Математика · 11 класс

Логарифмы: значение, свойства и допустимые аргументы

16 заданий: вычисляй логарифмы, преобразовывай выражения и проверяй условия применимости. Числовые ответы, выбор, объяснения и письменные решения для 11 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Как работать с логарифмом

Логарифм показывает показатель степени: ${log}_{a}$ (b) = t означает aᵗ = b. Для действительного логарифма a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

При одинаковом допустимом основании сумму логарифмов можно заменить логарифмом произведения аргументов, разность — логарифмом частного. Все исходные аргументы должны оставаться положительными.

Показатель степени положительного аргумента можно вынести множителем. Если исходный аргумент выражен через переменную, сначала проверь его знак: логарифм квадрата не разрешает брать логарифм отрицательного числа.

Для перехода к допустимому основанию c используй ${log}_{a}$ (b) = $\frac{{log}_{c} (b)}{{log}_{c} (a)}$ . Запись lg означает основание 10, ln — основание e.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Вычисли ${log}_{6}$ (18) + ${log}_{6}$ (12) − ${log}_{6}$ (1). Покажи, какое свойство используется на каждом шаге.
Разбор и ориентиры для проверки
Все аргументы положительны. Сумма первых двух логарифмов равна ${log}_{6}$ (216) = 3, поскольку 216 = 6³; ${log}_{6}$ (1) = 0. Критерии: сохранено общее основание, аргументы умножены, значение найдено точно.
Проверь: 3.
Ученик при t < 0 записал ${log}_{3}$ (t⁴) = 4 ${log}_{3}$ (t). Объясни ошибку и запиши допустимое преобразование.
Разбор и ориентиры для проверки
Левая часть определена, так как t⁴ > 0, но ${log}_{3}$ (t) при t < 0 не существует в действительных числах. Используй t⁴ = (−t)⁴ и положительный аргумент −t. Критерии: названа причина, получено правильное равенство, условия сохранены.
Проверь: 4 ${log}_{3}$ (−t).
Найди область определения ${log}_{2x − 1}$ (x + 4). Объясни каждое ограничение.
Разбор и ориентиры для проверки
2x − 1 > 0 ⇒ x > $\frac{1}{2}$ ; 2x − 1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 1; x + 4 > 0 ⇒ x > −4. Пересечение даёт указанную область. Критерии: проверены и основание, и аргумент, исключено основание 1.
Проверь: ( $\frac{1}{2}$ ; 1) ∪ (1; +∞).

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вычисли по определению

Сопоставь логарифм со степенью и запиши точное значение.

Вычисли ${log}_{2}$ (64). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Нужно найти показатель степени двойки: 2⁶ = 64, поэтому значение 6.
Вычисли ${log}_{3}$ (1). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
3⁰ = 1, поэтому логарифм равен 0.
Вычисли ${log}_{5}$ ( $\frac{1}{125}$ ). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −3
5⁻³ = $\frac{1}{125}$ , поэтому значение −3.
Вычисли ${log}_{\frac{1}{4}}$ (8). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −1,5
( $\frac{1}{4}$ )ᵗ = 2⁻²ᵗ = 2³; −2t = 3, t = −1,5.
Вычисли ${log}_{7}$ ( $\sqrt{7}$ ). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,5
Квадратный корень из 7 — степень 7 с показателем $\frac{1}{2}$ . Ответ 0,5.
Вычисли lg(0,00001). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −5
0,00001 = 10⁻⁵. Десятичный логарифм равен −5.

Потренировать эту тему →

Преобразуй выражение

Выбери удобное свойство; приближённый расчёт не нужен.

Вычисли ln(e⁴). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Натуральный логарифм имеет основание e; искомый показатель степени равен 4.
Вычисли ${log}_{2}$ (6) + ${log}_{2}$ ( $\frac{16}{3}$ ). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
Сумма равна ${log}_{2}$ (6 · $\frac{16}{3}$ ) = ${log}_{2}$ (32) = 5.
Вычисли ${log}_{3}$ (162) − ${log}_{3}$ (2). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Разность равна ${log}_{3}$ (81) = 4: 162 : 2 = 81 = 3⁴.
Вычисли 3 ${log}_{5}$ (2) + ${log}_{5}$ ( $\frac{625}{8}$ ). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
3 ${log}_{5}$ (2) = ${log}_{5}$ (8). Произведение аргументов 8 · $\frac{625}{8}$ = 625 = 5⁴.
Вычисли ${log}_{4}$ (7) · ${log}_{7}$ (64). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
После перехода к общему основанию сокращается логарифм 7; остаётся ${log}_{4}$ (64) = 3.
Вычисли ${log}_{9}$ (27). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1,5
9 = 3², 27 = 3³, поэтому 2t = 3 и t = 1,5.
Вычисли ${log}_{8}$ (2) + ${log}_{8}$ (32). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
Сумма равна ${log}_{8}$ (64) = 2. Можно также сложить $\frac{1}{3}$ и $\frac{5}{3}$ .
Вычисли ${log}_{0,1}$ (100). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −2
0,1 = 10⁻¹, а 100 = 10². Показатель −2 даёт (10⁻¹)⁻² = 100.

Потренировать эту тему →

Проверь допустимость

Проверяй исходное выражение, а не только результат преобразования.

Найди все действительные x, при которых определён ${log}_{x + 1}$ (5 − x).
Варианты: 1) (−1; 5); 2) (−1; 0) ∪ (0; 5); 3) [−1; 0) ∪ (0; 5]; 4) (0; 5)
Ответ и объяснение
Ответ: (−1; 0) ∪ (0; 5)
Основание x + 1 должно быть положительным и не равным 1: x > −1, x ≠ 0. Аргумент 5 − x > 0 даёт x < 5. Ответ (−1; 0) ∪ (0; 5).
При a < 0 какое выражение тождественно равно ${log}_{2}$ (a²)?
Варианты: 1) 2 ${log}_{2}$ (a); 2) ${log}_{2}$ (−2a); 3) 2 ${log}_{2}$ (−a); 4) ( ${log}_{2}$ (−a))²
Ответ и объяснение
Ответ: 2 ${log}_{2}$ (−a)
При a < 0 число −a положительно, а a² = (−a)². Поэтому ${log}_{2}$ (a²) = 2 ${log}_{2}$ (−a). Логарифм a при этом не определён.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 11 класс: содержание с. 16; тематическое планирование с. 25–26. Дата сверки — 7 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: линия Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, М. В. Ткачёвой и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», Просвещение, 2026, ФПУ 1.1.3.7.1.1 (приказ № 436, приложение 1, позиция 695). Учебные действия главы IV сверены с открытым методическим планированием издателя (сборник Т. А. Бурмистровой, 2020, с. 35). Целевые параграфы учебника в законном фрагменте не прочитаны. Класс и границы материала определены по ФРП 2025; старое распределение тем учебника не используется. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 7 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Как работать с логарифмом

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Вычисли по определению

Преобразуй выражение

Проверь допустимость

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме