Координаты вектора, расстояние и середина отрезка

Что проверить в решении

Перед вычислениями отметь на чертеже начало и конец вектора. Проверь, в какую сторону направлены его горизонтальная и вертикальная составляющие.

Различай точку, вектор и длину: координаты могут быть отрицательными, а длина — нет. В координатной паре первым стоит x, вторым y.

Для расстояния построй прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям, и примени теорему Пифагора. Сравни результат с чертежом.

Середина должна лежать на отрезке и делить его на равные части. В обратной задаче проверь найденный конец по этому свойству.

После вычислений объясни, какое свойство фигуры подтверждено: равенство длин, общая середина диагоналей или векторное равенство. Формулы и подстановки для проверки своего способа приведены в разборах после ответа.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. A(−6; 2), B(3; 14). Найди координаты векторов AB и BA, расстояние между точками и середину отрезка. Сделай чертёж и объясни, почему длины векторов равны.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Из конца вычитают начало: (3 + 6; 14 − 2). Длина $\sqrt{\text{81 + 144}}$ = 15. Середина ((−6 + 3) : 2; (2 + 14) : 2). Обратный вектор противоположен исходному, оба квадрата координат сохраняются. Критерии: верные пары в порядке x, y, оба знака, неотрицательная длина, середина, чертёж и объяснение. Для абсциссы середины −$\frac{\text{3}}{\text{2}}$ равнозначно −1,5.

   Проверь: $\overrightarrow{\text{AB}}$ = (9; 12), $\overrightarrow{\text{BA}}$ = (−9; −12), AB = 15, M(−1,5; 8).

2. Даны A(−2; 1), B(4; 3), C(2; 9), D(−4; 7). Докажи методом координат, что ABCD — параллелограмм. Сделай чертёж. Найди длину диагонали AC и координаты точки пересечения диагоналей.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Середина AC: ((−2 + 2) : 2; (1 + 9) : 2) = (0; 5). Середина BD: ((4 − 4) : 2; (3 + 7) : 2) = (0; 5). Диагонали делятся пополам, поэтому четырёхугольник — параллелограмм. AC = $\sqrt{\text{4² + 8²}}$ = $\sqrt{\text{80}}$ = $4\sqrt{\text{5}}$. Критерии: обе середины вычислены, применён признак, чертёж соблюдает порядок вершин, расстояние обосновано. Доказательство через равенство противоположных векторов также допустимо.

   Проверь: Середины AC и BD совпадают: (0; 5); AC = $4\sqrt{\text{5}}$.

3. Ученик для P(5; −4), Q(−3; 6) записал PQ = (5 + (−3); −4 + 6) и получил длину 2. Исправь обе части решения, объясни ошибки и проверь длину обратного вектора.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Координаты вектора — разности, а не суммы: (−3 − 5; 6 − (−4)). Длина равна $\sqrt{\text{(−8)² + 10²}}$; нельзя складывать координаты вместо суммы их квадратов под корнем. У $\overrightarrow{\text{QP}}$ координаты (8; −10), длина та же. Критерии: исправлены направление вычитания и формула длины, получен точный корень, объяснены обе ошибки; $\sqrt{\text{164}}$ допустимо.

   Проверь: $\overrightarrow{\text{PQ}}$ = (−8; 10); PQ = $\sqrt{\text{164}}$ = $2\sqrt{\text{41}}$.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке