Углы от 0° до 180° и теорема косинусов

Проверь угол и противоположную сторону

Различай значение функции и угол. Угол лежит в диапазоне условия; при выборе знака учти, острый он, прямой или тупой.

Определения на единичной полуокружности и основное тригонометрическое тождество помогают проверить результат. Перед делением убедись, что знаменатель не равен нулю.

Начерти треугольник, отметь две известные стороны и угол между ними. В теореме косинусов искомая сторона лежит напротив этого угла.

При поиске угла сопоставь его с противоположной стороной и восстанови угол по значению косинуса. Сравни величины углов с длинами противолежащих сторон: большему углу соответствует большая сторона.

Проверь неравенство треугольника и диапазон значений косинуса. Отрицательная длина и косинус вне допустимого диапазона означают ошибку или невозможность исходных данных.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. На единичной полуокружности объясни определения sin α, cos α и tg α. Найди их при α = 0°, 90°, 180° и объясни, где тангенс не определён. Обоснуй знак косинуса тупого угла.

   Разбор и ориентиры для проверки

   При 0° точка (1; 0): sin = 0, cos = 1, tg = 0. При 90° точка (0; 1): sin = 1, cos = 0, tg не определён. При 180° точка (−1; 0): sin = 0, cos = −1, tg = 0. Точка тупого угла слева от Oy, поэтому её абсцисса отрицательна. Критерии: полуокружность и координаты, три набора значений с исключением деления на ноль, геометрическое обоснование знака.

   Проверь: Синус — ордината, косинус — абсцисса точки; тангенс — их отношение при ненулевой абсциссе.

2. В треугольнике ABC AB = 6 см, AC = 9 см, угол BAC = 60°. Сделай чертёж, найди BC и косинус угла ABC. Проверь, что найденная сторона подходит треугольнику.

   Разбор и ориентиры для проверки

   BC² = 36 + 81 − 108 · 0,5 = 63. cos B = $\frac{\text{AB² + BC² − AC²}}{\text{2 · AB · BC}}$ = $\frac{\text{36 + 63 − 81}}{\text{36}\sqrt{\text{7}}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{2}\sqrt{\text{7}}}$ = $\frac{\sqrt{\text{7}}}{\text{14}}$. Угол B острый. Неравенство 3 < $3\sqrt{\text{7}}$ < 15 выполняется. Критерии: угол между AB и AC, сторона напротив него, точная длина, правильное сопоставление стороны AC углу B, положительный косинус и проверка существования.

   Проверь: BC = $3\sqrt{\text{7}}$ см; cos B = $\frac{\text{1}}{\text{2}\sqrt{\text{7}}}$ = $\frac{\sqrt{\text{7}}}{\text{14}}$.

3. Ученик считает, что существует треугольник со сторонами 2, 3 и 6 см, и пытается найти косинус угла напротив 6 см. Проверь данные двумя способами и объясни результат.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Сумма двух меньших сторон меньше третьей, поэтому треугольник не существует. Формальная подстановка дала бы $\frac{\text{4 + 9 − 36}}{\text{12}}$ = −$\frac{\text{23}}{\text{12}}$ < −1, что не может быть косинусом действительного угла. Критерии: обе проверки, объяснение невозможности данных, отсутствие попытки присвоить этому числу угол.

   Проверь: Такого треугольника нет: 2 + 3 < 6; формальное значение косинуса −$\frac{\text{23}}{\text{12}}$ недопустимо.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке