Положительные и отрицательные числа: 6 класс

Правила действий с положительными и отрицательными числами

Положительные числа расположены правее нуля, отрицательные — левее. Нуль не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам. Для координатной прямой выбирают начало отсчёта O, единичный отрезок и положительное направление; на наших рисунках оно направлено вправо.

На рисунке соседние риски расположены на одинаковом расстоянии. Между 0 и 1 — две части, значит, одна часть равна половине единицы. Точка K на четыре такие части левее нуля: её координата −2, а не −4. Не принимай каждую риску за целую единицу.

Противоположные числа отличаются только знаком: −6 и 6. Рациональное число можно представить дробью с целым числителем и натуральным знаменателем: −3 = −$\frac{\text{3}}{\text{1}}$, 0,5 = $\frac{\text{1}}{\text{2}}$. Отрицательное смешанное число $-3\frac{\text{1}}{\text{4}}$ означает −(3 + $\frac{\text{1}}{\text{4}}$) = −$\frac{\text{13}}{\text{4}}$.

Модуль числа — расстояние от начала отсчёта до точки с этой координатой. Поэтому |−6| = 6 и |6| = 6: модуль неотрицателен. Если модуль числа равен 4, возможны два числа: −4 и 4. Минус перед модулем действует после нахождения модуля: −|−9| = −9.

На координатной прямой больше то число, которое расположено правее. Любое отрицательное число меньше нуля и любого положительного. Из двух отрицательных меньше число с большим модулем: −7 < −2; −$\frac{\text{5}}{\text{6}}$ < −$\frac{\text{3}}{\text{4}}$, потому что $\frac{\text{5}}{\text{6}}$ = $\frac{\text{10}}{\text{12}}$ > $\frac{\text{9}}{\text{12}}$ = $\frac{\text{3}}{\text{4}}$.

Прибавить положительное число — переместиться вправо, отрицательное — влево. Например, из точки −3 сдвигаемся на 7 единичных отрезков вправо: −3 + 7 = 4. Чтобы сложить два отрицательных числа, складываем модули и ставим минус: −3 + (−5) = −8. При разных знаках из большего модуля вычитаем меньший и берём знак слагаемого с большим модулем: −7 + 2 = −5. Сумма противоположных чисел равна нулю.

Вычитание заменяем прибавлением противоположного числа: a − b = a + (−b). Например, −2 − (−9) = −2 + 9 = 7. Правило знаков произведения нельзя переносить на сумму: −2 + (−9) = −11, а не положительное число.

При умножении и делении сначала работаем с модулями. При одинаковых знаках результат положительный, при разных — отрицательный: (−4) · (−3) = 12; 12 : (−3) = −4. При делении на дробь умножаем на обратную: −$\frac{\text{2}}{\text{5}}$ : $\frac{\text{4}}{\text{15}}$ = −$\frac{\text{2}}{\text{5}}$ · $\frac{\text{15}}{\text{4}}$ = −$\frac{\text{3}}{\text{2}}$. Нуль, делённый на ненулевое число, даёт нуль. Делить на нуль нельзя.

В выражении сначала выполняем действия в скобках, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. Действия одной ступени выполняем слева направо. Набор посвящён основным действиям с рациональными числами; периодические дроби, уравнения с модулем и координатная плоскость отдельно не отрабатываются.

Вернуться к тренажёру →

Четыре письменные работы с разбором

Построй прямую и запиши решения в тетради или на печатном листе. Разбор содержит ориентиры, а не автоматическую оценку рассуждений; другие правильные способы принимаются.

1. Начерти координатную прямую, приняв две клетки за единичный отрезок. Отметь O(0), точку с координатой 1 и положительное направление. Построй A(−2,5), B($\frac{\text{3}}{\text{2}}$) и C(−1). Найди расстояние AB и сравни |−2,5| и |$\frac{\text{3}}{\text{2}}$|.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Одна клетка соответствует 0,5. Поэтому A(−2,5), C(−1), O(0), B(1,5) следуют слева направо. Между A и B восемь клеток, то есть 4 единичных отрезка. |−2,5| = 2,5, |1,5| = 1,5, первый модуль больше. Проверяем начало, направление, масштаб, положение точек и единицы расстояния.

   Проверь: A слева от O на 5 клеток, B справа на 3, C слева на 2; AB = 4 единичных отрезка; 2,5 > 1,5.

2. Расположи по возрастанию числа −$\frac{\text{3}}{\text{4}}$, −0,8, 0, $\frac{\text{2}}{\text{5}}$, −$\frac{\text{1}}{\text{2}}$. Обоснуй порядок и объясни ошибку: «Чем больше модуль отрицательного числа, тем больше само число».

   Разбор и ориентиры для проверки

   Переведём дроби: −$\frac{\text{3}}{\text{4}}$ = −0,75, −$\frac{\text{1}}{\text{2}}$ = −0,5, $\frac{\text{2}}{\text{5}}$ = 0,4. Среди отрицательных −0,8 левее −0,75 и −0,5, поэтому оно наименьшее. Все отрицательные меньше нуля, а 0,4 больше нуля. В ошибочном утверждении надо заменить последнее «больше» на «меньше». Можно обосновать и приведением дробей к общему знаменателю.

   Проверь: −0,8 < −$\frac{\text{3}}{\text{4}}$ < −$\frac{\text{1}}{\text{2}}$ < 0 < $\frac{\text{2}}{\text{5}}$; сравнение отрицательных чисел объяснено положением на прямой или сравнением модулей.

3. В 8 часов температура была −6 °C. К полудню она повысилась на 9 °C, а к вечеру понизилась на 5 °C. Найди температуру вечером и её изменение за всё время со знаком. Объясни, чем отличаются эти два ответа.

   Разбор и ориентиры для проверки

   1) −6 + 9 = 3 (°C) — в полдень. 2) 3 − 5 = −2 (°C) — вечером. 3) −2 − (−6) = 4 (°C) — изменение. Проверка: 9 + (−5) = 4, а −6 + 4 = −2. Температура осталась ниже нуля, но по сравнению с утром повысилась.

   Проверь: Вечером −2 °C; изменение +4 °C, то есть повышение на 4 °C. Конечное значение и изменение различены.

4. Вычисли ($-1\frac{\text{1}}{\text{2}}$ + $\frac{\text{3}}{\text{4}}$) : (−$\frac{\text{3}}{\text{8}}$) − 2. Запиши промежуточные действия, объясни знак частного и проверь деление умножением.

   Разбор и ориентиры для проверки

   $-1\frac{\text{1}}{\text{2}}$ = −$\frac{\text{3}}{\text{2}}$. В скобках −$\frac{\text{3}}{\text{2}}$ + $\frac{\text{3}}{\text{4}}$ = −$\frac{\text{6}}{\text{4}}$ + $\frac{\text{3}}{\text{4}}$ = −$\frac{\text{3}}{\text{4}}$. Частное двух отрицательных положительно: −$\frac{\text{3}}{\text{4}}$ : (−$\frac{\text{3}}{\text{8}}$) = $\frac{\text{3}}{\text{4}}$ · $\frac{\text{8}}{\text{3}}$ = 2. Проверка: 2 · (−$\frac{\text{3}}{\text{8}}$) = −$\frac{\text{3}}{\text{4}}$. Наконец 2 − 2 = 0.

   Проверь: 0; смешанное число преобразовано со знаком ко всему числу, сначала выполнены скобки, затем деление, затем вычитание; проверка частного показана.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке