Математика · 10 класс

Формула полной вероятности и дерево опыта — 10 класс

Восстанавливай веса ветвей, находи источник результата и считай вероятность после переноса шара. 16 коротких заданий и две письменные работы по вероятности и статистике 10 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Веса источников и пути к результату

Первый уровень дерева должен разбивать все исходы на непересекающиеся источники: в опыте выбирается ровно один из них. Их вероятности в сумме равны 1. Для каждого источника условные вероятности следующих ветвей также дают 1.

Вероятность полного пути равна произведению вероятности источника и условной вероятности действия в нём. Полная вероятность результата равна сумме вероятностей всех путей, которые приводят к нему. Если спрашивают противоположный результат, используй соответствующие ветви или дополнение.

В обратной задаче неизвестен вес источника или вероятность внутри него. Запиши ту же сумму путей с неизвестным, реши уравнение и проверь найденное значение подстановкой. Не заменяй выбор источника равновозможным выбором всех предметов из общей урны.

Если результат уже известен, пространство исходов меняется. Вероятность его источника равна вероятности совместного события «источник и результат», делённой на полную вероятность результата. При переносе предмета сначала обнови состав второй урны в каждой ветви.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

В коробке A семь красных и три синих шара, в коробке B два красных и шесть синих. В опыте I выбирают A с вероятностью 0,3 или B с вероятностью 0,7 и вынимают один равновозможный шар из выбранной коробки. В опыте II все шары пересыпают в один мешок и равновозможно выбирают один. Для опыта I построй дерево с четырьмя конечными путями, найди их вероятности и вероятность красного. Для опыта II найди вероятность красного. Объясни различие моделей.
Разбор и ориентиры для проверки
I: внутри A вероятность красного $\frac{7}{10}$ , внутри B — $\frac{2}{8}$ ; пути умножаются на веса 0,3 и 0,7. II: красных девять из восемнадцати. Критерии: все четыре пути указаны и дают сумму 1, полная вероятность I получена по двум красным путям, общая урна II использует равновозможность отдельных шаров; объяснено, что в I шары разных коробок не имеют одинаковых вероятностей выбора.
Проверь: Конечные пути I: A–красный 0,21; A–синий 0,09; B–красный 0,175; B–синий 0,525. Красный: в I — 0,385, в II — 0,5.
Урну A или B выбирают случайным способом, затем берут один шар. Вероятность белого внутри A равна 0,8, внутри B — 0,3; в каждой урне только белые и чёрные шары. Полная вероятность белого равна 0,5. Восстанови вероятность выбора A, построй дерево всех четырёх конечных путей и проверь данные. Если вынут белый шар, найди вероятность выбора A и объясни, почему она отличается от первоначального веса.
Разбор и ориентиры для проверки
Из 0,8x + 0,3(1 − x) = 0,5 следует x = 0,4. Проверка: сумма путей 1, белых 0,32 + 0,18 = 0,5. После известного белого оставляем только два белых пути и делим 0,32 на 0,5. Критерии: уравнение правильно связывает веса и внутриветвевые вероятности; четыре вероятности неотрицательны и воспроизводят условие; обратная условная вероятность имеет знаменатель 0,5, различие весов объяснено новым условием.
Проверь: Вес A — 0,4, B — 0,6. Пути A–белый 0,32; A–чёрный 0,08; B–белый 0,18; B–чёрный 0,42. P(A | белый) = 0,64.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Выбери нужные пути

Учитывай вес источника и событие внутри него.

Коробку A выбирают с вероятностью 0,3, B — с вероятностью 0,7. В выбранной коробке случайно берут один билет: вероятность выигрыша в A равна 0,6, в B — 0,2. Найди вероятность проигрыша. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,68
Вероятности проигрыша внутри A и B равны 0,4 и 0,8. Полная вероятность 0,3 · 0,4 + 0,7 · 0,8 = 0,68.
Доля деталей линии A в общей партии равна 0,65, линии B — 0,35. Вероятность годности при известной линии равна соответственно 0,96 и 0,88. Из партии случайно выбирают одну деталь. Найди вероятность дефекта. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,068
Для линии A дефект имеет вероятность 0,04, для B — 0,12. Полная вероятность 0,65 · 0,04 + 0,35 · 0,12 = 0,026 + 0,042 = 0,068.
Выбирают одну из трёх урн: A с вероятностью 0,2, B — 0,5, C — 0,3. В каждой только белые и чёрные шары; вероятность белого при случайном выборе из A равна 0,7, из B — 0,4, из C — 0,1. После выбора урны вынимают один шар. Найди вероятность чёрного. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,63
Чёрный получается по трём непересекающимся путям. Их сумма 0,2 · 0,3 + 0,5 · 0,6 + 0,3 · 0,9 = 0,06 + 0,3 + 0,27 = 0,63.
Установку A выбирают с вероятностью 0,45, B — с вероятностью 0,55. Она выпускает одну деталь: вероятность пройти проверку размера в A равна 0,7, в B — 0,3. Найди вероятность, что деталь не пройдёт проверку. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,52
Для отказа нужны ветви с вероятностями 0,3 и 0,7. Сумма путей 0,45 · 0,3 + 0,55 · 0,7 = 0,135 + 0,385 = 0,52.

Потренировать эту тему →

Восстанови неизвестную ветвь

Из общей вероятности восстанови недостающий параметр.

Сначала выбирают коробку A или B, затем случайный билет из выбранной коробки. Вероятность выигрыша внутри A равна 0,7, внутри B — 0,3. Общая вероятность выигрыша равна 0,438. Найди вероятность выбора A. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,345
Пусть вес A равен x, тогда вес B равен 1 − x. Уравнение 0,7x + 0,3(1 − x) = 0,438 даёт 0,4x = 0,138 и x = 0,345. Подстановка: 0,7 · 0,345 + 0,3 · 0,655 = 0,438.
Деталь выбирают из партии, состоящей из продукции линий A и B. Вероятность брака при известной линии равна 0,04 для A и 0,12 для B. Общая вероятность брака равна 0,09. Найди долю линии A в партии. Запиши долю десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,375
Для доли x линии A получаем 0,04x + 0,12(1 − x) = 0,09. Отсюда 0,08x = 0,03, x = 0,375. Остаток 0,625 даёт долю B.
Урну A или B выбирают случайным способом, затем из неё вынимают один шар. Вероятность красного в A равна 0,2, в B — 0,55. Полная вероятность красного равна 0,41. Найди вероятность выбора A. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,4
Если вес A равен x, то 0,2x + 0,55(1 − x) = 0,41. Значит 0,35x = 0,14 и x = 0,4; проверка: 0,08 + 0,33 = 0,41.
Коробку A выбирают с вероятностью 0,25, B — 0,75, затем берут один случайный билет. В B вероятность выигрыша равна 0,22. Общая вероятность выигрыша равна 0,34. Найди вероятность выигрыша внутри A. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,7
Пусть вероятность в A равна p. Тогда 0,25p + 0,75 · 0,22 = 0,34. Получаем 0,25p = 0,175, p = 0,7.

Потренировать эту тему →

Найди источник результата

Общее событие становится условием нового вопроса.

Коробку A выбирают с вероятностью 0,4, B — 0,6. Вероятность красного шара внутри A равна 0,75, внутри B — 0,25. После выбора коробки вынули один шар, он оказался красным. Найди вероятность выбора A при этом условии. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{2}{3}$
Путь A–красный имеет вероятность 0,4 · 0,75 = 0,3. Полная вероятность красного 0,3 + 0,6 · 0,25 = 0,45. Условная вероятность 0,3 : 0,45 = $\frac{2}{3}$ .
В партии 70% деталей линии A и 30% линии B. Для A вероятность брака равна 0,02, для B — 0,07. Случайная деталь оказалась бракованной. Найди вероятность, что она изготовлена линией B. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,6
Совместная вероятность B и брака равна 0,3 · 0,07 = 0,021. Полная вероятность брака 0,7 · 0,02 + 0,021 = 0,035. Доля пути B среди бракованных равна 0,021 : 0,035 = 0,6.
Сначала выбирают лотерею A с вероятностью 0,2 или B с вероятностью 0,8, затем один случайный билет. Вероятность выигрыша внутри A равна 0,9, внутри B — 0,4. Билет оказался пустым. Найди вероятность, что выбрали A. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,04
Путь A–пустой имеет вероятность 0,2 · 0,1 = 0,02. Полная вероятность пустого 0,02 + 0,8 · 0,6 = 0,5. Условная вероятность A равна 0,02 : 0,5 = 0,04.
Коробку A выбирают с вероятностью 0,6, B — 0,4. Вероятность выигрыша внутри A равна 0,5, внутри B — 0,2. Из выбранной коробки взят один случайный билет, он выигрышный. Найди вероятность выбора B при этом условии. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{4}{19}$
Путь B–выигрыш имеет вероятность 0,08. Все выигрышные пути дают 0,6 · 0,5 + 0,08 = 0,38. Условная вероятность B равна 0,08 : 0,38 = $\frac{4}{19}$ .

Потренировать эту тему →

Измени состав внутри ветви

Учитывай возвращение или перенос отдельно для каждого пути.

Урну A выбирают с вероятностью 0,4, B — 0,6. В A два красных и три синих шара, в B четыре красных и два синих. Из выбранной урны случайно вынимают два шара подряд без возвращения, каждый оставшийся равновозможен. Найди вероятность двух красных. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,28
В A вероятность двух красных равна $\frac{2}{5}$ · $\frac{1}{4}$ = 0,1; в B — $\frac{4}{6}$ · $\frac{3}{5}$ = 0,4. Полная вероятность 0,4 · 0,1 + 0,6 · 0,4 = 0,28.
В урне A пять красных и три синих шара, в урне B два красных и три синих. Один равновозможный шар из A переносят в B, затем из B вынимают один равновозможный шар. Найди вероятность, что вынутый из B шар красный. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,4375
Красный переносится с вероятностью $\frac{5}{8}$ ; после него красных в B три из шести. После синего переноса красных два из шести. Полная вероятность $\frac{5}{8}$ · $\frac{3}{6}$ + $\frac{3}{8}$ · $\frac{2}{6}$ = $\frac{21}{48}$ = 0,4375.
Коробку A или B выбирают равновозможно. Вероятность выигрыша одного случайного билета в A равна 0,4, в B — 0,7. Из выбранной коробки берут два билета: после первого выбора билет возвращают и перемешивают, выборы внутри коробки независимы. Найди вероятность ровно одного выигрыша. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,45
В A ровно один выигрыш имеет вероятность 2 · 0,4 · 0,6 = 0,48, в B — 2 · 0,7 · 0,3 = 0,42. Вес каждого источника 0,5, поэтому полная вероятность 0,5 · 0,48 + 0,5 · 0,42 = 0,45. Коробку между билетами не меняют.
Случайная деталь проходит первичный тест с вероятностью 0,8. Прошедшую отправляют на проверку A, где её принимают с условной вероятностью 0,96; не прошедшую — на проверку B, где принимают с условной вероятностью 0,35. Найди общую вероятность окончательного принятия. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,838
Окончательное принятие возможно по двум путям: прошла–A и не прошла–B. Их вероятности 0,8 · 0,96 и 0,2 · 0,35; сумма 0,768 + 0,07 = 0,838.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Дай краткий числовой ответ. Вероятность записывай десятичной дробью, а там, где это прямо указано, — обыкновенной. Математически равные точные записи принимаются; десятичная точка также принимается. Автопроверка оценивает ответ; дерево и объяснение запиши в тетради. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: курс «Вероятность и статистика», 10 класс: содержание с.57, результаты с.58, тематическое планирование с.60. Дерево случайного эксперимента и формула полной вероятности.. Дата сверки — 11 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП. Учебник из федерального перечня № 436, № 1.1.3.7.1.1: Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», базовый и углублённый уровни, Просвещение. ФПУ № 436 от 22.06.2026, позиция 695. Подача ветвей опыта сверена с законным издательским планированием Т.А. Бурмистровой, 2020, с.41, §69 (умножение вероятностей); отдельный параграф о полной вероятности и целевые страницы учебника не прочитаны. Полная вероятность и класс подтверждены ФРП 2025; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 11 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Веса источников и пути к результату

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Выбери нужные пути

Восстанови неизвестную ветвь

Найди источник результата

Измени состав внутри ветви

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме