Знаки производной, возрастание и экстремумы

Нуль производной ещё не определяет экстремум

На промежутке, где производная положительна, функция возрастает; где отрицательна — убывает. Нули производной делят область определения на промежутки, на каждом из которых проверяют знак.

Смена знака производной с плюса на минус даёт локальный максимум, с минуса на плюс — локальный минимум. Если знак не меняется, нулевая производная не даёт экстремума.

Абсцисса точки экстремума получается из исследования производной. Значение функции в этой точке находят отдельной подстановкой в исходную функцию.

Когда требуется число целых аргументов с положительной или отрицательной производной, сначала найди все подходящие промежутки, затем перечисли целые числа в указанном отрезке. Нули не подходят к строгому неравенству.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Исследуй f(x) = x³ − 3x² − 9x + 4 на возрастание, убывание и экстремумы. Составь таблицу знаков производной. Назови отдельно абсциссы и значения экстремумов.

   Разбор и ориентиры для проверки

   f′(x) = 3(x − 3)⁠(x + 1). Знаки +, −, +. f(−1) = −1 − 3 + 9 + 4 = 9; f(3) = 27 − 27 − 27 + 4 = −23. Критерии: найдены оба нуля, все три знака, полные промежутки, верно разделены абсциссы и значения. Указание закрытых концов промежутков монотонности также допустимо.

   Проверь: Возрастает на (−∞; −1) и (3; +∞), убывает на (−1; 3). Максимум при x = −1: f = 9; минимум при x = 3: f = −23.

2. Исследуй f(x) = (x − 2)³ + 7. Найди стационарную точку, промежутки возрастания и объясни, есть ли экстремум. Проверь вывод по значениям при x = 1, 2, 3.

   Разбор и ориентиры для проверки

   f′(x) = 3(x − 2)²; по обе стороны 2 знак положителен, смены знака нет. Изолированный нуль не прерывает строгого возрастания функции. f(1) = 6, f(2) = 7, f(3) = 8. Критерии: нуль производной, оба знака и обоснование отсутствия экстремума; допустимо начать с двух промежутков и затем объединить их.

   Проверь: Стационарная точка x = 2; функция возрастает на всей числовой прямой, экстремума нет. Значения: 6, 7, 8.

3. Исследуй f(x) = −x⁴ + 18x² − 5 на монотонность и экстремумы. Составь таблицу знаков и найди значения функции во всех точках экстремума.

   Разбор и ориентиры для проверки

   f′(x) = −4x(x − 3)⁠(x + 3). Знаки +, −, +, −. f(±3) = −81 + 162 − 5 = 76; f(0) = −5. Критерии: все три нуля и четыре знака, оба максимума, минимум, значения из исходной функции; закрытые концы промежутков монотонности допустимы.

   Проверь: Возрастает на (−∞; −3) и (0; 3), убывает на (−3; 0) и (3; +∞). Максимумы при x = −3 и x = 3, значение 76; минимум при x = 0, значение −5.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке