Синус, косинус и тангенс острого угла, 8 класс

Отношения относительно выбранного угла

Гипотенуза лежит напротив прямого угла. Для выбранного острого угла различай противолежащий и прилежащий катеты.

Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе; косинус — прилежащего к гипотенузе; тангенс — противолежащего к прилежащему. При смене острого угла катеты меняются ролями.

Для острого угла 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1, tg α > 0. Выполняются sin² α + cos² α = 1 и tg α = $\frac{\text{sin α}}{\text{cos α}}$.

При точном ответе не заменяй дробь или корень десятичным приближением, если условие его не требует.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

1. Лестница длиной 10 м опирается на стену и образует с горизонтальным полом угол 30°. На какой высоте находится её верхний конец? Нарисуй модель и укажи предположения.

   Разбор и ориентиры для проверки

   $\frac{\text{h}}{\text{10}}$ = sin 30° = $\frac{\text{1}}{\text{2}}$, поэтому h = 5 м. Предполагаются вертикальная стена, горизонтальный пол и прямой жёсткий отрезок лестницы. Допустима теорема о катете напротив угла 30°. Угол с полом не подменяется углом со стеной.

   Проверь: 5 м; лестница — гипотенуза, высота — противолежащий катет.

2. В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, AC = 20 см, BC = 21 см. Найди sin A, cos A, tg A и соответствующие отношения для угла B. Проверь основное тригонометрическое тождество для угла A.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Сначала теорема Пифагора: AB² = 400 + 441 = 841, AB = 29 см. Катеты меняются ролями при смене угла. Проверка: $\frac{\text{441}}{\text{841}}$ + $\frac{\text{400}}{\text{841}}$ = 1; требуется точная запись.

   Проверь: AB = 29 см; для A: $\frac{\text{21}}{\text{29}}$, $\frac{\text{20}}{\text{29}}$, $\frac{\text{21}}{\text{20}}$; для B: $\frac{\text{20}}{\text{29}}$, $\frac{\text{21}}{\text{29}}$, $\frac{\text{20}}{\text{21}}$.

3. В прямоугольном треугольнике острый угол 60°, прилежащий катет 5 см. Найди гипотенузу и противолежащий катет точно. Обоснуй используемые значения отношений.

   Разбор и ориентиры для проверки

   cos 60° = $\frac{\text{1}}{\text{2}}$, поэтому гипотенуза 10 см. По теореме Пифагора второй катет $\sqrt{\text{100 − 25}}$ = $\sqrt{\text{75}}$ = $5\sqrt{\text{3}}$ см; можно и через tg 60° = $\sqrt{\text{3}}$. Допустимы обе точные формы с упрощением и вывод через половину равностороннего треугольника.

   Проверь: Гипотенуза 10 см, второй катет $5\sqrt{\text{3}}$ см.

4. Трос длиной 41 м натянут от земли к вершине вертикальной мачты. Точка крепления троса на земле находится в 9 м от основания мачты. Найди высоту мачты и синус угла между тросом и землёй. Укажи модель.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Мачта вертикальна, земля горизонтальна, трос считается прямым отрезком. По теореме Пифагора высота равна $\sqrt{\text{1681 − 81}}$ = $\sqrt{\text{1600}}$ = 40 м. Высота лежит против угла между тросом и землёй, поэтому синус равен $\frac{\text{40}}{\text{41}}$.

   Проверь: Высота 40 м, синус $\frac{\text{40}}{\text{41}}$.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке