Математика · 10 класс

Чётные и нечётные функции: проверка в 10 классе

Проверяй симметрию области определения и сравнивай f(−x) с f(x). 16 коротких заданий и две письменные работы по чётности функций для 10 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

При выдаче проверим вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Две проверки для всей функции

Сначала проверь область определения: вместе с каждым допустимым x должен быть допустим и −x.

На симметричной области сравни f(−x) с f(x) и с −f(x). Равенство должно выполняться для всех допустимых аргументов.

Один контрпример опровергает общее равенство. Несколько совпадений сами по себе не доказывают чётность.

При сокращении дроби сохраняй исходные запреты. В ответе указывай все свойства, которыми функция обладает.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Исследуй чётность функции f(x) = $\frac{x² − x}{x − 1}$ . Выпиши область определения и обоснуй полную классификацию. Сравни её с функцией g(x) = x на всей прямой. Объясни, почему сокращение дроби не делает эти функции одинаковыми.
Разбор и ориентиры для проверки
Исходный знаменатель запрещает 1, но −1 допустимо, поэтому D(f) несимметрично. На этой области f(x) = x; сокращение не возвращает аргумент 1. У g область — вся прямая, и g(−x) = −g(x), а g(1) ≠ g(−1). Критерии: исходный запрет, несимметричность D(f), обе полные классификации и различение функций по их областям.
Проверь: D(f) = ℝ без 1; f ни чётная, ни нечётная. g только нечётная.
Функция f(x) = ax² + bx + c задана на всей прямой. Найди все условия на a, b, c, при которых она чётная, нечётная, обладает обоими свойствами или не обладает ни одним. Докажи ответ сравнением f(−x) и f(x).
Разбор и ориентиры для проверки
f(−x) = ax² − bx + c. Равенство f(−x) = f(x) для всех x эквивалентно b = 0. Равенство f(−x) = −f(x) эквивалентно ax² + c = 0 для всех x, то есть a = c = 0. Критерии: сравнение на всей области, все четыре случая и учёт нулевой функции; другая равносильная запись условий допустима.
Проверь: Чётная при b = 0; нечётная при a = c = 0; оба свойства при a = b = c = 0; ни одного при b ≠ 0 и хотя бы одном ненулевом a или c.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Проверь тождество

Найди область определения и выполни замену аргумента.

f(x) = x³ + x², область определения — все действительные числа. Выбери полную классификацию функции по чётности.
Варианты: 1) Только чётная; 2) Только нечётная; 3) И чётная, и нечётная; 4) Ни чётная, ни нечётная
Ответ и объяснение
Ответ: Ни чётная, ни нечётная
Область симметрична, но f(1) = 2 и f(−1) = 0. Эти значения ни равны, ни противоположны, поэтому оба общих равенства нарушены.
f(x) = $\frac{x² + 2}{x² + 5}$ , область определения — все действительные числа. Выбери полную классификацию функции по чётности.
Варианты: 1) Только чётная; 2) Только нечётная; 3) И чётная, и нечётная; 4) Ни чётная, ни нечётная
Ответ и объяснение
Ответ: Только чётная
Знаменатель положителен при любом x. Замена аргумента на противоположный не меняет квадрат и значение функции. Например, f(0) ≠ 0, так что нечётность не выполняется.
f(x) = 0 при каждом действительном x. Выбери полную классификацию функции по чётности.
Варианты: 1) Только чётная; 2) Только нечётная; 3) И чётная, и нечётная; 4) Ни чётная, ни нечётная
Ответ и объяснение
Ответ: И чётная, и нечётная
Область симметрична; нулевые значения одновременно равны друг другу и противоположны. Выполняются оба равенства для всех x.
f(x) = $\frac{x}{x² + 4}$ , область определения — все действительные числа. Выбери полную классификацию функции по чётности.
Варианты: 1) Только чётная; 2) Только нечётная; 3) И чётная, и нечётная; 4) Ни чётная, ни нечётная
Ответ и объяснение
Ответ: Только нечётная
Область симметрична. При замене x на −x числитель меняет знак, знаменатель сохраняется; f(−x) = −f(x). Значение f(1) ненулевое, чётность не выполняется.

Потренировать эту тему →

Не потеряй область

Исследуй функцию именно на указанном множестве.

f(x) = $\sqrt{25 − x²}$ на всей области определения исходной формулы. Выбери полную классификацию функции по чётности.
Варианты: 1) Только чётная; 2) Только нечётная; 3) И чётная, и нечётная; 4) Ни чётная, ни нечётная
Ответ и объяснение
Ответ: Только чётная
D = [−5; 5] симметрично. Квадрат аргумента не меняется, поэтому значения при x и −x равны. При x = 0 значение 5, что исключает нечётность.
f(x) = $\frac{x² − 9}{x − 3}$ на всей области определения исходной формулы. Выбери полную классификацию функции по чётности.
Варианты: 1) Только чётная; 2) Только нечётная; 3) И чётная, и нечётная; 4) Ни чётная, ни нечётная
Ответ и объяснение
Ответ: Ни чётная, ни нечётная
D = ℝ без 3; оно несимметрично: −3 входит, а 3 нет. Сокращение до x + 3 не меняет исходную область. Ни одно из свойств чётности не выполняется.
f(x) = x², x ∈ [−2; 3]. Выбери полную классификацию функции по чётности.
Варианты: 1) Только чётная; 2) Только нечётная; 3) И чётная, и нечётная; 4) Ни чётная, ни нечётная
Ответ и объяснение
Ответ: Ни чётная, ни нечётная
Область не симметрична относительно нуля: 3 допустимо, а −3 нет. Поэтому функция на этом отрезке ни чётная, ни нечётная, хотя выражение x² задаёт чётную функцию на всей прямой.
f(x) = x³, x ∈ [−4; −1] ∪ [1; 4]. Выбери полную классификацию функции по чётности.
Варианты: 1) Только чётная; 2) Только нечётная; 3) И чётная, и нечётная; 4) Ни чётная, ни нечётная
Ответ и объяснение
Ответ: Только нечётная
Область симметрична, хотя не содержит нуля. Для всех её аргументов (−x)³ = −x³. Ненулевые значения не равны значениям при противоположном аргументе.

Потренировать эту тему →

Используй свойство

Учитывай все данные, включая ненулевые значения.

Функция f нечётная и определена на всей числовой прямой. Известно f(−6) = 9. Найди f(6). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −9
Для противоположных аргументов значения нечётной функции противоположны: f(6) = −f(−6) = −9.
Функция f чётная и определена на всей прямой. Известно f(5) = −4. Найди f(−5). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −4
У чётной функции значения при противоположных аргументах равны: f(−5) = f(5) = −4.
При каком значении a функция f(x) = x³ + ax² − 7x, заданная на всей прямой, нечётная? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
Сумма f(−x) + f(x) = 2ax². Она тождественно равна нулю только при a = 0; тогда остаётся сумма нечётных степеней.
При каком значении b функция f(x) = (b − 2)x³ + 6x² + 4, заданная на всей прямой, чётная? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
Равенство f(−x) = f(x) требует 2(b − 2)x³ = 0 для всех x, поэтому b = 2. Оставшаяся функция 6x² + 4 чётная.

Потренировать эту тему →

Проверь преобразование

Отдельно проверь область и равенство значений.

f(x) = x|x|, область определения — все действительные числа. Выбери полную классификацию функции по чётности.
Варианты: 1) Только чётная; 2) Только нечётная; 3) И чётная, и нечётная; 4) Ни чётная, ни нечётная
Ответ и объяснение
Ответ: Только нечётная
|−x| = |x|, поэтому f(−x) = −x|x| = −f(x). При x = 1 и −1 значения 1 и −1 различны, так что чётности нет.
f(x) = $\frac{x − x}{x² − 1}$ на всей области определения исходной формулы. Выбери полную классификацию функции по чётности.
Варианты: 1) Только чётная; 2) Только нечётная; 3) И чётная, и нечётная; 4) Ни чётная, ни нечётная
Ответ и объяснение
Ответ: И чётная, и нечётная
D = ℝ без −1 и 1 симметрично. На нём числитель нулевой и функция равна нулю, поэтому выполняются оба равенства. Исключённые точки не возвращаются.
f(x) = $\frac{x³ − x}{x² − 1}$ на всей области определения исходной формулы. Выбери полную классификацию функции по чётности.
Варианты: 1) Только чётная; 2) Только нечётная; 3) И чётная, и нечётная; 4) Ни чётная, ни нечётная
Ответ и объяснение
Ответ: Только нечётная
D = ℝ без ±1 симметрично. На нём функция равна x; значения при противоположных аргументах противоположны. При x = 2 значение ненулевое, значит чётности нет.
f(x) = $\sqrt{x² + 2x + 7}$ , область определения — все действительные числа. Выбери полную классификацию функции по чётности.
Варианты: 1) Только чётная; 2) Только нечётная; 3) И чётная, и нечётная; 4) Ни чётная, ни нечётная
Ответ и объяснение
Ответ: Ни чётная, ни нечётная
Подкоренное выражение (x + 1)² + 6 положительно, область симметрична. Но f(1) = $\sqrt{10}$ , f(−1) = $\sqrt{6}$ : они не равны и не противоположны. Значит, нет ни одного из свойств.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 10 класс: содержание с. 15, результаты с. 18, планирование с. 21. Дата сверки — 25 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП 2025. Учебник из федерального перечня № 436: Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др., «Математика. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», базовый уровень, Просвещение. Целевые параграфы законно не прочитаны. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 26 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Две проверки для всей функции

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Проверь тождество

Не потеряй область

Используй свойство

Проверь преобразование

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме