Математика · 10 класс

Иррациональные неравенства: область корня и знак второй части

Решай неравенства с квадратными корнями: согласуй область допустимых значений и знак второй части, найди промежутки. Практика с объяснениями и письменные работы для печати.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

При выдаче проверим вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Когда допустимо возвести в квадрат

Сначала запиши ОДЗ: подкоренное выражение каждого квадратного корня должно быть неотрицательным. Арифметический квадратный корень сам неотрицателен.

Если корень меньше второй части, выясни знак этой части. Для строгого неравенства она должна быть положительной, для нестрогого — неотрицательной. На этой области сравнение квадратов сохраняет направление знака.

Если корень больше второй части, не теряй случай, где вторая часть отрицательна: на ОДЗ исходное неравенство там уже верно. Для неотрицательной второй части сравни квадраты. При равенстве второй части нулю проверь строгий или нестрогий знак отдельно либо сохрани его при сравнении квадратов.

Если сравниваются два квадратных корня, на общей ОДЗ можно сравнить подкоренные выражения с тем же знаком неравенства.

Пересекай ограничения внутри каждого случая, затем объединяй полученные части ответа. Проверь конечные границы в исходном неравенстве. Целые значения отбирай из полного множества решений.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Реши $\sqrt{x + 12}$ ≤ x. Обоснуй ограничения до возведения в квадрат, укажи полное множество решений и проверь его конечную границу.
Разбор и ориентиры для проверки
ОДЗ x ≥ −12. Для нестрогого сравнения необходимо x ≥ 0. Тогда квадрат даёт x + 12 ≤ x², то есть (x − 4)⁠(x + 3) ≥ 0. С учётом x ≥ 0 остаётся x ≥ 4. При x = 4 получаем 4 ≤ 4, граница включена. Критерии: ОДЗ; условие знака второй части; верное квадратное неравенство; отбор и граница. Допустимо другое равносильное обоснование без потери ограничений.
Проверь: [4; +∞).
Реши $\sqrt{10 − x}$ > x − 4. Ученик сразу возвёл обе части в квадрат и получил 1 < x < 6. Покажи, какую часть ответа он потерял, восстанови полное решение и проверь границы.
Разбор и ориентиры для проверки
ОДЗ x ≤ 10. При x < 4 правая часть отрицательна, все такие x подходят. При x ≥ 4 после квадрата (x − 1)⁠(x − 6) < 0, эта ветвь даёт [4; 6). Объединение x < 6. Значение 6 даёт равенство 2 = 2 и не входит. В сравнении с ошибочным (1; 6) потеряны все x ≤ 1: например, при x = 1 имеем 3 > −3. Критерии: ОДЗ; разбор знака; обе ветви и объединение; строгая граница; обоснование потерянных решений. Другое равносильное рассуждение допустимо.
Проверь: (−∞; 6); потеряны все x ≤ 1.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Корень и постоянная

Согласуй допустимость корня с указанным сравнением.

Сколько целых решений имеет неравенство $\sqrt{2x + 7}$ < 5? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 12
Нужно 2x + 7 ≥ 0, а после возведения в квадрат 2x + 7 < 25. Значит −3,5 ≤ x < 9. Целые −3, −2, …, 8: всего 12.
Найди наибольшее целое решение неравенства $\sqrt{14 − 3x}$ ≥ 2. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
ОДЗ x ≤ $\frac{14}{3}$ . Сравнение квадратов даёт 14 − 3x ≥ 4, то есть x ≤ $\frac{10}{3}$ . Это условие сильнее ОДЗ. Наибольшее целое решение 3.
Найди наименьшее целое решение неравенства $\sqrt{5x − 1}$ ≤ 3. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
ОДЗ x ≥ $\frac{1}{5}$ . После квадрата x ≤ 2. Решение [ $\frac{1}{5}$ ; 2], наименьшее целое 1.
Реши $\sqrt{x + 8}$ < 0. Выбери полное множество решений.
Варианты: 1) (−∞; −8); 2) {−8}; 3) ∅; 4) [−8; +∞)
Ответ и объяснение
Ответ: ∅
Арифметический квадратный корень на ОДЗ x ≥ −8 неотрицателен. Меньше нуля быть не может: решений нет, ∅.

Потренировать эту тему →

Корень меньше второй части

Проверь знак второй части прежде, чем сравнивать квадраты.

Найди наименьшее целое решение неравенства $\sqrt{x + 6}$ < x. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
ОДЗ x ≥ −6. Необходимо x > 0. После квадрата x + 6 < x², то есть (x − 3)⁠(x + 2) > 0. С условием x > 0 остаётся x > 3. Наименьшее целое 4.
Сколько целых чисел из отрезка [−2; 3] удовлетворяют $\sqrt{3x + 4}$ ≤ x + 2? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
ОДЗ x ≥ − $\frac{4}{3}$ ; также нужно x ≥ −2. После квадрата x(x + 1) ≥ 0. Решение [− $\frac{4}{3}$ ; −1] ∪ [0; +∞). На отрезке подходят −1, 0, 1, 2, 3 — всего 5.
Найди наибольшее целое решение неравенства $\sqrt{2x + 3}$ < 3 − x. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
ОДЗ x ≥ −1,5; правая часть положительна при x < 3. После квадрата x² − 8x + 6 > 0. Корни 4 − $\sqrt{10}$ и 4 + $\sqrt{10}$ . После отбора −1,5 ≤ x < 4 − $\sqrt{10}$ . Верхняя граница между 0 и 1, наибольшее целое 0.
Реши $\sqrt{x − 1}$ ≤ x − 3. Выбери полное множество решений.
Варианты: 1) [1; 2] ∪ [5; +∞); 2) [2; 5]; 3) (5; +∞); 4) [5; +∞)
Ответ и объяснение
Ответ: [5; +∞)
ОДЗ x ≥ 1, вторая часть неотрицательна при x ≥ 3. После квадрата (x − 2)⁠(x − 5) ≥ 0. С ограничением x ≥ 3 остаётся [5; +∞); при 5 обе части равны 2.

Потренировать эту тему →

Корень больше второй части

Разбери знак выражения, с которым сравнивается корень.

Сколько целых чисел из отрезка [−6; 6] удовлетворяют $\sqrt{x + 5}$ ≥ x − 1? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
ОДЗ x ≥ −5. При x < 1 правая часть отрицательна и неравенство верно. При x ≥ 1 возводим в квадрат: x + 5 ≥ (x − 1)², то есть (x − 4)⁠(x + 1) ≤ 0. Здесь получаем [1; 4]. Объединение [−5; 4]. На заданном отрезке это 10 целых чисел.
Найди сумму всех целых решений неравенства $\sqrt{x − 2}$ > x − 4. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 14
ОДЗ x ≥ 2. При x < 4 неравенство верно: [2; 4). При x ≥ 4 после квадрата (x − 3)⁠(x − 6) < 0, эта ветвь даёт [4; 6). Полное решение [2; 6). Целые 2, 3, 4, 5; сумма 14.
Сколько целых чисел из отрезка [−5; 8] удовлетворяют $\sqrt{2x + 8}$ ≥ x − 2? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 11
ОДЗ x ≥ −4. При x < 2 неравенство верно. При x ≥ 2 после квадрата x² − 6x − 4 ≤ 0, эта ветвь даёт [2; 3 + $\sqrt{13}$ ]. Всё решение [−4; 3 + $\sqrt{13}$ ]. Верхняя граница между 6 и 7, поэтому целые от −4 до 6 — всего 11.
Реши $\sqrt{x + 4}$ > x − 2. Выбери полное множество решений.
Варианты: 1) [−4; 5); 2) (−4; 5); 3) (0; 5); 4) [2; 5)
Ответ и объяснение
Ответ: [−4; 5)
ОДЗ x ≥ −4. При x < 2 неравенство верно. При x ≥ 2 сравнение квадратов даёт x(x − 5) < 0, то есть здесь [2; 5). Объединение [−4; 5). Нижний конец подходит, верхний даёт равенство и исключён.

Потренировать эту тему →

Два квадратных корня

Учти обе области определения до сравнения радикандов.

Сколько целых решений имеет неравенство $\sqrt{3x + 1}$ ≤ $\sqrt{x + 7}$ ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Общая ОДЗ: x ≥ − $\frac{1}{3}$ . Сравнение радикандов: 3x + 1 ≤ x + 7, поэтому x ≤ 3. Решение [− $\frac{1}{3}$ ; 3], целые 0, 1, 2, 3 — всего 4.
Найди наименьшее целое решение неравенства $\sqrt{x² − 5x + 6}$ > $\sqrt{2x − 4}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Общая ОДЗ: x = 2 или x ≥ 3. Сравнение радикандов даёт (x − 2)⁠(x − 5) > 0. После отбора x > 5, наименьшее целое 6.
Сколько целых решений имеет неравенство $\sqrt{6 − x}$ ≥ $\sqrt{x + 2}$ ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
Общая ОДЗ: −2 ≤ x ≤ 6. Сравнение радикандов даёт 6 − x ≥ x + 2, то есть x ≤ 2. Решение [−2; 2], пять целых чисел: −2, −1, 0, 1, 2.
Реши $\sqrt{x² − 1}$ ≤ $\sqrt{3x + 3}$ . Выбери полное множество решений.
Варианты: 1) [−1; 4]; 2) {−1} ∪ [1; 4]; 3) [1; 4]; 4) [−1; 1] ∪ {4}
Ответ и объяснение
Ответ: {−1} ∪ [1; 4]
Общая ОДЗ: x = −1 или x ≥ 1. После сравнения радикандов (x − 4)⁠(x + 1) ≤ 0, то есть [−1; 4]. Пересечение с ОДЗ даёт {−1} ∪ [1; 4]. При −1 оба корня равны 0.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 10 класс: содержание с. 15; результаты с. 17; планирование с. 22. Дата сверки — 29 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП. Учебник из федерального перечня № 436: Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др., «Математика. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», базовый уровень, Просвещение, 2026; ФПУ 1.1.3.7.1.1. Целевой §10 в законном фрагменте не прочитан. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 29 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Когда допустимо возвести в квадрат

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Корень и постоянная

Корень меньше второй части

Корень больше второй части

Два квадратных корня

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме