Математика · 11 класс

Цилиндр, конус, сечения и усечённый конус

16 заданий для 11 класса: поверхность и объём цилиндра и конуса, образующая, осевые и параллельные сечения, усечённый конус. Числовые ответы и письменные решения с точной записью через π.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Как выбрать величину для вычисления

Различай радиус и диаметр, высоту и образующую. Укажи их положение на схеме.

Для поверхности учти именно запрошенные части, для объёма выбери размеры соответствующего тела.

Для сечения обоснуй его форму и размеры; не переноси размер основания на другую высоту без проверки.

В коротком поле запиши запрошенное число. Если условие просит k, не добавляй π. В письменной работе сохрани точное выражение и единицу измерения.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник с шириной 8 см и высотой 15 см; сторона 15 см параллельна оси. Начерти развёртку всей поверхности, найди её площадь и объём цилиндра. Ответы запиши точно через π с единицами.
Разбор и ориентиры для проверки
Диаметр 8 см, радиус 4 см, высота 15 см. Боковая развёртка — прямоугольник со сторонами 8π и 15 см, основания — два круга радиуса 4 см. Полная площадь 120π + 32π = 152π см², объём 16π · 15 = 240π см³. Критерии: связь с диаметром, все части развёртки, площади, объём и единицы.
Проверь: Полная поверхность 152π см²; объём 240π см³.
Высота конуса 24 см, радиус основания 7 см. Плоскость, параллельная основанию, пересекает ось в точке, находящейся на расстоянии 12 см от основания. Найди образующую исходного конуса и объём оставшегося усечённого конуса. Обоснуй подобие и запиши объём точно через π.
Разбор и ориентиры для проверки
l² = 24² + 7² = 625, l = 25 см. Малый конус имеет высоту 12 см и коэффициент подобия $\frac{1}{2}$ , поэтому радиус $\frac{7}{2}$ см. Объём большого конуса 392π см³, малого 49π см³. Разность 343π см³. Критерии: схема с двумя высотами, образующая, подобие, два объёма и их разность.
Проверь: Образующая 25 см; объём усечённого конуса 343π см³.
Радиусы оснований усечённого конуса 9 см и 3 см, высота 8 см. Начерти осевое сечение, найди образующую, площадь полной поверхности и объём. Площадь и объём запиши точно через π с единицами.
Разбор и ориентиры для проверки
l² = 8² + (9 − 3)² = 100, l = 10 см. Боковая площадь 120π см², два основания дают 81π + 9π = 90π см²; полная площадь 210π см². Объём $\frac{π · 8 · (81 + 27 + 9)}{3}$ = 312π см³. Критерии: разность радиусов, прямой угол, все поверхности, формула объёма и единицы.
Проверь: Образующая 10 см; полная поверхность 210π см²; объём 312π см³.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Цилиндр

Проверь, что запрошено: площадь, объём или размер.

Радиус цилиндра 3 см, высота 7 см. Площадь боковой поверхности равна kπ см². Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 42
Боковая площадь 2πrh = 2 · π · 3 · 7 = 42π см², поэтому k = 42.
Диаметр основания цилиндра 8 см, высота 5 см. Площадь полной поверхности равна kπ см². Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 72
Радиус 4 см. Полная площадь 2πrh + 2πr² = 40π + 32π = 72π см², k = 72.
Радиус цилиндра 5 см, высота 6 см. Объём равен kπ см³. Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 150
V = πr²h = π · 25 · 6 = 150π см³. Число k = 150.
Объём цилиндра 64π см³, высота 4 см. Найди радиус основания в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
πr² · 4 = 64π, r² = 16. Радиус положителен, поэтому r = 4 см.

Потренировать эту тему →

Конус

Различай высоту и образующую при каждом вычислении.

Радиус основания конуса 5 см, высота 12 см. Найди образующую в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 13
Радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник. l² = 5² + 12² = 169, l = 13 см.
Радиус основания конуса 4 см, образующая 9 см. Площадь боковой поверхности равна kπ см². Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 36
Боковая площадь πrl = π · 4 · 9 = 36π см², k = 36.
Радиус основания конуса 6 см, высота 8 см. Площадь полной поверхности равна kπ см². Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 96
Образующая l = 10 см. Полная площадь πrl + πr² = 60π + 36π = 96π см², k = 96.
Диаметр основания конуса 6 см, высота 10 см. Объём равен kπ см³. Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 30
Радиус 3 см. V = $\frac{πr²h}{3}$ = $\frac{π · 9 · 10}{3}$ = 30π см³, k = 30.

Потренировать эту тему →

Сечения тел вращения

Найди размеры именно сечения, указанного в условии.

Радиус цилиндра 5 см, высота 9 см. Найди площадь осевого сечения в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 90
Осевое сечение — прямоугольник ширины 2r = 10 см и высоты 9 см. Площадь 90 см².
Радиус цилиндра 5 см, высота 6 см. Секущая плоскость параллельна оси и находится от неё на расстоянии 3 см. Найди площадь сечения в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 48
Ширина сечения — хорда основания. Её половина имеет квадрат 5² − 3² = 16, значит, хорда 8 см. Сечение — прямоугольник со сторонами 8 и 6 см, площадь 48 см².
Высота конуса 12 см, радиус основания 6 см. Плоскость параллельна основанию и пересекает ось на расстоянии 4 см от вершины. Площадь сечения равна kπ см². Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Радиус параллельного сечения по подобию равен $\frac{6 · 4}{12}$ = 2 см. Площадь круга 4π см², k = 4.
Радиус основания конуса 5 см, высота 12 см. Найди площадь осевого сечения в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 60
Осевое сечение — треугольник с основанием 2r = 10 см и высотой 12 см. Его площадь $\frac{10 · 12}{2}$ = 60 см².

Потренировать эту тему →

Усечённый конус

Учти оба основания и размеры боковой части.

Радиусы оснований усечённого конуса 5 см и 2 см, высота 4 см. Найди образующую в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
В осевом сечении образующая — гипотенуза с катетами R − r = 3 см и h = 4 см. Её длина 5 см.
Радиусы оснований усечённого конуса 6 см и 2 см, образующая 5 см. Площадь боковой поверхности равна kπ см². Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 40
Боковая площадь π(R + r)l = π · (6 + 2) · 5 = 40π см². Число k = 40.
Радиусы оснований усечённого конуса 4 см и 2 см, высота 3 см. Объём равен kπ см³. Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 28
V = $\frac{πh(R² + Rr + r²)}{3}$ = $\frac{π · 3 · (16 + 8 + 4)}{3}$ = 28π см³. Число k = 28.
Радиусы оснований усечённого конуса 5 см и 3 см, образующая 4 см. Площадь полной поверхности равна kπ см². Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 66
Боковая площадь π · (5 + 3) · 4 = 32π см². Площади оснований 25π и 9π см². Всего 66π см², k = 66.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 11 класс: содержание с. 33; тематическое планирование с. 49–52. Дата сверки — 8 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, Л. С. Киселёва, «Геометрия. 10–11 классы. Базовый и углублённый уровни», Просвещение, 2026, ISBN978-5-09-103139-3. Линия включена в действующий федеральный перечень по приказу №436 от22.06.2026, приложение1, позиция696, код1.1.3.7.2.1. Действия глав4–5, пункты38–42,55,59, сверены с законным методическим фрагментом издателя2023 (печатные с.28–29 и31). Целевые параграфы учебника не прочитаны. Класс и базовые границы — по ФРП2025. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 8 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Как выбрать величину для вычисления

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Цилиндр

Конус

Сечения тел вращения

Усечённый конус

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме