P лежит на прямой AB, равенство расстояний невозможно; если P = M, точка принадлежит серединному перпендикуляру. Вне прямой AB используют равенство треугольников по трём сторонам либо свойство медианы равнобедренного треугольника. Допускаются другие корректные доказательства, но случай P = M нельзя пропустить.
Проверь: Для P вне прямой AB треугольники PMA и PMB (M — середина AB) равны по трём сторонам, поэтому углы при M прямые; на прямой AB от A и B равноудалена только середина M.
Серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажи, что серединный перпендикуляр к стороне AC тоже проходит через O.
Разбор и ориентиры для проверки
Нужны оба шага: равенство OA = OC из двух равенств и ссылка на обратное свойство серединного перпендикуляра. Итог: три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. Рисунок или измерение доказательством не является.
Проверь: OA = OB и OB = OC, поэтому OA = OC; по обратному свойству точка O лежит на серединном перпендикуляре к AC.
Докажи прямое свойство серединного перпендикуляра: любая его точка P равноудалена от концов A и B. Учти случай, когда P совпадает с точкой M пересечения перпендикуляра с AB.
Разбор и ориентиры для проверки
PM — общий катет, AM = BM, углы при M прямые. Нужны оба случая: при P = M треугольника нет, и ссылаться на признак равенства нельзя.
Проверь: При P ≠ M прямоугольные треугольники PMA и PMB равны по двум катетам; при P = M равенство PA = PB следует из определения середины.
Задания с ответами и объяснениями
Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.
Равноудалённость
Вырази две равные длины.
Точка P лежит на серединном перпендикуляре к AB. Сумма PA и PB равна 18 см. Найди PA в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
Точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка: PA = PB = 18 : 2 = 9 см.
P лежит на серединном перпендикуляре к AB, PA = (2x + 3) см, PB = (4x − 7) см. Найди x.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
P равноудалена от A и B: 2x + 3 = 4x − 7, откуда x = 5. Обе длины равны 13 см.
P лежит на серединном перпендикуляре к AB, PA + PB = 25 см. Найди PB в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 12,5
PA = PB, поэтому PB = 25 : 2 = 12,5 см.
AM = MB, PM ⊥ AB. Какая пара расстояний обязательно равна?
Варианты: 1) PA и PB; 2) PM и PA; 3) AB и PM
Ответ и объяснение
Ответ: PA и PB
P лежит на серединном перпендикуляре, значит равноудалена от A и B.
Обратное свойство
Сначала назови, от каких двух точек равноудалена данная точка, затем делай вывод.
M — середина отрезка AB. Для точек P, Q и R измерены расстояния: PA = PB = 6 см; QA = QM = 5 см; RM = RB = 4 см. Сколько из этих точек лежат на серединном перпендикуляре к AB?
Варианты: 1) Две; 2) Три; 3) Одна
Ответ и объяснение
Ответ: Одна
На серединном перпендикуляре к AB лежат точки, равноудалённые от концов A и B. Это только P: PA = PB. Q равноудалена от A и M, R — от M и B: они лежат на серединных перпендикулярах к AM и MB, а эти прямые параллельны серединному перпендикуляру к AB.
Сколько точек прямой AB равноудалены от точек A и B?
Варианты: 1) Ни одной; 2) Одна; 3) Две
Ответ и объяснение
Ответ: Одна
Точка прямой AB за концом отрезка ближе к этому концу, чем к другому: например, для точки P за B отрезок PA содержит PB и длиннее его. Поэтому равноудалённая точка лежит между A и B и делит AB пополам — это одна точка, середина отрезка. Она лежит и на серединном перпендикуляре.
Прямая m перпендикулярна отрезку AB и пересекает его в точке K, AK = 3 см, KB = 5 см. Точка P лежит на прямой m и не совпадает с K. Равны ли PA и PB?
Варианты: 1) Нет: точка K не является серединой AB; 2) Да: прямая m перпендикулярна AB; 3) Нет: PA = 3 см, а PB = 5 см
Ответ и объяснение
Ответ: Нет: точка K не является серединой AB
Равноудалены от A и B только точки серединного перпендикуляра, а он проходит через середину AB. Прямая m перпендикулярна AB, но пересекает её в точке K, где AK ≠ KB. Значит, m — не серединный перпендикуляр и PA ≠ PB. При этом PA и PB равны AK и KB, только когда P совпадает с K.
AB = 14 см. Точки P и Q лежат по разные стороны от прямой AB, PA = PB = 25 см, QA = QB = 15 см. Прямая PQ пересекает AB в точке M. Чему равен AM?
Варианты: 1) 8,75 см; 2) 7 см; 3) Нельзя найти без длины PQ
Ответ и объяснение
Ответ: 7 см
P и Q равноудалены от A и B, поэтому обе лежат на серединном перпендикуляре к AB. Через две точки проходит одна прямая, значит, PQ и есть этот перпендикуляр. Он проходит через середину AB: AM = 14 : 2 = 7 см. Длина PQ не нужна, а длины PA и QA не делят AB в отношении 25 : 15.
Центр окружности
Используй свойства серединного перпендикуляра и обоснуй вывод.
В треугольнике ABC угол C прямой. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке O. Где лежит O?
Варианты: 1) В вершине C; 2) Внутри треугольника; 3) На гипотенузе AB
Ответ и объяснение
Ответ: На гипотенузе AB
Медиана CM, проведённая к гипотенузе, равна её половине: CM = AM = MB. Значит, середина M гипотенузы равноудалена от A, B и C и лежит на всех трёх серединных перпендикулярах — это и есть точка O, она лежит на гипотенузе AB. Такая точка одна, поэтому O не может быть ни внутри треугольника, ни в вершине C.
Где лежат центры всех окружностей, проходящих через точки A и B?
Варианты: 1) На серединном перпендикуляре к AB, в любой его точке, включая середину AB; 2) На прямой AB; 3) На серединном перпендикуляре к AB, кроме середины AB
Ответ и объяснение
Ответ: На серединном перпендикуляре к AB, в любой его точке, включая середину AB
Центр O такой окружности удалён от A и B на радиус: OA = OB, поэтому лежит на серединном перпендикуляре к AB. Обратно, любая точка этого перпендикуляра равноудалена от A и B и служит центром такой окружности. Это верно и для середины AB: она — центр окружности с диаметром AB. На прямой AB подходит только эта середина.
A, B, C — три различные точки одной прямой. Существует ли окружность, проходящая через все три точки?
Варианты: 1) Да: её центр — середина отрезка AC; 2) Нет: ни одна точка не равноудалена от всех трёх; 3) Нет: серединные перпендикуляры к AB и BC пересекаются в точке B
Ответ и объяснение
Ответ: Нет: ни одна точка не равноудалена от всех трёх
Центр такой окружности был бы равноудалён от A, B и C, то есть лежал бы на серединных перпендикулярах к AB и BC. Эти прямые перпендикулярны одной прямой и проходят через разные точки, поэтому параллельны: общей точки у них нет, и через точку B они не проходят. Окружность с диаметром AC пересекает прямую только в точках A и C, поэтому через B не проходит.
O равноудалена от A, B и C. OA = 2,7 см. Найди диаметр окружности с центром O через эти точки в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 5,4
Окружность с центром O проходит через A, B и C, её радиус равен OA = 2,7 см. Диаметр равен двум радиусам: 2 · 2,7 = 5,4 см.
Вопросы о тренировке
Как записывать ответ?
Впиши число без единицы измерения. Единица названа в условии. Запятая и точка в десятичной дроби принимаются; точную дробь можно записать через черту или в дробные поля. Для нескольких решений читай, какое из них требуется в коротком ответе. Полный набор и обоснование проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.
Это подготовка к ВПР или ОГЭ?
Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.
Программа и границы проверки
Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 7 класса, с. 71; результаты, с. 73. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.
Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., «Математика. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень», Просвещение; четырнадцатое переработанное издание, строка 479 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. В пособии издательства «Математика. Геометрия. Тематическое планирование. 7–9 классы» к учебнику Л. С. Атанасяна и др. (Просвещение, 2023) свойства серединного перпендикуляра стоят в плане 7 класса, п. 40. Карточка учебника у издателя.
Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.
Другие темы для тренировки
Обыкновенные дроби · 5–6 классы · Задачи на проценты · 6 класс · Десятичные дроби · 5 класс · Линейные уравнения · 7 класс · Пропорции · 6 класс · Таблицы и столбчатые диаграммы · 5 класс · Статистические характеристики · 7 класс · Смежные и вертикальные углы · 7 класс · Признаки равенства треугольников · 7 класс · Подобие треугольников · 8 класс · Многочлены · 7 класс · Задачи на движение · 5 класс · Признаки делимости · 5–6 классы · НОД и НОК · 6 класс · Положительные и отрицательные числа · 6 класс · Степень с натуральным показателем · 7 класс · Формулы сокращённого умножения · 7 класс · Линейная функция · 7 класс · Системы уравнений · 7 класс · Рациональные дроби · 8 класс · Квадратные корни · 8 класс · Квадратные уравнения · 8 класс · Линейные неравенства · 8 класс · Теорема Пифагора · 8 класс · Площадь и периметр · 5 класс · Углы и транспортир · 5 класс · Классическая вероятность · 8 класс · Простые уравнения · 5 класс · Уравнения с дробями и числами со знаком · 6 класс · Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат · 8 класс · Трапеция · 8 класс · Равнобедренный треугольник · 7 класс · Площади треугольника и четырёхугольников · 8 класс · Частота события и случайный опыт · 7 класс · Графы: вершины, рёбра, пути · 7 класс · Множества и диаграммы Эйлера · 8 класс · Дерево опыта и вероятности · 8 класс · Разброс данных и диаграмма рассеивания · 8 класс · Натуральные числа и порядок действий · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 6 класс · Задачи на работу · 5 класс · Производительность и работа · 6 класс · Объём куба и параллелепипеда · 5 класс · Координатная плоскость · 6 класс · Осевая симметрия · 6 класс · Центральная симметрия · 6 класс · Окружность и круг · 6 класс · Целые показатели и стандартный вид · 8 класс · Дробно-рациональные уравнения · 8 класс · График y=x² · 7 класс · График y=x³ · 7 класс · Обратная пропорциональность · 8 класс · График квадратного корня · 8 класс · Параллельные прямые и секущая · 7 класс · Углы треугольника · 7 класс · Высота, медиана, биссектриса · 7 класс · Построения циркулем и линейкой · 7 класс · Хорды и диаметры · 7 класс · Касательная к окружности · 7 класс · Теорема Фалеса · 8 класс · Средние линии · 8 класс · Синус, косинус, тангенс · 8 класс · Центральные и вписанные углы · 8 класс · Деление в столбик · 4 класс · Таблица умножения · 3 класс · Умножение в столбик · 4 класс · Деление с остатком · 3 класс · Табличное деление · 3 класс · Сложение и вычитание в столбик · 3 класс · Состав числа и дополнение до 10 и 20 · 1 класс · Переход через десяток: дополнительно, 2 класс · 1 класс · Перевод единиц длины и массы · 3–4 классы · Текстовые задачи в два-три действия · 2–3 классы · Биквадратные уравнения · 9 класс · Квадратичная функция · 9 класс · Векторы и действия с ними · 9 класс · Метод координат · 9 класс · Системы нелинейных уравнений · 9 класс · Тригонометрия и теорема косинусов · 9 класс · Теорема синусов · 9 класс · Скалярное произведение · 9 класс · Арифметическая прогрессия · 9 класс · Геометрическая прогрессия · 9 класс · Сложные проценты · 9 класс · Функция y = |x| · 7 класс · Многоугольники, дуги и секторы · 9 класс · Движения плоскости · 9 класс · Порядок действий · 2–3 классы · Время и календарь · 3–4 классы · Разряды многозначных чисел · 4 класс · Перестановки и сочетания · 9 класс · Числовые последовательности · 9 класс · Квадратные неравенства и метод интервалов · 9 класс · Квадратный трёхчлен · 8 класс · Графики функций · 9 класс · Уравнения окружности и прямой · 9 класс · Геометрическая вероятность · 9 класс · Испытания Бернулли · 9 класс · Сравнение чисел · 1 класс · Сложение и вычитание до 10 · 1 класс · Сложение и вычитание до 100 · 2 класс · Сантиметр, дециметр, метр · 2 класс · Площадь прямоугольника · 3 класс · Доли величины · 3 класс · Скорость, время, расстояние · 4 класс · Периметр · 2 класс · Внетабличное умножение и деление · 3 класс · Неизвестный компонент · 3–4 классы · Масса и вместимость · 3–4 классы · Сложение и вычитание многозначных чисел · 4 класс · Доля и целое по доле · 4 класс · генератор математических примеров · все тренажёры для школьников · все бесплатные инструменты.