Математика · 11 класс

Сравни критические точки и концы отрезка

16 заданий на максимум и минимум функции на отрезке, аргумент достижения и величины в заданном контексте. Письменные решения с проверкой концов отрезка.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

На отрезке нельзя забывать о концах

Проверь, что функция определена на всём указанном отрезке. Найди производную и её нули внутри отрезка. Для изучаемых гладких функций это внутренние кандидаты на наибольшее или наименьшее значение.

Вычисли исходную функцию во всех внутренних кандидатах и на обоих концах отрезка. Сравни полученные значения. Даже если внутри есть экстремум, ответ может достигаться на конце.

Различай вопрос о значении функции и об аргументе, при котором оно достигается. Одно значение может достигаться в нескольких точках; в письменной работе перечисли их все.

В задаче о величине единица ответа указана в условии. Разность наибольшего и наименьшего значений имеет ту же единицу, что и сама величина.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Найди наибольшее и наименьшее значения f(x) = x³ − 9x² + 24x − 3 на [0; 5]. Перечисли все аргументы их достижения и покажи сравнение кандидатов.
Разбор и ориентиры для проверки
f′(x) = 3(x − 2)⁠(x − 4). Проверяются 0, 2, 4, 5: значения −3, 17, 13, 17. Критерии: оба внутренних нуля, оба конца, все четыре значения; названы обе точки достижения максимума.
Проверь: Наименьшее значение −3 при x = 0; наибольшее 17 при x = 2 и x = 5.
Найди наибольшее и наименьшее значения g(x) = x + $\frac{16}{x}$ на [1; 8]. Проверь область определения и сравни все кандидаты.
Разбор и ориентиры для проверки
На отрезке x ≠ 0. g′(x) = 1 − $\frac{16}{x²}$ ; единственный внутренний нуль 4. g(1) = 17, g(4) = 8, g(8) = 10. Критерии: область, отбор только положительного внутреннего корня, оба конца и сравнение.
Проверь: Наименьшее значение 8 при x = 4; наибольшее 17 при x = 1.
Высота h(t) = −2t² + 12t + 1 метров при 0 ≤ t ≤ 5 секунд. Найди наибольшую и наименьшую высоты и моменты их достижения. Объясни роль концов отрезка.
Разбор и ориентиры для проверки
h′(t) = −4t + 12; кандидат t = 3. h(0) = 1, h(3) = 19, h(5) = 11 м. Минимум достигается на конце, поэтому проверять только нуль производной недостаточно. Критерии: кандидат, оба конца, оба значения и моменты, единицы.
Проверь: Наибольшая высота 19 м при t = 3 с; наименьшая 1 м при t = 0 с.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Значения функций на отрезке

Проверь внутренние критические точки и оба конца отрезка.

Найди наибольшее значение f(x) = −x² + 4x + 1 на отрезке [−1; 5]. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
f′(x) = −2x + 4; кандидат x = 2. f(−1) = −4, f(2) = 5, f(5) = −4. Наибольшее значение 5.
Найди наибольшее значение f(x) = x³ + 3x − 2 на отрезке [−2; 1]. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
f′(x) = 3x² + 3 > 0. Функция возрастает; f(−2) = −16, f(1) = 2. Наибольшее значение 2.
Найди наименьшее значение f(x) = x² − 6x + 11 на отрезке [0; 5]. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
f′(x) = 2x − 6; кандидат x = 3. f(0) = 11, f(3) = 2, f(5) = 6. Наименьшее значение 2.
Найди наименьшее значение f(x) = $\frac{4}{x}$ на отрезке [1; 4]. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
f′(x) = − $\frac{4}{x²}$ < 0 на отрезке. f(1) = 4, f(4) = 1. Наименьшее значение 1.
Найди наименьшее значение f(x) = x³ − 3x на отрезке [0; 3]. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −2
f′(x) = 3(x − 1)⁠(x + 1); внутри отрезка только x = 1. f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. Наименьшее значение −2.
Найди наибольшее значение f(x) = $\sqrt{x + 1}$ + 2 на отрезке [0; 8]. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
Производная $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ положительна на отрезке. Значения на концах: 3 и 5; наибольшее — 5.
Найди наибольшее значение f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2 на отрезке [0; 4]. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
f′(x) = 3(x − 1)⁠(x − 3). Значения: f(0) = 2, f(1) = 6, f(3) = 2, f(4) = 6. Наибольшее значение 6 достигается в двух точках.
Найди наименьшее значение f(x) = −2x² + 2x + 3 на отрезке [−4; −1]. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −37
f′(x) = −4x + 2 > 0 на отрезке. f(−4) = −32 − 8 + 3 = −37; f(−1) = −1. Наименьшее значение −37.

Потренировать эту тему →

Аргумент достижения

В ответе требуется x, а не значение функции.

При каком x функция f(x) = −x³ + 3x² + 9x + 1 принимает наибольшее значение на [0; 4]? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
f′(x) = −3(x − 3)⁠(x + 1); внутри только x = 3. f(0) = 1, f(3) = 28, f(4) = 21. Ответ — аргумент 3.
При каком x функция f(x) = x³ + 3x² − 9x + 4 принимает наименьшее значение на [−4; 2]? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
f′(x) = 3(x + 3)⁠(x − 1). f(−4) = 24, f(−3) = 31, f(1) = −1, f(2) = 6. Наименьшее значение достигается при x = 1.
При каком x функция f(x) = x² − 8x + 1 принимает наименьшее значение на [5; 7]? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
f′(x) = 2x − 8 > 0 на этом отрезке. Нуль x = 4 вне отрезка. f(5) = −14, f(7) = −6. Ответ — левый конец 5.
При каком x функция f(x) = −x² + 2x + 5 принимает наибольшее значение на [−3; 0]? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
f′(x) = −2x + 2 > 0 на отрезке. Нуль x = 1 вне отрезка. f(−3) = −10, f(0) = 5. Ответ — аргумент 0.

Потренировать эту тему →

Величины на заданном отрезке

Верни число в единицах из условия.

Высота h(t) = −t² + 10t + 3 метров при 0 ≤ t ≤ 7 секунд. Найди наибольшую высоту, в метрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 28
h′(t) = −2t + 10; кандидат t = 5. h(0) = 3, h(5) = 28, h(7) = 24 м. Наибольшая высота 28 м.
Мощность P(t) = t² − 8t + 20 ватт при 0 ≤ t ≤ 6 секунд. Найди наименьшую мощность, в ваттах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
P′(t) = 2t − 8; кандидат t = 4. P(0) = 20, P(4) = 4, P(6) = 8 Вт. Наименьшая мощность 4 Вт.
Температура T(t) = 2t³ − 9t² + 12t + 8 градусов Цельсия при 0 ≤ t ≤ 3 часов. Найди наибольшую температуру, в °C. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 17
T′(t) = 6(t − 1)⁠(t − 2). T(0) = 8, T(1) = 13, T(2) = 12, T(3) = 17 °C. Наибольшая температура 17 °C.
Объём V(t) = −t² + 6t + 4 литров при 1 ≤ t ≤ 5 минут. Найди разность наибольшего и наименьшего объёмов, в литрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
V′(t) = −2t + 6; кандидат t = 3. V(1) = V(5) = 9, V(3) = 13 л. Разность 13 − 9 = 4 л.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 11 класс: содержание с. 16–17; тематическое планирование с. 27. Дата сверки — 7 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: линия Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, М. В. Ткачёвой и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», Просвещение, 2026, ФПУ 1.1.3.7.1.1 (приложение 1, позиция 695). Действия главы IX, §52 сопоставлены с открытым планированием издателя (Т. А. Бурмистрова, 2020, с. 39). Целевой параграф в законном фрагменте не прочитан. Класс определён по ФРП 2025; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 7 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

На отрезке нельзя забывать о концах

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Значения функций на отрезке

Аргумент достижения

Величины на заданном отрезке

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме