Математика · 11 класс

Логарифмические неравенства: ОДЗ, полный ответ и целые решения

16 заданий на логарифмические неравенства для 11 класса: ОДЗ, разные основания, преобразования, замена переменной и целые решения. Полные множества ответов и письменные разборы.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Что записать при решении

Выпиши исходную ОДЗ отдельно от преобразований и сохрани её до окончательного ответа.

Обоснуй направление перехода к сравнению аргументов свойствами логарифмической функции.

При преобразовании или замене переменной укажи использованное свойство, затем вернись к исходной переменной.

Сначала запиши полное множество действительных решений. Если требуется целое решение или их число, отбирай целые значения из этого множества.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Реши ${log}_{\frac{1}{4}}$ (3x − 2) ≤ −2. Запиши ОДЗ, обоснуй направление перехода и проверь граничную точку.
Разбор и ориентиры для проверки
ОДЗ x > $\frac{2}{3}$ . Основание меньше 1: 3x − 2 ≥ 16, откуда x ≥ 6. При x = 6 аргумент равен 16, логарифм −2; граница включена. Критерии: исходная ОДЗ, направление по убыванию, точная граница, проверка и полный ответ.
Проверь: x ≥ 6; [6; +∞).
Реши ${log}_{2}$ (x − 3) − ${log}_{2}$ (x − 7) > 1. Найди полное множество действительных решений, затем все целые решения.
Разбор и ориентиры для проверки
ОДЗ x > 7. Логарифм отношения $\frac{x − 3}{x − 7}$ больше 1, поэтому отношение больше 2. При положительном знаменателе x − 3 > 2x − 14, то есть x < 11. Пересечение 7 < x < 11. Критерии: ограничения обоих аргументов, свойство разности, знак знаменателя, строгие границы и отбор целых.
Проверь: (7; 11); целые решения 8, 9, 10.
Реши ( ${log}_{\frac{1}{5}}$ (x))² − ${log}_{\frac{1}{5}}$ (x) − 6 ≥ 0. Запиши замену, решение для новой переменной и полный ответ для x.
Разбор и ориентиры для проверки
ОДЗ x > 0. t = ${log}_{\frac{1}{5}}$ (x): (t − 3)⁠(t + 2) ≥ 0, значит t ≤ −2 или t ≥ 3. Убывание логарифма даёт x ≥ 25 или 0 < x ≤ $\frac{1}{125}$ . Критерии: обе ветви квадратного неравенства, возврат с верным направлением, ОДЗ, включение конечных границ.
Проверь: (0; $\frac{1}{125}$ ] ∪ [25; +∞).

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Основание и числовая граница

Реши неравенство, затем дай запрошенный числовой результат.

Найди наименьшее целое решение ${log}_{2}$ (3x − 5) > 4. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
ОДЗ x > $\frac{5}{3}$ . Основание 2 > 1: 3x − 5 > 16, значит x > 7. Наименьшее допустимое целое — 8.
Найди наибольшее целое решение ${log}_{\frac{1}{3}}$ (2x − 7) ≥ −2. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
ОДЗ x > $\frac{7}{2}$ . Основание меньше 1: 2x − 7 ≤ 9. Полный ответ $\frac{7}{2}$ < x ≤ 8; наибольшее целое 8.
Сколько целых решений имеет ${log}_{5}$ (x + 6) ≤ 2? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 25
Нужно x > −6. Основание 5 > 1: x + 6 ≤ 25, то есть x ≤ 19. Целые от −5 до 19 включительно: 19 − (−5) + 1 = 25.
Найди наименьшее целое решение ${log}_{\frac{1}{2}}$ (5x − 4) < −4. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
ОДЗ x > $\frac{4}{5}$ . При убывающем логарифме 5x − 4 > 16, откуда x > 4. Наименьшее целое 5.

Потренировать эту тему →

Полный ответ и исходные ограничения

Сохрани ограничения всех исходных логарифмов.

Реши ${log}_{4}$ (x² − 10x + 26) ≤ 1. Выбери полное множество действительных решений.
Варианты: 1) [5 − $\sqrt{5}$ ; 5 + $\sqrt{5}$ ]; 2) [5 − $\sqrt{3}$ ; 5 + $\sqrt{3}$ ]; 3) [5 − $\sqrt{7}$ ; 5 + $\sqrt{7}$ ]; 4) [5 − $\sqrt{8}$ ; 5 + $\sqrt{8}$ ]
Ответ и объяснение
Ответ: [5 − $\sqrt{3}$ ; 5 + $\sqrt{3}$ ]
Аргумент (x − 5)² + 1 положителен при любом x. Нужно (x − 5)² + 1 ≤ 4, то есть (x − 5)² ≤ 3. Ответ [5 − $\sqrt{3}$ ; 5 + $\sqrt{3}$ ], вариант 2.
Реши ${log}_{\frac{1}{5}}$ (x² − 4) > −1. Выбери полное множество действительных решений.
Варианты: 1) (−3; −2) ∪ (2; 3); 2) (−4; −2) ∪ (2; 4); 3) (−3; −1) ∪ (1; 3); 4) (−5; −2) ∪ (2; 5)
Ответ и объяснение
Ответ: (−3; −2) ∪ (2; 3)
ОДЗ x² > 4. Основание меньше 1: x² − 4 < 5. Вместе 4 < x² < 9. Ответ (−3; −2) ∪ (2; 3), вариант 1.
Сколько целых решений имеет ${log}_{2}$ (3x − 1) ≤ ${log}_{2}$ (x + 9)? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
ОДЗ x > $\frac{1}{3}$ . При основании 2: 3x − 1 ≤ x + 9, значит x ≤ 5. Целые решения 1, 2, 3, 4, 5 — всего 5.
Найди наименьшее целое решение ${log}_{\frac{1}{4}}$ (5x − 1) < ${log}_{\frac{1}{4}}$ (2x + 14). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
ОДЗ x > $\frac{1}{5}$ . Из убывания 5x − 1 > 2x + 14, то есть x > 5. Наименьшее целое решение 6.

Потренировать эту тему →

Сумма и разность логарифмов

Укажи преобразование и пересечение с исходной ОДЗ.

Реши ${log}_{3}$ (x − 1) + ${log}_{3}$ (x + 3) ≤ 2. Выбери полное множество действительных решений.
Варианты: 1) (1; −1 + $\sqrt{10}$ ]; 2) (1; −1 + $\sqrt{7}$ ]; 3) (1; −1 + $\sqrt{5}$ ]; 4) (1; −1 + $\sqrt{13}$ ]
Ответ и объяснение
Ответ: (1; −1 + $\sqrt{13}$ ]
ОДЗ x > 1. Объединение даёт (x − 1)⁠(x + 3) ≤ 9, то есть (x + 1)² ≤ 13. Пересечение с ОДЗ: 1 < x ≤ −1 + $\sqrt{13}$ , вариант 4.
Найди наибольшее целое решение ${log}_{2}$ (x − 4) + ${log}_{2}$ (x − 6) < 4. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
ОДЗ x > 6. После объединения (x − 4)⁠(x − 6) < 16, значит (x − 5)² < 17. Полный ответ 6 < x < 5 + $\sqrt{17}$ . Поскольку 4 < $\sqrt{17}$ < 5, наибольшее целое 9.
Реши ${log}_{\frac{1}{3}}$ (x − 2) − ${log}_{\frac{1}{3}}$ (x + 4) ≥ 1. Выбери полное множество действительных решений.
Варианты: 1) (2; 3]; 2) (2; 4]; 3) (2; 5]; 4) (2; 6]
Ответ и объяснение
Ответ: (2; 5]
ОДЗ x > 2. Логарифм отношения не меньше 1 при основании $\frac{1}{3}$ : $\frac{x − 2}{x + 4}$ ≤ $\frac{1}{3}$ . Знаменатель положителен: 3x − 6 ≤ x + 4, значит x ≤ 5. Ответ (2; 5], вариант 3.
Сколько целых решений имеет ${log}_{5}$ (x + 2) + ${log}_{5}$ (x − 2) ≤ 2? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
ОДЗ x > 2. Объединение даёт x² − 4 ≤ 25, поэтому 2 < x ≤ $\sqrt{29}$ . Между 5 и 6 находится $\sqrt{29}$ ; целые решения 3, 4, 5 — всего 3.

Потренировать эту тему →

Замена переменной и возврат к x

Реши неравенство относительно логарифма и вернись к исходной переменной.

Реши ( ${log}_{2}$ (x))² − 5 ${log}_{2}$ (x) + 6 ≥ 0. Выбери полное множество действительных решений.
Варианты: 1) (0; 2] ∪ [8; +∞); 2) (0; 4] ∪ [8; +∞); 3) (0; 1] ∪ [32; +∞); 4) (0; 8] ∪ [16; +∞)
Ответ и объяснение
Ответ: (0; 4] ∪ [8; +∞)
ОДЗ x > 0. t = ${log}_{2}$ (x): (t − 2)⁠(t − 3) ≥ 0, значит t ≤ 2 или t ≥ 3. Возвращаясь к x, получаем 0 < x ≤ 4 или x ≥ 8, вариант 2.
Сколько положительных целых x ≤ 90 удовлетворяют ( ${log}_{3}$ (x))² − 3 ${log}_{3}$ (x) − 4 > 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
t = ${log}_{3}$ (x): (t − 4)⁠(t + 1) > 0, то есть t < −1 или t > 4. Ответ 0 < x < $\frac{1}{3}$ или x > 81. Положительных целых в первой части нет, во второй при x ≤ 90 — числа от 82 до 90, всего 9.
Реши ( ${log}_{\frac{1}{2}}$ (x))² + ${log}_{\frac{1}{2}}$ (x) − 2 ≤ 0. Выбери полное множество действительных решений.
Варианты: 1) [ $\frac{1}{4}$ ; 2]; 2) [ $\frac{1}{2}$ ; 2]; 3) [ $\frac{1}{8}$ ; 4]; 4) [ $\frac{1}{2}$ ; 4]
Ответ и объяснение
Ответ: [ $\frac{1}{2}$ ; 4]
При x > 0 положим t = ${log}_{\frac{1}{2}}$ (x). (t + 2)⁠(t − 1) ≤ 0 даёт −2 ≤ t ≤ 1. Основание меньше 1: $\frac{1}{2}$ ≤ x ≤ 4. Ответ вариант 4.
Реши ln(x − 1) + ln(x + 1) < ln 15. Выбери полное множество действительных решений.
Варианты: 1) (1; 3); 2) (1; 5); 3) (1; 4); 4) (1; 6)
Ответ и объяснение
Ответ: (1; 4)
ОДЗ x > 1. После объединения ln(x² − 1) < ln 15. Натуральный логарифм возрастает: x² − 1 < 15, значит −4 < x < 4. Пересечение с ОДЗ (1; 4), вариант 3.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 11 класс: содержание с. 16; тематическое планирование с. 25–26. Дата сверки — 8 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: линия Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, М. В. Ткачёвой и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», Просвещение, 2026, ФПУ 1.1.3.7.1.1 (приказ № 436, приложение 1, позиция 695). Учебные действия главы IV сверены с открытым методическим планированием издателя (сборник Т. А. Бурмистровой, 2020, с. 35). Целевые параграфы учебника в законном фрагменте не прочитаны. Класс и границы материала определены по ФРП 2025; старое распределение тем учебника не используется. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 8 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Что записать при решении

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Основание и числовая граница

Полный ответ и исходные ограничения

Сумма и разность логарифмов

Замена переменной и возврат к x

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме