Математика · 10 класс

Случайные опыты и классическая вероятность — 10 класс

Выбирай равновозможные исходы, считай вероятность составного опыта и восстанавливай состав лотереи. 16 коротких заданий и две письменные работы по вероятности и статистике 10 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

От условий опыта к равновозможным исходам

Сначала установи, что выбирается случайно и что фиксируется. Равновозможность отдельных исходов должна следовать из модели: например, все отдельные билеты одинаково вероятны. Разные надписи на билетах могут встречаться неодинаковое число раз.

Для конечной равновозможной модели вероятность события равна отношению числа благоприятных элементарных исходов к числу всех элементарных исходов. Знаменатель и числитель считай в одной модели: оба по упорядоченным исходам или оба по неупорядоченным.

При укрупнении результатов считай, сколько элементарных исходов приводит к каждому результату. Значения суммы или максимума двух костей не становятся равновозможными только потому, что перечислены в один список.

Возвращение предмета меняет множество возможных исходов следующего выбора. Для обратной задачи запиши отношение с неизвестным количеством, реши равенство и проверь, что полученный состав возможен.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Две различимые правильные кости с числами 1–5 бросают независимо. Составь таблицу всех пар. Для каждого возможного значения меньшего из двух чисел посчитай число благоприятных пар и его вероятность. Объясни, почему пять значений минимума нельзя считать равновозможными. Проверь сумму вероятностей.
Разбор и ориентиры для проверки
Всего 25 пар; минимум k даёт 2 · (5 − k) + 1 пар. Критерии: таблица содержит все упорядоченные пары, для каждого минимума верно посчитана кратность, вероятности получены делением на 25, сумма равна 1. Допустим последовательный подсчёт по строкам; важна равновозможность пар, а не значений минимума.
Проверь: Для минимумов 1, 2, 3, 4, 5 числа пар соответственно 9, 7, 5, 3, 1; вероятности 0,36; 0,28; 0,2; 0,12; 0,04.
В урне шесть отдельных жетонов: три с надписью 2, два с надписью 4 и один с надписью 7. В опыте A случайно выбирают один отдельный жетон. В опыте B равновозможно выбирают одну из трёх разных надписей. Для каждого опыта найди вероятность надписи больше 3 и объясни, в каком месте ученик ошибся, получив одинаковые вероятности в двух опытах.
Разбор и ориентиры для проверки
A: подходят три отдельных жетона из шести. B: подходят две надписи из трёх. Критерии: разные пространства равновозможных исходов названы явно, оба отношения и точные вероятности верны, объяснено, почему повторённые надписи меняют кратность в A. Деление по трём надписям в A без их вероятностей неверно.
Проверь: В опыте A вероятность 0,5; в B — $\frac{2}{3}$ .

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Укрупнённый результат

В каждой задаче самостоятельно выбери элементарные исходы.

Две различимые правильные четырёхгранные кости с числами 1–4 бросают независимо. Найди вероятность, что большее из двух выпавших чисел равно 3. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,3125
Всего 4 · 4 = 16 упорядоченных пар. Максимум 3 имеют пары (3;1), (3;2), (3;3), (1;3), (2;3): пять исходов. Вероятность 5 : 16 = 0,3125.
Две различимые правильные шестигранные кости бросают независимо. Найди вероятность, что разность большего и меньшего числа очков равна 4. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{1}{9}$
Событию благоприятствуют (1;5), (5;1), (2;6), (6;2). Всего 36 равновозможных пар, поэтому вероятность $\frac{4}{36}$ = $\frac{1}{9}$ .
Симметричную монету независимо бросают четыре раза и записывают последовательность результатов. Найди вероятность, что результаты первого и четвёртого бросков различаются. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,5
Всего 16 равновозможных последовательностей. Для разных крайних результатов есть два выбора крайних букв и четыре выбора двух средних: 8 последовательностей. Вероятность 8 : 16 = 0,5.
Среди 100 билетов с надписями 00, 01, …, 99 случайно выбирают один; все отдельные билеты равновозможны. Найди вероятность, что сумма двух цифр надписи равна 5. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,06
Подходят шесть билетов: 05, 14, 23, 32, 41, 50. Их вероятность 6 : 100 = 0,06; число разных возможных сумм не служит знаменателем.

Потренировать эту тему →

Выбор нескольких предметов

Учитывай заданные порядок и возвращение.

Из десяти билетов с номерами 1–10 случайно выбирают два разных билета без возвращения; все неупорядоченные пары равновозможны. Найди вероятность нечётной суммы номеров. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{5}{9}$
Нечётная сумма получается при одном чётном и одном нечётном номере: 5 · 5 = 25 пар. Всего $\frac{10 · 9}{2}$ = 45 пар. Вероятность $\frac{25}{45}$ = $\frac{5}{9}$ .
Из шести отдельных лотерейных билетов два выигрышные. Случайно выбирают два разных билета без возвращения, все неупорядоченные пары равновозможны. Найди вероятность ровно одного выигрышного билета. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{8}{15}$
Выигрышный можно выбрать двумя способами, пустой — четырьмя: 8 пар. Всего $\frac{6 · 5}{2}$ = 15 пар. Вероятность $\frac{8}{15}$ ; пара из двух выигрышных не подходит.
В урне пять жетонов с разными номерами 1–5. Случайно вынимают два подряд без возвращения и фиксируют порядок. Найди вероятность, что номер первого меньше номера второго. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,5
Всего 5 · 4 = 20 упорядоченных исходов. Для каждой пары разных номеров один порядок возрастающий, другой убывающий; благоприятны 10 исходов. Вероятность 10 : 20 = 0,5.
В урне четыре красных и шесть синих отдельных шаров. Случайно выбирают два без возвращения, каждая неупорядоченная пара одинаково вероятна. Найди вероятность разных цветов. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{8}{15}$
Разноцветных пар 4 · 6 = 24. Всего $\frac{10 · 9}{2}$ = 45 пар. Вероятность $\frac{24}{45}$ = $\frac{8}{15}$ . Число цветов не определяет вероятность.

Потренировать эту тему →

Восстанови состав

Запиши равенство для вероятности и проверь найденное количество.

В лотерее 15 отдельных билетов, из них 6 выигрышных. Добавили только пустые билеты. После этого вероятность выиграть при равновозможном выборе одного билета стала 0,3. Сколько билетов добавили? Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
Если добавили x пустых билетов, $\frac{6}{15+x}$ = 0,3. Всего стало 20 билетов, значит добавлено 20 − 15 = 5.
В лотерее было 20 отдельных билетов. Убрали четыре пустых билета, не меняя выигрышные. Вероятность выиграть при равновозможном выборе одного из оставшихся стала 0,625. Сколько выигрышных билетов было первоначально? Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
Осталось 16 билетов, поэтому выигрышных 16 · 0,625 = 10. Их количество не менялось при удалении пустых.
В урне только синие и красные шары, все отдельные шары выбираются с одинаковой вероятностью. Синих 4; вероятность выбрать синий равна 0,25. Сколько красных шаров в урне? Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 12
Всего 4 : 0,25 = 16 шаров. Красных 16 − 4 = 12; вопрос не о полном количестве.
В лотерее 3 выигрышных билета и несколько пустых. Каждый отдельный билет выбирается с одинаковой вероятностью, вероятность выигрыша равна 0,375. Сколько пустых билетов? Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
Полное количество 3 : 0,375 = 8. Пустых 8 − 3 = 5.

Потренировать эту тему →

Различи модели результата

Не считай разные надписи равновозможными без проверки.

На восьми одинаковых на ощупь карточках надписи 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3. Случайно выбирают одну карточку. Найди вероятность чётной надписи. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,25
Равновозможны восемь отдельных карточек. Чётную надпись 2 имеют две карточки, вероятность 2 : 8 = 0,25. Три разных надписи не равновозможны.
В мешочке пять отдельных жетонов с надписями 0, 0, 1, 1, 1. Дважды случайно выбирают жетон, каждый раз возвращая его и перемешивая. Найди вероятность, что сумма надписей равна 1. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,48
Всего 25 равновозможных упорядоченных пар отдельных жетонов. Сумма 1 получается в 2 · 3 + 3 · 2 = 12 парах. Вероятность 12 : 25 = 0,48.
В коробке пять отдельных жетонов с надписями 1, 1, 1, 2, 3. Два жетона случайно выбирают без возвращения; каждая неупорядоченная пара равновозможна. Найди вероятность суммы 4. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{3}{10}$
Всего $\frac{5 · 4}{2}$ = 10 пар отдельных жетонов. Сумму 4 дают три жетона с надписью 1 в паре с жетоном 3: три пары. Единственный жетон 2 нельзя выбрать дважды. Вероятность $\frac{3}{10}$ ; разные надписи не образуют равновозможных исходов.
Симметричную монету независимо бросают три раза. Результатом опыта называют число смен стороны между соседними бросками: например, ООР даёт одну смену. Найди вероятность ровно двух смен. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,25
Из восьми равновозможных последовательностей две смены дают ОРО и РОР. Вероятность 2 : 8 = 0,25. Возможные числа смен 0, 1, 2 не равновозможны.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Дай краткий числовой ответ. Вероятность записывай десятичной дробью, а там, где это прямо указано, — обыкновенной. Математически равные точные записи принимаются; десятичная точка также принимается. При бесконечной десятичной записи используй точную обыкновенную дробь. Автопроверка оценивает ответ, обоснование модели запиши в тетради. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: курс «Вероятность и статистика», 10 класс: содержание с.57, результаты с.58, тематическое планирование с.59–60. Равновозможные элементарные исходы и формулирование условий случайного опыта.. Дата сверки — 11 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП. Учебник из федерального перечня № 436, № 1.1.3.7.1.1: Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», базовый и углублённый уровни, Просвещение. ФПУ № 436 от 22.06.2026, позиция 695. Учебные действия сверены с законным издательским планированием Т.А. Бурмистровой, 2020, с. 41, §§65–67; целевые параграфы учебника не прочитаны. Класс установлен по ФРП 2025; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 11 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

От условий опыта к равновозможным исходам

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Укрупнённый результат

Выбор нескольких предметов

Восстанови состав

Различи модели результата

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме