Математика · 7 класс

Параллельные прямые: свойства и признаки, 7 класс

Пары углов при секущей, расчёт при данных параллельных прямых и доказательство параллельности по углам. Свойства и признаки используются в разных задачах.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Свойство и признак — разные направления

При секущей сначала установи расположение углов: соответственные, накрест лежащие или односторонние. Одного равенства величин для названия пары недостаточно.

Если прямые параллельны, то соответственные и накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°. Это свойства данных параллельных прямых.

Обратные утверждения — признаки параллельности: равенство соответственных или накрест лежащих углов либо сумма 180° у внутренних односторонних позволяет доказать, что прямые параллельны.

Рисунок сам по себе не доказывает параллельность. Проверь, что углы образованы нужными двумя прямыми и одной секущей.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

Две прямые a и b пересечены секущей c. Внутренние односторонние углы относятся как 2 : 3, меньший из них равен 72°. Докажи, что a ∥ b. Выполни рисунок с этой парой углов.
Разбор и ориентиры для проверки
Одна часть 72° : 2 = 36°, больший угол 3 · 36° = 108°, сумма 72° + 108° = 180°. Нужны расположение пары на рисунке и признак (обратное утверждение), а не ссылка на свойство ещё не доказанных параллельных прямых.
Проверь: Больший угол 108°, сумма 72° + 108° = 180°; применён признак параллельности по внутренним односторонним углам.
Две прямые пересечены секущей. Соответственные углы равны (3x + 8)° и (5x − 32)°. При каком x можно доказать параллельность? Запиши основание и проверь допустимость углов.
Разбор и ориентиры для проверки
3x + 8 = 5x − 32, откуда x = 20. Оба угла равны 68°, это значение между 0° и 180°. Нужна именно соответственная пара.
Проверь: x = 20; оба угла по 68°, применён признак параллельности по соответственным углам.
Докажи: две различные прямые, перпендикулярные одной прямой на плоскости, параллельны. Покажи на рисунке подходящую пару углов.
Разбор и ориентиры для проверки
Данная прямая выступает секущей. Допускается доказательство через односторонние углы с суммой 180°. Одного внешнего вида рисунка недостаточно.
Проверь: Равные соответственные углы по 90°; признак параллельности.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Расположение углов

Пару определяет положение относительно прямых и секущей.

Две прямые пересечены секущей. Два угла имеют вершины в разных точках пересечения и лежат между прямыми по разные стороны секущей. Какая это пара?
Варианты: 1) Соответственные; 2) Внутренние односторонние; 3) Накрест лежащие
Ответ и объяснение
Ответ: Накрест лежащие
Расположение внутри полосы и по разные стороны секущей определяет накрест лежащие углы.
Какая пара является соответственными углами?
Варианты: 1) ∠1 и ∠5; 2) ∠3 и ∠5; 3) ∠3 и ∠6
Ответ и объяснение
Ответ: ∠1 и ∠5
Углы 1 и 5 занимают одинаковое положение при разных точках пересечения: оба над прямой и слева от секущей. Это соответственные углы.
Какая пара является внутренними односторонними углами?
Варианты: 1) ∠1 и ∠5; 2) ∠4 и ∠6; 3) ∠3 и ∠6
Ответ и объяснение
Ответ: ∠3 и ∠6
Углы 3 и 6 лежат между прямыми a и b, по одну сторону от секущей и при разных точках пересечения. Это внутренние односторонние углы.
Как называется пара углов 4 и 6?
Варианты: 1) Соответственные; 2) Накрест лежащие; 3) Внутренние односторонние
Ответ и объяснение
Ответ: Накрест лежащие
Углы 4 и 6 лежат между прямыми a и b, по разные стороны от секущей и при разных точках пересечения — это накрест лежащие углы. Односторонние лежали бы по одну сторону от секущей.

Потренировать эту тему →

Свойства параллельных

Параллельность уже дана.

Параллельные прямые пересечены секущей. Один из внутренних односторонних углов равен 68°. Найди другой в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 112
Если прямые параллельны, сумма внутренних односторонних углов равна 180°. Другой угол равен 180° − 68° = 112°.
Дано a ∥ b, угол 2 равен 107°. Найди угол 7 в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 73
Углы 2 и 6 соответственные, при a ∥ b они равны: ∠6 = ∠2 = 107°. Углы 6 и 7 смежные, поэтому ∠7 = 180° − 107° = 73°.
Дано a ∥ b, угол 3 равен 62°. Найди угол 6 в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 118
Углы 3 и 6 — внутренние односторонние: оба между прямыми a и b и по одну сторону от секущей. При a ∥ b их сумма равна 180°, поэтому ∠6 = 180° − 62° = 118°.
Дано a ∥ b, угол 1 равен 64°. Найди угол 6 в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 116
Угол 2 смежный с углом 1: ∠2 = 180° − 64° = 116°. При a ∥ b угол 6 равен углу 2 как соответственный: 116°.

Потренировать эту тему →

Признаки параллельности

Параллельность нужно получить из условий.

Две прямые пересечены секущей. Каких данных достаточно, чтобы доказать, что прямые параллельны?
Варианты: 1) Накрест лежащие углы равны 57° и 57°; 2) Внутренние односторонние углы равны 57° и 57°; 3) Два угла при одном пересечении равны 57° и 123°
Ответ и объяснение
Ответ: Накрест лежащие углы равны 57° и 57°
Равенство накрест лежащих углов — признак параллельности. Внутренние односторонние дают в сумме 57° + 57° = 114°, а не 180°. Два угла при одном пересечении — смежные, о второй прямой они ничего не говорят.
Угол 3 равен 82°, угол 5 равен 82°. Можно ли доказать a ∥ b?
Варианты: 1) Да: ∠3 и ∠5 — соответственные; 2) Нет: ∠3 и ∠5 — односторонние, их сумма не 180°; 3) Да: ∠3 и ∠5 — накрест лежащие
Ответ и объяснение
Ответ: Да: ∠3 и ∠5 — накрест лежащие
Углы 3 и 5 лежат между прямыми a и b по разные стороны от секущей — это накрест лежащие углы. Они равны, а равенство накрест лежащих углов — признак параллельности, поэтому a ∥ b. Соответственные углы занимают одинаковое положение при двух пересечениях, а односторонние лежат по одну сторону от секущей.
Угол 1 равен 70°, угол 6 равен 110°. Что следует?
Варианты: 1) a ∥ b: ∠5 = 70° = ∠1, а это соответственные углы; 2) a ∥ b: ∠1 и ∠6 — односторонние, их сумма 180°; 3) Не следует: ∠1 и ∠6 не образуют пары при секущей
Ответ и объяснение
Ответ: a ∥ b: ∠5 = 70° = ∠1, а это соответственные углы
Угол 5 смежный с углом 6: ∠5 = 180° − 110° = 70° = ∠1. Углы 1 и 5 соответственные, их равенство — признак параллельности, поэтому a ∥ b. Сами углы 1 и 6 не односторонние: угол 1 лежит вне полосы между a и b.
Углы 1 и 3 равны 68°. Достаточно ли этого для вывода a ∥ b?
Варианты: 1) Да: ∠1 и ∠3 — накрест лежащие углы; 2) Нет: ∠1 и ∠3 — вертикальные углы; 3) Нет: ∠1 и ∠3 — односторонние, а их сумма не 180°
Ответ и объяснение
Ответ: Нет: ∠1 и ∠3 — вертикальные углы
Углы 1 и 3 образованы прямой a и секущей при одной точке пересечения — это вертикальные углы. Они равны при любом положении прямой b и ничего о ней не говорят. Признаки используют пары углов при двух разных точках пересечения.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Впиши число без единицы измерения. Единица названа в условии. Запятая и точка в десятичной дроби принимаются; точную дробь можно записать через черту или в дробные поля. Для нескольких решений читай, какое из них требуется в коротком ответе. Полный набор и обоснование проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 7 класса, с. 70–71; результаты, с. 73. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., «Математика. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень», Просвещение; четырнадцатое переработанное издание, строка 479 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Свойство и признак — разные направления

Объясни и докажи

Задания с ответами и объяснениями

Расположение углов

Свойства параллельных

Признаки параллельности

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме