Трапеция: основания, углы и стороны — 8 класс

Какие данные использовать

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называют основаниями, две другие — боковыми сторонами. Если основания AD и BC, боковые стороны — AB и CD. Вершины A, B, C, D перечислены последовательно по границе.

При параллельных основаниях сумма углов при каждой боковой стороне равна 180°: ∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180°. Например, если угол при одной вершине боковой стороны равен 79°, второй равен 101°. Углы при одном основании у произвольной трапеции не обязаны быть равны.

Равнобокая трапеция (иначе — равнобедренная) — трапеция с равными боковыми сторонами. Её углы при каждом основании равны. Поэтому, зная один угол, можно найти остальные: сначала угол при том же основании, затем углы при другом основании.

Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой. Боковая сторона, образующая прямой угол с основанием, перпендикулярна и другому основанию. Поэтому у такой трапеции два прямых угла при одной боковой стороне.

Периметр — сумма длин всех четырёх сторон. У равнобокой трапеции из периметра можно вычесть оба основания и разделить остаток на 2, чтобы найти боковую сторону. Например, основания 9 см и 16 см, периметр 45 см: боковая сторона равна (45 − 9 − 16) : 2 = 10 см.

Отличай следствие данных от впечатления по схеме: если равенство боковых сторон не дано, нельзя считать трапецию равнобокой. Размеры бери из условия. Если сведений недостаточно, объясни, какой элемент остаётся неизвестным; два возможных случая с разными результатами подтверждают недостаточность.

Вернуться к тренажёру →

Объясни вывод и проверь данные

Эти задания требуют рассуждения и проверяются преподавателем. Числового ответа без обоснования недостаточно; допустимы другие верные способы решения.

1. Основания равнобокой трапеции равны 7 см и 15 см. Можно ли однозначно найти её периметр? Объясни ответ и приведи два возможных набора длин боковых сторон с разными периметрами.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Длины боковых сторон не заданы. Половина разности оснований равна 4 см; боковые стороны длиной 5 см или 6 см позволяют построить равнобокую трапецию с положительной высотой. Периметры различны: 7 + 15 + 5 + 5 = 32 см и 7 + 15 + 6 + 6 = 34 см. Полный ответ указывает недостающие длины, проверяет возможность двух случаев и сравнивает периметры. Допустимы другие непротиворечивые примеры; одно «нет» без обоснования неполно.

   Проверь: Нет. Например, боковые стороны 5 см и 5 см дают периметр 32 см, а 6 см и 6 см — 34 см.

2. В равнобокой трапеции ABCD основания AD и BC параллельны. ∠A = (2x + 10)°, ∠D = (3x − 20)°. Найди x и все углы трапеции. Объясни, почему нельзя складывать данные углы и приравнивать сумму к 180°.

   Разбор и ориентиры для проверки

   A и D — углы при одном основании AD. В равнобокой трапеции они равны: 2x + 10 = 3x − 20, откуда x = 30. Оба угла по 70°. Углы при каждой боковой стороне в сумме дают 180°, поэтому B и C по 110°. Полное решение различает углы при основании и при боковой стороне, записывает равенство и называет все четыре угла.

   Проверь: x = 30; ∠A = ∠D = 70°, ∠B = ∠C = 110°.

3. У трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, AB перпендикулярна AD. Ученик утверждает: «Два прямых угла означают, что это прямоугольник». Какие два угла здесь прямые? Верен ли вывод ученика? Обоснуй ответ и начерти подходящий пример.

   Разбор и ориентиры для проверки

   AB перпендикулярна AD, поэтому угол A прямой. Из параллельности AD и BC следует, что AB перпендикулярна BC, так что угол B также прямой. Но в трапеции вторая пара противоположных сторон не параллельна. Например, можно начертить прямоугольную трапецию с основаниями 10 см и 6 см и перпендикулярной им боковой стороной 3 см; два других угла не прямые. Полный ответ обосновывает оба прямых угла, объясняет отличие от прямоугольника и даёт непротиворечивый чертёж. Допустимы другие основания разной длины и положительная высота.

   Проверь: Прямые углы A и B; вывод о прямоугольнике неверен.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке