Показательная функция: значения, свойства и уравнения

Сначала основание и аргумент, затем преобразование

У показательной функции aˣ основание a положительно и не равно 1. Функция определена для всех действительных x, а её значения положительны.

При a > 1 функция aˣ возрастает; при 0 < a < 1 убывает. Отрицательный множитель меняет направление монотонности. Прибавленная константа сдвигает все значения одинаково.

Равенство степеней с одним и тем же допустимым основанием равносильно равенству показателей. Сначала проверь, что обе части действительно приведены к одному основанию.

При замене t = aˣ обязательно t > 0. Реши полученное уравнение, отбрось недопустимые t и вернись к x. Два корня квадратного уравнения могут дать один, два или ни одного корня исходного.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Для f(x) = 3 · ($\frac{\text{1}}{\text{2}}$)ˣ⁻² − 4 найди f(1), область определения, множество значений и направление монотонности. Обоснуй, входит ли граничное значение в множество значений.

   Разбор и ориентиры для проверки

   f(1) = 3 · 2 − 4 = 2. Степень определена для любого x и положительна; множитель 3 положителен, поэтому после сдвига получаем строго y > −4. Основание $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ меньше 1, функция убывает. Критерии: верная подстановка, обе области, невключённая граница и обоснованная монотонность.

   Проверь: f(1) = 2; область определения R; множество значений (−4; +∞); функция убывает.

2. Реши уравнение 4ˣ − 10 · 2ˣ + 16 = 0. Запиши все корни и объясни отбор значений новой переменной.

   Разбор и ориентиры для проверки

   t = 2ˣ > 0; t² − 10t + 16 = (t − 2)⁠(t − 8) = 0. Обе величины t положительны. 2ˣ = 2 или 2ˣ = 8 дают x = 1 или x = 3. Критерии: положительность t, оба корня квадратного уравнения, обратная замена и проверка обоих x.

   Проверь: x = 1 или x = 3.

3. Реши уравнение 3²ˣ + 6 · 3ˣ + 9 = 0. Объясни, почему корень уравнения после замены может не дать ни одного действительного x.

   Разбор и ориентиры для проверки

   t = 3ˣ > 0; (t + 3)² = 0 требует t = −3. Это противоречит положительности степени. Критерии: правильная замена, разложение, явное условие t > 0 и вывод об отсутствии корней исходного уравнения.

   Проверь: Действительных корней нет.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке