Производная: формула и значение в точке

Сначала производная, затем подстановка

Для степенной функции используй (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ там, где функция и производная определены. Постоянный множитель сохраняется, постоянное слагаемое исчезает. У суммы производная равна сумме производных.

В произведении дифференцируются оба множителя: (uv)′ = u′v + uv′. Можно сначала раскрыть скобки, если это упрощает выражение.

Для частного используй ($\frac{\text{u}}{\text{v}}$)′ = $\frac{\text{u′v − uv′}}{\text{v²}}$ при v ≠ 0. Порядок вычитания в числителе важен.

(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = $\frac{\text{1}}{\text{x}}$ при x > 0. Тригонометрический аргумент задан в радианах.

Чтобы найти значение производной в точке, сначала получи формулу производной, затем подставь координату аргумента. Не подставляй точку в исходную функцию вместо производной.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. f(x) = x⁴ − 5x² + 3. Найди f′(x) и f′(−2). Покажи подстановку.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Сначала применяем степенное правило: 4x³ − 10x. Затем подставляем −2: 4 · (−8) − 10 · (−2) = −32 + 20 = −12. Критерии: вычислена производная, а не значение функции; сохранён знак куба; показаны оба слагаемых.

   Проверь: f′(x) = 4x³ − 10x; f′(−2) = −12.

2. f(x) = $\frac{\text{x}}{\text{x + 2}}$. Найди производную и её область определения. Проверь формулу, предварительно записав функцию как сумму постоянной и дроби.

   Разбор и ориентиры для проверки

   По правилу частного числитель (x + 2) − x = 2. Второй способ: f(x) = 1 − $\frac{\text{2}}{\text{x + 2}}$, откуда та же производная. При x = −2 исходная функция и производная не определены. Критерии: оба способа согласуются, порядок вычитания верный, запрещённая точка названа.

   Проверь: f′(x) = $\frac{\text{2}}{\text{(x + 2)²}}$, x ≠ −2.

3. Ученик для f(x) = (x² + 2)⁠(x + 1) записал f′(x) = 2x. Найди ошибку, получи верную формулу и проверь её раскрытием скобок.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Нужно дифференцировать оба множителя: 2x(x + 1) + (x² + 2). Это 3x² + 2x + 2. Раскрытие даёт f(x) = x³ + x² + 2x + 2 и такую же производную. Критерии: названы потерянные множители и второе слагаемое; получена полная формула; проверены оба способа.

   Проверь: f′(x) = 3x² + 2x + 2.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке