Математика · 11 класс

Касательная к графику и скорость изменения

16 заданий на коэффициент и уравнение касательной, мгновенную скорость и скорость изменения объёма. Числовые ответы, полные формулы и письменные решения для 11 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Различай функцию, производную и касательную

Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой x₀ равен f′(x₀). Для уравнения нужна также ордината f(x₀): y = f(x₀) + f′(x₀)⁠(x − x₀).

Коэффициент при x задаёт направление прямой. У параллельных прямых коэффициенты равны; их свободные члены могут различаться. Горизонтальная касательная получается при нулевой производной.

Если x(t) — координата, то её производная даёт проекцию мгновенной скорости. Знак проекции показывает направление относительно выбранной оси; значение координаты и скорость — разные величины.

Производная величины по времени показывает скорость её изменения. Единица производной — единица величины, делённая на единицу времени. Сначала дифференцируй, потом подставляй момент.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Найди уравнение касательной к f(x) = x³ − 4x + 2 при x₀ = 2. Проверь точку касания и коэффициент.
Разбор и ориентиры для проверки
f(2) = 2, f′(2) = 8. y = 2 + 8(x − 2) = 8x − 14. Критерии: отдельно найдены функция и производная; точка (2; 2) лежит на прямой; коэффициент 8 равен производной.
Проверь: y = 8x − 14.
Координата x(t) = 2t³ − 5t² + 4t + 9 метров; t в секундах. Найди проекции скорости в моменты t = 1 с и t = 2 с, в м/с. Объясни, почему нулевая проекция не означает нулевую координату.
Разбор и ориентиры для проверки
v(t) = 6t² − 10t + 4. При t = 1 получаем 0, при t = 2: 24 − 20 + 4 = 8 м/с. Координата x(1) = 2 − 5 + 4 + 9 = 10 м. Критерии: дифференцирование до подстановки, обе единицы, различены координата и её изменение.
Проверь: 0 м/с и 8 м/с; x(1) = 10 м.
Найди точку графика f(x) = x² + 2x − 5, касательная в которой параллельна y = 6x + 4. Получи уравнение касательной и объясни, почему нельзя просто скопировать заданную прямую.
Разбор и ориентиры для проверки
f′(x₀) = 2x₀ + 2 = 6 ⇒ x₀ = 2; f(2) = 3. y = 3 + 6(x − 2) = 6x − 9. Параллельность определяет коэффициент, а свободный член определяется точкой касания. Критерии: найдены обе координаты, полное уравнение и обоснование свободного члена.
Проверь: Точка (2; 3), касательная y = 6x − 9.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Коэффициент касательной

Найди производную, затем коэффициент в точке.

f(x) = 2x³ − x. Найди угловой коэффициент касательной при x₀ = −2. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 23
f′(x) = 6x² − 1; k = f′(−2) = 24 − 1 = 23.
f(x) = 3x² + 4x + 5. Найди угловой коэффициент касательной при x₀ = −1. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −2
f′(x) = 6x + 4; k = −6 + 4 = −2.
f(x) = $\frac{6}{x}$ . Найди угловой коэффициент касательной при x₀ = 3. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: − $\frac{2}{3}$
f′(x) = − $\frac{6}{x²}$ . При x = 3 получаем − $\frac{6}{9}$ = − $\frac{2}{3}$ .
f(x) = x² − 10x + 3. Найди угловой коэффициент касательной при x₀ = 5. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
f′(x) = 2x − 10; k = 2 · 5 − 10 = 0.

Потренировать эту тему →

Уравнение и значение на касательной

Учитывай и коэффициент, и точку касания.

f(x) = x² + 3x − 2. Касательная при x₀ = 2 имеет вид y = kx + b. Найди b. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −6
f(2) = 8, k = f′(2) = 7. b = 8 − 7 · 2 = −6.
f(x) = 2x² − x + 4. Касательная при x₀ = −1 имеет вид y = kx + b. Найди b. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
f(−1) = 7, k = f′(−1) = −5. b = 7 − (−5) · (−1) = 2.
К графику f(x) = x³ + 2x проведена касательная при x₀ = 1. Найди её ординату при x = 4. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 18
f(1) = 3, f′(1) = 5; касательная y = 3 + 5(x − 1) = 5x − 2. При x = 4 её ордината 18.
К графику f(x) = $\frac{2}{x}$ проведена касательная при x₀ = 1. Найди её ординату при x = 3. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −2
f(1) = 2, f′(1) = −2. Касательная y = 2 − 2(x − 1) = −2x + 4; при x = 3 получаем −2.

Потренировать эту тему →

Мгновенная скорость и изменение величины

Единицу краткого ответа возьми из самого вопроса.

Координата тела x(t) = t³ − 2t² + 5t + 7 метров; t в секундах. Найди проекцию мгновенной скорости при t = 2 с, в м/с. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
v(t) = x′(t) = 3t² − 4t + 5. v(2) = 12 − 8 + 5 = 9 м/с.
Координата тела x(t) = 4t² − 3t + 8 метров; t в секундах. Найди проекцию мгновенной скорости при t = 1 с, в м/с. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
v(t) = 8t − 3; v(1) = 8 − 3 = 5 м/с.
Координата тела x(t) = t² − 7t + 15 метров; t в секундах. Найди проекцию мгновенной скорости при t = 2 с, в м/с. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −3
v(t) = 2t − 7; v(2) = −3 м/с. Отрицательная проекция означает движение против выбранного направления оси.
Объём воды V(t) = 18 − t² литров для 0 ≤ t ≤ 4 минут. Найди скорость изменения объёма при t = 3 мин, в л/мин. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −6
V′(t) = −2t; V′(3) = −6 л/мин. Объём в этот момент убывает.

Потренировать эту тему →

Найди точку или полную формулу

Направление и точка касания должны согласоваться.

Найди абсциссу точки графика f(x) = x² − 6x, касательная в которой параллельна y = 4x − 9. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
У заданной прямой коэффициент 4. f′(x₀) = 2x₀ − 6 = 4 ⇒ x₀ = 5.
Найди абсциссу точки графика f(x) = 3x² + 2x, касательная в которой горизонтальна. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: − $\frac{1}{3}$
f′(x₀) = 6x₀ + 2 = 0 ⇒ x₀ = − $\frac{1}{3}$ .
Какая прямая является касательной к f(x) = 2x² + x − 4 при x₀ = 2?
Варианты: 1) y = 5x − 4; 2) y = 8x − 10; 3) y = 9x − 12; 4) y = 10x − 14
Ответ и объяснение
Ответ: y = 9x − 12
Все прямые проходят через (2; 6), поэтому нужна производная. f′(2) = 4 · 2 + 1 = 9. Касательная y = 6 + 9(x − 2) = 9x − 12.
Какая прямая является касательной к f(x) = x³ − 2x + 1 при x₀ = −1?
Варианты: 1) y = −x + 1; 2) y = x + 3; 3) y = 3x + 5; 4) y = −5x − 3
Ответ и объяснение
Ответ: y = x + 3
Все прямые проходят через (−1; 2). f′(−1) = 3 · 1 − 2 = 1. y = 2 + (x + 1) = x + 3.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 11 класс: содержание с. 16–17; тематическое планирование с. 27. Дата сверки — 7 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: линия Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, М. В. Ткачёвой и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», Просвещение, 2026, ФПУ 1.1.3.7.1.1 (приложение 1, позиция 695). Действия главы VIII, §48 сопоставлены с открытым планированием издателя (сборник Т. А. Бурмистровой, 2020, с. 38–39). Целевой параграф в законном фрагменте не прочитан. Класс определён по ФРП 2025; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 7 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Различай функцию, производную и касательную

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Коэффициент касательной

Уравнение и значение на касательной

Мгновенная скорость и изменение величины

Найди точку или полную формулу

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме