Квадратичная функция: график, вершина и свойства

Как исследовать параболу

Для y = ax² + bx + c, a ≠ 0, абсцисса вершины h = −$\frac{\text{b}}{\text{2a}}$, ордината k = f(h). Ось симметрии — прямая x = h. Выделение полного квадрата даёт тот же результат.

Если a > 0, ветви направлены вверх и в вершине достигается минимум; если a < 0, ветви направлены вниз и достигается максимум. По разные стороны оси значения в равноудалённых точках совпадают.

На заданном отрезке проверь значения на обоих концах и в вершине, если её абсцисса входит в отрезок. Экстремум всей функции может оказаться вне этого отрезка.

Пересечения с Ox находят из f(x) = 0, с горизонталью y = d — из f(x) = d. На рисунке считай клетки от начала координат и учитывай масштаб осей.

Для построения отметь вершину и несколько симметричных точек, проведи плавную параболу. Таблица точек помогает построить график, но промежутки монотонности и множество значений нужно обосновать.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Исследуй f(x) = x² + 2x − 15: найди вершину, ось симметрии и нули. Построй график по вершине и симметричным точкам. Укажи область определения, множество значений и промежутки убывания и возрастания; обоснуй их.

   Разбор и ориентиры для проверки

   f(x) = (x + 1)² − 16; нули из (x + 1)² = 16. Например, точки (−4; −7), (−2; −15), (0; −15), (2; −7) симметричны относительно x = −1. Убывает на (−∞; −1], возрастает на [−1; +∞). Допустимо обозначать открытые промежутки монотонности с отдельным указанием вершины. Критерии: верные координаты и нули, масштаб и плавная кривая, минимум и отсутствие верхней границы, обоснование симметрии и монотонности; другие верные точки подходят.

   Проверь: Вершина (−1; −16), ось x = −1, нули −5 и 3; область определения — все действительные числа, значения от −16 включительно.

2. Вершина параболы — (−3; 7), график проходит через (−1; −1). Найди формулу квадратичной функции, запиши её в двух видах и сделай эскиз. Проверь оба условия.

   Разбор и ориентиры для проверки

   В вершинной форме y = a(x + 3)² + 7. Подстановка точки даёт −1 = 4a + 7, a = −2. Раскрытие скобок даёт −2x² − 12x − 11. Вершина и точка проверяются подстановкой; симметричная точка (−5; −1). Критерии: найден ненулевой коэффициент, формы равны, ветви вниз, эскиз соответствует данным, обе проверки выполнены.

   Проверь: y = −2(x + 3)² + 7 = −2x² − 12x − 11.

3. Ученик утверждает: «Наименьшее значение y = 2x² − 8x + 5 равно 5, потому что это свободный член». Проверь утверждение и исправь рассуждение. Найди точку, где достигается минимум.

   Разбор и ориентиры для проверки

   y = 2(x − 2)² − 3. Минимум достигается, когда квадрат равен нулю: x = 2, y = −3. Свободный член 5 показывает f(0), а не минимум. Критерии: дан контрпример или полное исследование, найден минимум и его аргумент, объяснена роль свободного члена. Формула вершины — равноценный способ.

   Проверь: Минимум −3 при x = 2; свободный член — значение при x = 0.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке