Математика · 11 класс

Координаты и скалярное произведение в пространстве: 11 класс

Находи пространственные координаты, длины и углы с помощью скалярного произведения. 16 коротких заданий с числовой проверкой и две письменные работы для 11 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

При выдаче проверим вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Учитывай все три координаты

Чтобы найти координаты направленного отрезка, вычти координаты его начала из соответствующих координат конца.

Длину вектора получай из суммы квадратов всех его координат. Отрицательный компонент вносит неотрицательный квадрат.

Скалярное произведение в прямоугольной системе — сумма произведений соответствующих координат. Для двух ненулевых векторов его знак помогает проверить вид угла.

Косинус угла получают делением скалярного произведения на произведение длин. С нулевым вектором угол не определён.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

В прямоугольной системе координат A(1; 1; 1), B(3; 2; 3), C(2; 3; −1). Найди длины AB и AC и угол BAC координатным методом. Обоснуй вывод об угле, не опираясь на вид эскиза.
Разбор и ориентиры для проверки
AB = (2; 1; 2), AC = (1; 2; −2). Квадрат каждой длины равен 9. Скалярное произведение 2 + 2 − 4 = 0, поэтому угол между ненулевыми векторами прямой. Критерии: вычитание конец−начало для обоих векторов, все три компонента в длинах и произведении, ненулевые длины и обоснованный угол.
Проверь: AB = AC = 3; угол BAC = 90°.
Даны ненулевые векторы a = (1; 2; 2), b = (2; −1; 2) в прямоугольной системе. Найди скалярное произведение, косинус угла между ними и длину a − b. Объясни, почему само скалярное произведение не равно косинусу угла.
Разбор и ориентиры для проверки
Произведение 2 − 2 + 4 = 4, длина каждого вектора 3. Поэтому cos φ = $\frac{4}{3 · 3}$ . Разность (−1; 3; 0) имеет квадрат длины 10. Критерии: произведение по трём компонентам, обе длины, нормирование, точная длина разности и объяснение, что косинус безразмерен и лежит от −1 до 1, а скалярное произведение зависит от длин.
Проверь: a · b = 4; cos φ = $\frac{4}{9}$ ; |a − b| = $\sqrt{10}$ .

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Координаты и направление

Порядок начала и конца важен.

A(−2; 4; 7), B(3; −1; −5). Найди третью координату вектора AB. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −12
Третья координата конца минус третья координата начала: −5 − 7 = −12. Полный вектор AB имеет координаты (5; −5; −12).
A(4; −3; 2), B(−2; 5; 6). Найди вторую координату вектора AB. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
Вторая координата вектора AB равна 5 − (−3) = 8. Полный вектор (−6; 8; 4); важно вычитать начало из конца.
M — середина отрезка с концами A(−4; 2; 7), B(6; −8; −3). Найди третью координату M. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
Координаты середины — полусуммы соответствующих координат. Третья координата (7 − 3) : 2 = 2; полная точка M(1; −3; 2).
A(−1; 2; 4), B(3; 5; −8), вектор AC равен 2AB. Найди третью координату точки C. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −20
AB = (4; 3; −12), поэтому AC = (8; 6; −24). Прибавляем к координатам A: C(7; 8; −20). Третья координата C равна 4 − 24 = −20.

Потренировать эту тему →

Длина в пространстве

Найди нужный вектор до вычисления длины.

В прямоугольной системе координат $\vec{a}$ = (2; −3; 6). Найди длину вектора $\vec{a}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 7
Сумма квадратов координат: 4 + 9 + 36 = 49; длина равна $\sqrt{49}$ , то есть 7.
В прямоугольной системе координат A(1; −2; 3), B(5; 2; 10). Найди расстояние AB. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
AB = (4; 4; 7). Квадрат длины 16 + 16 + 49 = 81, значит расстояние 9.
В прямоугольной системе $\vec{a}$ = (1; −1; 2), $\vec{b}$ = (2; 5; 10). Найди длину $\vec{a}$ + $\vec{b}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 13
Сумма имеет координаты (3; 4; 12). Её квадрат длины 9 + 16 + 144 = 169, длина 13. Сумма длин исходных векторов не используется.
В прямоугольной системе $\vec{a}$ = (4; 2; −1), $\vec{b}$ = (1; −2; −1). Найди длину $\vec{a}$ − $\vec{b}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
Разность (3; 4; 0); квадрат длины 9 + 16 + 0 = 25. Поэтому длина 5, несмотря на отрицательные компоненты исходных векторов.

Потренировать эту тему →

Скалярное произведение

Учти третью координату и знаки слагаемых.

В прямоугольной системе $\vec{a}$ = (3; −2; 4), $\vec{b}$ = (−1; 5; 2). Найди $\vec{a}$ · $\vec{b}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −5
3 · (−1) + (−2) · 5 + 4 · 2 = −3 − 10 + 8 = −5.
В прямоугольной системе $\vec{a}$ = (2; −3; k), $\vec{b}$ = (4; 1; 5). При каком k векторы перпендикулярны? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −1
Оба вектора ненулевые при любом k. Требуется 8 − 3 + 5k = 0, откуда k = −1.
В прямоугольной системе $\vec{a}$ = (3; −1; 2), $\vec{b}$ = (1; 4; −2). Найди (2 $\vec{a}$ − $\vec{b}$ ) · $\vec{b}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −31
Сначала 2a − b = (5; −6; 6). Скалярное произведение с b равно 5 − 24 − 12 = −31.
В прямоугольной системе $\vec{a}$ = (−2; 3; 4), $\vec{b}$ = (5; −1; t). Известно $\vec{a}$ · $\vec{b}$ = 15. Найди t. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 7
Скалярное произведение −10 − 3 + 4t = 15. Поэтому 4t = 28, t = 7. Подстановка даёт −13 + 28 = 15.

Потренировать эту тему →

Угол между векторами

При вычислении косинуса нормируй произведение.

В прямоугольной системе $\vec{a}$ = (1; 2; 2), $\vec{b}$ = (2; −2; 1). Найди угол между ними в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 90
Скалярное произведение 2 − 4 + 2 = 0. Оба вектора ненулевые; их угол прямой, то есть 90°.
В прямоугольной системе $\vec{a}$ = (1; 1; 0), $\vec{b}$ = (1; 0; 1). Найди косинус угла между ними. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,5
Произведение равно 1, длины обоих векторов $\sqrt{2}$ . Произведение длин равно 2, поэтому косинус $\frac{1}{2}$ , или 0,5.
В прямоугольной системе $\vec{a}$ = (1; 2; 2), $\vec{b}$ = (−1; −2; 2). Найди косинус угла между ними. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: − $\frac{1}{9}$
Произведение −1 − 4 + 4 = −1; длины равны 3. Косинус равен − $\frac{1}{9}$ . Отрицательный знак соответствует тупому углу.
В прямоугольной системе $\vec{a}$ = (2; 3; 6), $\vec{b}$ = (4; 6; 12). Найди угол между ними в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
Векторы ненулевые и b = 2a, поэтому сонаправлены. Проверка через произведение: a · b = 98, длины 7 и 14, косинус 1. Угол равен 0°.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 11 класс: содержание с. 33–34, результаты с. 36, планирование с. 53–54. Дата сверки — 25 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП 2025. Учебник из федерального перечня № 436: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., «Математика. Геометрия. 10–11 классы», базовый и углублённый уровни, Просвещение. Прочитаны методические рекомендации издателя, 2023, с. 32–33, пп. 71–78; сами целевые параграфы учебника законно не прочитаны. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 26 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Учитывай все три координаты

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Координаты и направление

Длина в пространстве

Скалярное произведение

Угол между векторами

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме