Логарифмические уравнения: решение и отбор корней

Как получить полный ответ

До преобразований задай область допустимых значений: каждый исходный аргумент положителен, каждое основание положительно и не равно 1.

Для допустимого основания ${\text{log}}_{\text{a}}$(u) = b равносильно u = aᵇ. При равенстве двух логарифмов с одним основанием сравни их аргументы и сохрани исходные ограничения.

Свойства логарифмов помогают объединять сумму или разность, но область определения исходной записи должна сохраниться. Квадратное уравнение может дать лишний корень.

Если встречаются квадрат и первая степень одного логарифма, замени его переменной. Решив полученное уравнение, вернись к исходной переменной для каждого допустимого значения.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Реши ${\text{log}}_{\text{2}}$(x − 2) + ${\text{log}}_{\text{2}}$(x + 2) = 5. Запиши исходную ОДЗ и объясни отбор.

   Разбор и ориентиры для проверки

   ОДЗ x > 2. x² − 4 = 32 ⇒ x² = 36, кандидаты ±6. Допустим только 6; исходные аргументы 4 и 8, сумма логарифмов 2 + 3 = 5. Критерии: оба ограничения, равносильное преобразование, отбор и проверка.

   Проверь: x = 6.

2. Реши (${\text{log}}_{\text{3}}$(x))² + ${\text{log}}_{\text{3}}$(x) − 6 = 0. Дай полный ответ и проверку.

   Разбор и ориентиры для проверки

   x > 0; t² + t − 6 = 0 ⇒ t = −3 или 2. Возврат даёт x = 3⁻³ или 3², оба положительны. В исходном уравнении значения t дают 9 − 3 − 6 = 0 и 4 + 2 − 6 = 0. Критерии: заменены обе степени, возвращены оба значения, полный набор.

   Проверь: x = $\frac{\text{1}}{\text{27}}$ или x = 9.

3. Ученик решает ${\text{log}}_{\text{4}}$(x − 3) + ${\text{log}}_{\text{4}}$(x + 3) = 2 и записывает x = −5 или x = 5. Проверь и исправь ответ.

   Разбор и ориентиры для проверки

   ОДЗ x > 3. После объединения x² − 9 = 16 и x² = 25. Кандидат −5 делает оба исходных аргумента отрицательными. Для 5 аргументы 2 и 8, их произведение 16. Критерии: не названы оба кандидата решениями, показана причина исключения и проверен допустимый корень.

   Проверь: x = 5; x = −5 не входит в ОДЗ.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке