Сложные проценты: повторное изменение

Какая величина служит базой процента

При сложном начислении процент каждого периода берётся от текущей суммы. При простом начислении в этой теме каждый раз берут процент от начальной суммы.

Не складывай проценты разных периодов без проверки базы. Рост и последующее уменьшение на одинаковый процент применяются к разным величинам.

Запиши события по времени: сначала начисление или изменение, затем явно указанное пополнение либо снятие. Следующий период начинается с полученной суммы.

Ставка дана за один названный период; число полных периодов указано в вопросе. Округляй только в том месте, которое оговорено. В обратной задаче проверь найденное число прямым расчётом.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Учебная сумма 3000 рублей увеличивается на 8% ежегодно три года подряд. Запиши значения после каждого года, формулу итоговой суммы и общий процент прироста. Калькулятор разрешён; промежуточные результаты не округляй.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Итог 3000·1,08³ = 3779,136. Прирост относительно исходной суммы: (1,08³−1)·100% = 25,9712%. Это больше 24%, поскольку каждая новая база выросла. Критерии: три последовательных начисления, верная формула степени, процент от начальной суммы, отсутствие преждевременного округления; единицы указаны. Десятичные значения учебные, правило округления реальных денежных расчётов не подразумевается.

   Проверь: 3240; 3499,2; 3779,136 рубля. Общий прирост 25,9712%.

2. Величина выросла на 25%, а затем уменьшилась на 25%. Ученик считает, что она вернулась к исходной. Проверь рассуждение с переменной начальной величиной и с примером 800. Найди общий процент изменения.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Для начальной x>0 получаем x·1,25·0,75 = 0,9375x. Поэтому изменение −6,25%. Пример: 800→1000→750. Проценты считались от разных баз. Критерии: показаны обе базы, произведение коэффициентов и знак изменения, общий процент, проверка числом; простого утверждения «проценты не складываются» недостаточно.

   Проверь: Итог составляет 93,75% начальной величины; уменьшение 6,25%. Для 800 итог 750.

3. Учебная сумма 2500 рублей после двух ежегодных начислений по одной и той же положительной ставке стала 3600 рублей. Найди ставку и проверь оба года. Объясни, почему отрицательный корень промежуточного уравнения не подходит.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Если r — ставка в долях единицы, то (1+r)² = $\frac{\text{3600}}{\text{2500}}$ = 1,44. Коэффициент роста положителен и больше 1, поэтому 1+r = 1,2, r = 0,2. Корень −1,2 не описывает увеличение на положительный процент. Проверка: 2500·1,2 = 3000, 3000·1,2 = 3600. Критерии: модель двух периодов, извлечение корня с отбором, перевод доли в проценты, обе исходные проверки.

   Проверь: Ставка 20%; промежуточная сумма 3000 рублей.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке