UrokDesk
Войти

Математика · 7 класс

Признаки равенства треугольников: задачи для 7 класса

Три признака равенства треугольников: соответствие вершин, условия признака и выводы. 24 задания с объяснениями, шесть письменных доказательств и разборов ошибок, печать с ключами.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Три признака и порядок доказательства

Равные треугольники можно совместить наложением. При этом совпадают соответствующие вершины, стороны и углы. Порядок букв в записи равенства задаёт соответствие: в △UVW = △XYZ вершины U, V, W соответствуют X, Y, Z; сторона UW — стороне XZ. Поворот и отражение на рисунке не меняют равенство фигур.

Первый признак: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Сначала найди общую вершину двух известных сторон: именно при ней нужен угол. Произвольный другой угол нельзя просто подставить в этот признак.

Второй признак: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого, то треугольники равны. Прилежащие углы расположены при обоих концах выбранной стороны.

Третий признак: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, то треугольники равны. Согласуй соответствие всех трёх сторон: нельзя переставить вершину только в одном равенстве.

Чертёж помогает прочитать условие, но его вид и измерение линейкой не заменяют доказательство. Одинаковые штрихи обозначают равные отрезки. Общая сторона равна самой себе; вертикальные углы равны. Эти факты можно использовать вместе с данными условия — их нужно назвать в рассуждении.

Пример: для △UVW и △XYZ даны UV = XY = 4 см, VW = YZ = 6 см и ∠UVW = ∠XYZ = 50°. Углы находятся между указанными сторонами, поэтому △UVW = △XYZ по первому признаку. Теперь можно заключить UW = XZ. Числовую длину этих сторон по такой записи мы не нашли.

Оформляй доказательство по шагам: «Дано», «Доказать», затем равенства с основаниями, подходящий признак и вывод. Равенство соответствующих элементов выводят после доказанного равенства треугольников. Если данных для выбранного признака не хватает, это ещё не доказательство того, что фигуры не равны.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Письменная часть проверяет рассуждение. К каждому заданию сделай чертёж, запиши «Дано» и «Доказать» (или требуемый вывод), затем обоснуй каждый шаг. Ответы и критерии открываются после собственной попытки; автоматической оценки доказательства нет.

  1. В треугольниках RPS и LKM известны RP = LK, RS = LM, ∠PRS = ∠KLM. Докажи PS = KM. Отдельно объясни, почему равенство этих сторон нельзя использовать как исходное условие.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Дано: RP = LK, RS = LM, ∠PRS = ∠KLM. Доказать: PS = KM. Указанные углы лежат между равными сторонами. По первому признаку △RPS = △LKM, значит соответствующие стороны PS и KM равны. Использовать PS = KM до этого шага означало бы принять требуемое за известное. Полный ответ содержит все основания и замечание об ошибке; один верный итог без доказательства — неполный ответ.

    Проверь: Нужны две заданные пары сторон, угол между ними, первый признак и вывод о соответствующих сторонах. Искомое равенство не считается данным.

  2. В четырёхугольнике ABCD вершины B и D лежат по разные стороны диагонали AC. Дано ∠BAC = ∠DCA, ∠BCA = ∠DAC. Докажи AB = CD и BC = DA. Выполни свой чертёж.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Дано: две пары углов и диагональ AC. Доказать: AB = CD, BC = DA. AC = CA как общий отрезок. Заданные углы прилегают к этой стороне. Поэтому △BAC = △DCA по второму признаку. При соответствии B↔D, A↔C, C↔A получаем AB = CD и BC = DA. Возможна другая согласованная запись равенства треугольников. Если назван признак, но отсутствуют основание общей стороны или один из выводов, решение неполное.

    Проверь: Общая сторона AC, обе пары прилежащих углов, второй признак, согласованный порядок △BAC = △DCA и оба вывода.

  3. На схеме отмечены AB = AD, BC = DC; AC — общая сторона. Докажи ∠BAC = ∠CAD. Опирайся на данные, а не на вид рисунка. В четырёхугольнике ABCD проведена диагональ AC. B и D по разные стороны AC. AB и AD отмечены одним штрихом, BC и DC — двумя. AC — один общий отрезок двух треугольников.ABCDСхема, не для измерений

    Разбор и ориентиры для проверки

    Дано: AB = AD, BC = DC. Доказать: ∠BAC = ∠CAD. Дополнительно AC = AC как общая сторона. △ABC = △ADC по третьему признаку. Значит, углы BAC и DAC равны; DAC и CAD — названия одного угла. Полное решение называет все три основания и соответствие. Видимая симметрия или измерение на рисунке доказательства не заменяют.

    Проверь: Три пары сторон, включая общую AC, третий признак и равенство соответствующих углов при A.

  4. Отрезки KM и LN пересекаются в O, причём O находится между концами каждого отрезка. Дано KO = OM, LO = ON. Докажи KL = MN и ∠KLO = ∠MNO. Выполни чертёж и назови основания двух выводов.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Дано: KO = OM, LO = ON и пересечение отрезков. Доказать: KL = MN, ∠KLO = ∠MNO. ∠KOL = ∠MON как вертикальные. По первому признаку △KOL = △MON. Отсюда KL = MN и ∠KLO = ∠MNO как соответствующие элементы равных треугольников. Полный ответ обосновывает вертикальность из расположения точек и содержит оба вывода. Один рисунок или один из двух выводов даёт лишь часть решения.

    Проверь: Вертикальные углы KOL и MON, две пары сторон, первый признак для △KOL и △MON, два соответствующих элемента.

  5. Ученик утверждает: «Если периметры треугольников равны, то и треугольники равны». Даны два треугольника со сторонами 5 см, 5 см, 6 см и 6 см, 6 см, 4 см. Используй их, чтобы проверить утверждение.

    Разбор и ориентиры для проверки

    5 + 5 + 6 = 16 см и 6 + 6 + 4 = 16 см. Однако среди сторон первого треугольника нет стороны 4 см, которая есть у второго. Значит, нельзя установить равенство всех соответствующих сторон, обязательное для равных фигур. Утверждение опровергнуто контрпримером. Полный ответ включает оба вычисления и объяснение неравенства фигур; одной разницы наборов чисел без связи со сторонами недостаточно.

    Проверь: Оба периметра равны 16 см, но треугольники не равны: стороне 4 см второго не соответствует равная сторона первого. Равенство периметров не является признаком.

  6. В △ABC дано AB = AC. Точка D лежит на стороне BC, BD = DC. Требуется доказать ∠BAD = ∠CAD. Ученик пишет: «Эти углы равны, поэтому △BAD = △CAD по двум сторонам и углу между ними. Значит, углы BAD и CAD равны». Найди ошибку и исправь доказательство.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Ученик принял требуемое равенство углов за данное, поэтому рассуждение замкнулось. Корректно: BA = CA и BD = CD по условию, AD = AD как общая сторона. △BAD = △CAD по третьему признаку; значит, ∠BAD = ∠CAD. Полный ответ и объясняет ошибку, и восстанавливает доказательство с тремя основаниями. Называть только номер признака недостаточно.

    Проверь: В начале использован доказываемый факт. Нужно применить третий признак: BA = CA, BD = CD, AD — общая сторона; затем вывести равенство углов.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Соответствие вершин и элементов

Учитывай порядок букв и отметки, а не положение фигуры на листе.

  1. В записи △RST = △UVX вершины указаны в соответствующем порядке. Какая сторона второго треугольника соответствует стороне ST? Запиши две латинские буквы.

    Ответ и объяснение

    Ответ: VX или XV

    S соответствует V, T соответствует X. Поэтому стороне ST соответствует VX; XV обозначает тот же отрезок.

  2. Одинаковые штрихи обозначают равные стороны. Заполни запись △BCA = △___: впиши три латинские буквы в соответствующем порядке. Два треугольника: ABC и DEF. Стороны AB и DE отмечены одним штрихом, AC и DF — двумя, BC и EF — тремя. Одинаковые отметки обозначают равные стороны.ABCDEFСхема, не для измерений

    Ответ и объяснение

    Ответ: EFD

    Вершина B соединяет стороны с одним и тремя штрихами, как E; C — с двумя и тремя, как F; A — с одним и двумя, как D. Три пары сторон равны, поэтому по третьему признаку △BCA = △EFD.

  3. Дано △RST = △NPK. Какой угол второго треугольника соответствует углу RTS? Впиши три латинские буквы без знака угла.

    Ответ и объяснение

    Ответ: NKP или PKN

    В угле RTS вершина T стоит посередине. Ей соответствует K, вершинам R и S — N и P. Угол NKP можно также назвать PKN.

  4. Треугольники показаны в разном положении; одинаковые штрихи обозначают равные стороны. Заполни △CBA = △___ тремя латинскими буквами. Треугольники ABC и KLM показаны в разной ориентации. Одним штрихом отмечены AB и KL, двумя — AC и KM, тремя — BC и LM. Одинаковые отметки обозначают равные стороны.ABCKLMСхема, не для измерений

    Ответ и объяснение

    Ответ: MLK

    По отметкам C соответствует M, B — L, A — K. Три пары сторон равны. В порядке CBA соответствующий треугольник записывается MLK.

  5. Известно △DEF = △ABC; DE = 11 см, EF = 13 см, DF = 15 см. Найди AC. Запиши число в сантиметрах.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 15

    D соответствует A, F соответствует C, поэтому AC = DF = 15 см. EF соответствует BC, а не AC.

  6. Дано △KLM = △RST. Заполни запись △MKL = △___ тремя латинскими буквами в соответствующем порядке.

    Ответ и объяснение

    Ответ: TRS

    Соответствие K↔R, L↔S, M↔T сохраняется. Порядку M, K, L отвечает T, R, S.

  7. Известно △BCD = △KLM. Заполни ∠CBD = ∠___ тремя латинскими буквами без знака угла.

    Ответ и объяснение

    Ответ: LKM или MKL

    Вершина угла CBD — B, ей соответствует K. Лучам BC и BD соответствуют KL и KM, поэтому нужен угол LKM (MKL).

  8. В записи △PQR = △XYZ вершины сопоставлены по порядку. Какой вывод соответствует этой записи?

    Варианты: 1) PQ = XZ; 2) ∠PRQ = ∠XZY; 3) QR = XY

    Ответ и объяснение

    Ответ: ∠PRQ = ∠XZY

    P↔X, Q↔Y, R↔Z. Угол PRQ при R соответствует XZY при Z. Стороне PQ соответствует XY, а QR — YZ.

Потренировать эту тему →

Каких условий достаточно

Найди нужные три равенства и проверь, где расположен угол или сторона.

  1. Дано AB = DE и AC = DF. Какое дополнительное условие позволяет непосредственно применить признак по двум сторонам и углу между ними?

    Варианты: 1) ∠ABC = ∠DEF; 2) ∠BCA = ∠EFD; 3) ∠BAC = ∠EDF

    Ответ и объяснение

    Ответ: ∠BAC = ∠EDF

    Общая вершина AB и AC — A, поэтому нужен угол BAC. Для DE и DF общая вершина D, нужен угол EDF. Другие предложенные углы не лежат между названными сторонами.

  2. Дано AB = KL, ∠BAC = ∠LKM. Для применения признака по стороне и двум прилежащим углам нужно ещё ∠ABC = ∠___. Впиши три латинские буквы.

    Ответ и объяснение

    Ответ: KLM или MLK

    К стороне AB прилегают углы при A и B, к KL — при K и L. Нужен угол при L: KLM (MLK).

  3. Дано PQ = KL и PR = KM. Чтобы доказать △PQR = △KLM по трём сторонам, нужно добавить QR = ___. Впиши две латинские буквы.

    Ответ и объяснение

    Ответ: LM или ML

    P соответствует K, Q — L, R — M. Третья пара — QR и LM; ML обозначает тот же отрезок.

  4. Дано MN = RS, ∠PMN = ∠TRS и ∠PNM = ∠TSR. Какой признак непосредственно применим?

    Варианты: 1) По стороне и двум прилежащим углам; 2) По двум сторонам и углу между ними; 3) По трём сторонам

    Ответ и объяснение

    Ответ: По стороне и двум прилежащим углам

    MN и RS — равные стороны. Даны равные углы при M и R, а также при N и S, то есть при обоих концах этих сторон. Это второй признак.

  5. Для △FGH и △KLM даны FG = KL, GH = LM и HF = MK. На каком основании можно заключить, что эти треугольники равны?

    Варианты: 1) По двум сторонам; 2) По трём сторонам; 3) По стороне и двум углам

    Ответ и объяснение

    Ответ: По трём сторонам

    Указаны все три пары соответствующих сторон: F↔K, G↔L, H↔M. Применим третий признак; равенство углов заранее не требуется.

  6. Ученик знает только RT = NP и RS = NK. Он заключает: «△RTS = △NPK по двум сторонам». Как оценить доказательство?

    Варианты: 1) Оно доказывает, что треугольники не равны; 2) Оно верно по первому признаку; 3) Равенство пока не доказано: двух сторон недостаточно

    Ответ и объяснение

    Ответ: Равенство пока не доказано: двух сторон недостаточно

    В первом признаке нужен ещё угол между этими сторонами. Без него такой переход не обоснован. Но это не доказывает неравенство фигур: они могут оказаться равными.

  7. Два треугольника имеют соответственно равные углы. Никаких длин или равенств сторон не дано. Доказано ли, что треугольники равны?

    Варианты: 1) Да, по трём углам; 2) Нет: одинаковые углы не задают размер треугольника; 3) Да, по второму признаку

    Ответ и объяснение

    Ответ: Нет: одинаковые углы не задают размер треугольника

    Равенство углов без равной стороны не является признаком равенства. Например, можно увеличить треугольную фигуру, сохранив её углы; длины сторон изменятся. Во втором признаке обязательно равенство выбранных сторон.

  8. Отрезки AB и AC перпендикулярны; DE и DF тоже перпендикулярны. Известно AB = DE и AC = DF. Какое рассуждение доказывает △ABC = △DEF?

    Варианты: 1) Углы A и D прямые и находятся между равными сторонами: применим первый признак; 2) Треугольники равны, потому что у каждого есть прямой угол; 3) Из перпендикулярности сразу следует BC = EF, значит применим третий признак

    Ответ и объяснение

    Ответ: Углы A и D прямые и находятся между равными сторонами: применим первый признак

    ∠BAC = ∠EDF = 90° по перпендикулярности. Это углы между двумя данными парами равных сторон, поэтому применим первый признак. Один прямой угол без равенства сторон недостаточен.

Потренировать эту тему →

От признака к выводу

Сначала обоснуй равенство треугольников, затем найди соответствующий элемент.

  1. Отрезки AC и BD пересекаются в O; O находится между концами обоих отрезков. Отмечены AO = OC и BO = OD. AB = 9 см. Найди CD. Запиши число в сантиметрах. Отрезки AC и BD пересекаются в O, O между концами обоих отрезков. AO и OC отмечены одним штрихом, BO и OD — двумя. Проведены стороны AB и CD.AOCBDСхема, не для измерений

    Ответ и объяснение

    Ответ: 9

    ∠AOB = ∠COD как вертикальные. △AOB = △COD по двум сторонам и углу между ними, поэтому соответствующие стороны AB и CD равны. CD = 9 см.

  2. В △LMN и △PQR известно LM = PQ, MN = QR и ∠LMN = ∠PQR. LN = 6,4 см. Найди PR. Запиши число в сантиметрах.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 6,4

    Углы при M и Q лежат между указанными парами сторон. △LMN = △PQR по первому признаку, поэтому PR = LN = 6,4 см.

  3. Дано AB = KL, AC = KM и ∠BAC = ∠LKM. ∠ACB = 37°. Найди ∠KML. Запиши число в градусах.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 37

    △ABC = △KLM по двум сторонам и углу между ними. Вершине C соответствует M, поэтому ∠KML = ∠ACB = 37°.

  4. Дано PQ = AB, QR = BC и PR = AC. ∠QPR = 58°. Найди ∠BAC. Запиши число в градусах.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 58

    △PQR = △ABC по трём сторонам. Вершине P соответствует A; угол QPR соответствует BAC, поэтому искомый угол равен 58°.

  5. Дано DE = KL, ∠FDE = ∠MKL и ∠FED = ∠MLK. Стороны △DEF равны 7 см, 10 см и 12 см. Найди периметр △KLM. Запиши число в сантиметрах.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 29

    Углы прилегают к равным сторонам DE и KL, поэтому △DEF = △KLM по второму признаку. Соответствующие стороны равны, значит и периметры равны: 7 + 10 + 12 = 29 см.

  6. Треугольники KLP и KMP имеют общую сторону KP; KL = KM, LP = MP. ∠LKP = 43°. Найди ∠MKP. Запиши число в градусах.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 43

    KP = KP как общая сторона. Вместе с KL = KM и LP = MP это даёт △KLP = △KMP по третьему признаку. Соответствующие углы LKP и MKP равны: 43°.

  7. Дано AB = CD, BC = DE, AC = CE. Отсюда △ABC = △CDE по трём сторонам. Какой вывод верен именно при этом соответствии?

    Варианты: 1) ∠ABC = ∠CDE; 2) AB = CE; 3) ∠BAC = ∠DEC

    Ответ и объяснение

    Ответ: ∠ABC = ∠CDE

    В записи △ABC = △CDE вершины A↔C, B↔D, C↔E. Поэтому углу ABC при B соответствует CDE при D. Другие равенства из указанного соответствия не следуют.

  8. Дано △RST = △KLM. RT = 2x + 1 см, KM = 19 см. Найди x. Запиши число.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 9

    RT и KM — соответствующие стороны, значит 2x + 1 = 19. Тогда 2x = 18, x = 9. Проверка: 2 · 9 + 1 = 19.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Для стороны запиши две латинские буквы: оба направления обозначают один отрезок. В обозначении угла вершина должна быть посередине. При заполнении записи равных треугольников порядок букв существенен. В числовых заданиях впиши число без единицы и знака градуса. Доказательства проверяются по письменным критериям. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: геометрия 7 класса: содержание, с. 70–71; результаты, с. 72–73; работа с чертежами и признаками равенства, с. 76–77. Дата сверки — 30 сентября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., «Математика. Геометрия. 7–9 классы», базовый уровень, Просвещение, 14-е переработанное издание и его последующие выпуски. Содержание — по ФРП. Общие приёмы работы с чертежами и доказательством сверены с открытым фрагментом методических рекомендаций издательства 2026 года. Целевой параграф действующего ученического издания в открытом доступе не прочитан. Задания авторские; подобие и сумма углов треугольника здесь не используются.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 30 сентября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Обыкновенные дроби · 5–6 классы · Задачи на проценты · 6 класс · Десятичные дроби · 5 класс · Линейные уравнения · 7 класс · Пропорции · 6 класс · Таблицы и столбчатые диаграммы · 5 класс · Статистические характеристики · 7 класс · Смежные и вертикальные углы · 7 класс · Подобие треугольников · 8 класс · Многочлены · 7 класс · Задачи на движение · 5 класс · Признаки делимости · 5–6 классы · НОД и НОК · 6 класс · Положительные и отрицательные числа · 6 класс · Степень с натуральным показателем · 7 класс · Формулы сокращённого умножения · 7 класс · Линейная функция · 7 класс · Системы уравнений · 7 класс · Рациональные дроби · 8 класс · Квадратные корни · 8 класс · Квадратные уравнения · 8 класс · Линейные неравенства · 8 класс · Теорема Пифагора · 8 класс · Площадь и периметр · 5 класс · Углы и транспортир · 5 класс · Классическая вероятность · 8 класс · Простые уравнения · 5 класс · Уравнения с дробями и числами со знаком · 6 класс · Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат · 8 класс · Трапеция · 8 класс · Равнобедренный треугольник · 7 класс · Площади треугольника и четырёхугольников · 8 класс · Частота события и случайный опыт · 7 класс · Графы: вершины, рёбра, пути · 7 класс · Множества и диаграммы Эйлера · 8 класс · Дерево опыта и вероятности · 8 класс · Разброс данных и диаграмма рассеивания · 8 класс · Натуральные числа и порядок действий · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 6 класс · Задачи на работу · 5 класс · Производительность и работа · 6 класс · Объём куба и параллелепипеда · 5 класс · Координатная плоскость · 6 класс · Осевая симметрия · 6 класс · Центральная симметрия · 6 класс · Окружность и круг · 6 класс · Целые показатели и стандартный вид · 8 класс · Дробно-рациональные уравнения · 8 класс · График y=x² · 7 класс · График y=x³ · 7 класс · Обратная пропорциональность · 8 класс · График квадратного корня · 8 класс · Параллельные прямые и секущая · 7 класс · Углы треугольника · 7 класс · Высота, медиана, биссектриса · 7 класс · Построения циркулем и линейкой · 7 класс · Хорды и диаметры · 7 класс · Касательная к окружности · 7 класс · Серединный перпендикуляр · 7 класс · Теорема Фалеса · 8 класс · Средние линии · 8 класс · Синус, косинус, тангенс · 8 класс · Центральные и вписанные углы · 8 класс · Деление в столбик · 4 класс · Таблица умножения · 3 класс · Умножение в столбик · 4 класс · Деление с остатком · 3 класс · Табличное деление · 3 класс · Сложение и вычитание в столбик · 3 класс · Состав числа и дополнение до 10 и 20 · 1 класс · Переход через десяток: дополнительно, 2 класс · 1 класс · Перевод единиц длины и массы · 3–4 классы · Текстовые задачи в два-три действия · 2–3 классы · Биквадратные уравнения · 9 класс · Квадратичная функция · 9 класс · Векторы и действия с ними · 9 класс · Метод координат · 9 класс · Системы нелинейных уравнений · 9 класс · Тригонометрия и теорема косинусов · 9 класс · Теорема синусов · 9 класс · Скалярное произведение · 9 класс · Арифметическая прогрессия · 9 класс · Геометрическая прогрессия · 9 класс · Сложные проценты · 9 класс · Функция y = |x| · 7 класс · Многоугольники, дуги и секторы · 9 класс · Движения плоскости · 9 класс · Порядок действий · 2–3 классы · Время и календарь · 3–4 классы · Разряды многозначных чисел · 4 класс · Перестановки и сочетания · 9 класс · Числовые последовательности · 9 класс · Квадратные неравенства и метод интервалов · 9 класс · Квадратный трёхчлен · 8 класс · Графики функций · 9 класс · Уравнения окружности и прямой · 9 класс · Геометрическая вероятность · 9 класс · Испытания Бернулли · 9 класс · Сравнение чисел · 1 класс · Сложение и вычитание до 10 · 1 класс · Сложение и вычитание до 100 · 2 класс · Сантиметр, дециметр, метр · 2 класс · Площадь прямоугольника · 3 класс · Доли величины · 3 класс · Скорость, время, расстояние · 4 класс · Периметр · 2 класс · Внетабличное умножение и деление · 3 класс · Неизвестный компонент · 3–4 классы · Масса и вместимость · 3–4 классы · Сложение и вычитание многозначных чисел · 4 класс · Доля и целое по доле · 4 класс · генератор математических примеров · все тренажёры для школьников · все бесплатные инструменты.