Математика · 10 класс

Испытания Бернулли и биномиальное распределение — 10 класс

Восстанавливай параметры серии, читай распределение числа успехов и проверяй условия биномиальной модели. 16 коротких заданий и две письменные работы для 10 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

От серии к распределению числа успехов

В биномиальной модели заранее фиксированы n испытаний. Они независимы, в каждом два исхода, вероятность успеха p постоянна. X обозначает число успехов во всей серии и принимает значения от 0 до n.

Для X=k учитываются все C(n;k) расположений успехов. Вероятность равна C(n;k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Для события из нескольких значений X складывают соответствующие вероятности; вся таблица распределения должна давать сумму 1.

При условии на число успехов оставь только разрешённые значения X. Условная вероятность нужного события равна сумме его подходящих вероятностей, делённой на вероятность всего условия. Условие на отдельное испытание сначала внеси в модель остальных испытаний.

В обратной задаче крайняя вероятность или отношение соседних вероятностей определяет параметр p или n. Проверяй допустимость найденного значения. Выбор без возвращения, разные вероятности по шагам или один общий случайный источник могут нарушать биномиальную модель всей серии.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

В трёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,25. Построй полную таблицу распределения X — числа успехов, обосновав число расположений для каждого X. Проверь сумму вероятностей. Если известно, что успех хотя бы один, найди вероятность ровно двух. Таблицу запиши десятичными дробями. Для последней вероятности: ответ запиши обыкновенной дробью.
Разбор и ориентиры для проверки
Числа расположений 1, 3, 3, 1. Сумма четырёх вероятностей 1, вероятность условия 1 − 0,421875 = 0,578125 = $\frac{37}{64}$ . Числитель 0,140625 = $\frac{9}{64}$ , отношение $\frac{9}{37}$ . Критерии: таблица включает все значения, кратности обоснованы, сумма 1 проверена, условие исключает только X=0 и правильно задаёт знаменатель.
Проверь: Для X=0, 1, 2, 3 вероятности 0,421875; 0,421875; 0,140625; 0,015625. Условная вероятность ровно двух — $\frac{9}{37}$ .
Проверяют пять деталей. Дефекты независимы, вероятность дефекта каждой детали 0,2. Партия принимается, если дефектов не больше одного. Построй распределение числа дефектов и найди вероятность принятия партии. Для отклонённой партии найди условную вероятность ровно двух дефектов. Распределение и вероятность принятия запиши десятичными дробями. Ответ на последний вопрос запиши обыкновенной дробью.
Разбор и ориентиры для проверки
Коэффициенты распределения 1, 5, 10, 10, 5, 1; каждая вероятность вычисляется по числу дефектов и годных деталей. Принятие объединяет X=0 и X=1. Вероятность отклонения 1 − 0,73728 = 0,26272; искомое отношение $\frac{0,2048}{0,26272}$ = $\frac{640}{821}$ . Критерии: все шесть значений и вероятностей верны, сумма 1, правило принятия применено к нужным значениям, в условном знаменателе стоит отклонение всей партии.
Проверь: Для 0–5 дефектов: 0,32768; 0,4096; 0,2048; 0,0512; 0,0064; 0,00032. Принятие — 0,73728. Условная вероятность двух дефектов — $\frac{640}{821}$ .

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Восстанови параметр

X — число успехов; параметры не всегда даны напрямую.

Два испытания независимы, вероятность успеха p одинакова. Вероятность ни одного успеха равна 0,64. Найди p. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,2
Вероятность нуля успехов (1 − p)² = 0,64. Так как 0 ≤ p ≤ 1, получаем 1 − p = 0,8, p = 0,2.
Четыре испытания независимы и имеют одну вероятность успеха p. Вероятность четырёх успехов равна 0,2401. Найди p. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,7
Крайняя вероятность равна p⁴. Число 0,7 в четвёртой степени даёт 0,2401. Другой допустимый корень на промежутке от 0 до 1 отсутствует.
В серии n независимых бросков симметричной монеты успехом считают орла. Вероятность ни одного орла равна 0,015625. Найди число бросков n. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Для нуля орлов нужна одна цепочка решек, её вероятность ( $\frac{1}{2}$ )ⁿ. Значение 0,015625 равно $\frac{1}{64}$ = ( $\frac{1}{2}$ )⁶, поэтому n = 6.
В пяти независимых испытаниях вероятность успеха p одинакова и 0<p<1. X — число успехов. Известно, что $\frac{P(X=1)}{P(X=0)}$ = $\frac{10}{3}$ . Найди p. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,4
Отношение равно $\frac{5p(1 − p)⁴}{(1 − p)⁵}$ = $\frac{5p}{1 − p}$ . Из $\frac{5p}{1 − p}$ = $\frac{10}{3}$ следует 15p = 10 − 10p, p = 0,4.

Потренировать эту тему →

Условие на серию

Сначала выдели события, оставшиеся после условия.

В трёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,4. Известно, что был хотя бы один успех. Найди вероятность ровно двух успехов при этом условии. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{18}{49}$
Вероятность двух успехов равна 3 · 0,4² · 0,6 = 0,288. Вероятность условия 1 − 0,6³ = 0,784. Их отношение $\frac{0,288}{0,784}$ = $\frac{18}{49}$ .
В четырёх независимых испытаниях вероятность успеха равна 0,3 в каждом. Известно, что число успехов не больше одного. Найди условную вероятность нуля успехов. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{7}{19}$
P(X=0) = 0,7⁴ = 0,2401, P(X=1) = 4 · 0,3 · 0,7³ = 0,4116. Вероятность условия 0,6517. Отношение $\frac{0,2401}{0,6517}$ = $\frac{7}{19}$ .
В пяти независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,6. Известно, что всего было ровно три успеха. Найди вероятность, что первые два испытания успешны. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,3
При условии трёх успехов все десять наборов их мест равновозможны. Если первые два успешны, третье успешное место выбирают из оставшихся трёх: три набора. Условная вероятность $\frac{3}{10}$ = 0,3.
В трёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,2. Известно, что первое испытание успешно. Найди вероятность ровно двух успехов во всей серии при этом условии. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,32
После условия требуется ровно один успех в двух оставшихся независимых испытаниях. Его вероятность 2 · 0,2 · 0,8 = 0,32.

Потренировать эту тему →

Выбери значения X

Переведи условие события в значения числа успехов.

Пять испытаний независимы, вероятность успеха равна 0,3 в каждом. X — число успехов. Найди P(X=2 или X=4). Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,33705
P(X=2) = C(5;2) · 0,3² · 0,7³ = 0,3087. P(X=4) = C(5;4) · 0,3⁴ · 0,7 = 0,02835. События несовместны, их сумма 0,33705.
Четыре испытания независимы, вероятность успеха в каждом равна 0,1. X — число успехов. Найди P(1<X<4). Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,0522
Подходят только X=2 и X=3. Их вероятности 6 · 0,1² · 0,9² = 0,0486 и 4 · 0,1³ · 0,9 = 0,0036. Сумма 0,0522.
В трёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,4. X — число успехов. Найди вероятность, что X — чётное число. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,504
Чётные значения X здесь 0 и 2. Вероятность 0,6³ + 3 · 0,4² · 0,6 = 0,216 + 0,288 = 0,504. Значение 0 тоже чётное.
Четыре испытания независимы, вероятность успеха равна 0,2 в каждом. X — число успехов. Найди P(|X−2|=1). Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,4352
Условие означает X=1 или X=3. Получаем 4 · 0,2 · 0,8³ + 4 · 0,2³ · 0,8 = 0,4096 + 0,0256 = 0,4352.

Потренировать эту тему →

Проверь модель распределения

Не заменяй заданный опыт биномиальным без проверки.

В лотерее два выигрышных и четыре пустых отдельных билета. Три случайно выбирают без возвращения; все неупорядоченные тройки равновозможны. Ошибочная модель считает три выбора независимыми с вероятностью выигрыша $\frac{1}{3}$ . На сколько её вероятность ровно двух выигрышей больше истинной? Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{1}{45}$
Истинная вероятность $\frac{C(2;2) · C(4;1)}{C(6;3)}$ = $\frac{4}{20}$ = $\frac{1}{5}$ . Биномиальная модель дала бы 3 · ( $\frac{1}{3}$ )² · $\frac{2}{3}$ = $\frac{2}{9}$ . Разность $\frac{2}{9}$ − $\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{45}$ ; без возвращения испытания зависимы.
Один раз равновозможно выбирают коробку A или B. Вероятность выигрыша билета внутри A равна 0,2, внутри B — 0,6. Затем три раза берут билет из выбранной коробки с возвращением и перемешиванием; внутри неё выборы независимы. Найди вероятность ровно двух выигрышей. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,264
Внутри A вероятность равна 3 · 0,2² · 0,8 = 0,096, внутри B — 3 · 0,6² · 0,4 = 0,432. Выбранная коробка общая для всей серии: полная вероятность 0,5 · 0,096 + 0,5 · 0,432 = 0,264. Подстановка среднего p=0,4 в одну биномиальную формулу дала бы другой ответ.
Три испытания независимы, но вероятности успеха по порядку равны 0,4; 0,6; 0,7. Найди вероятность ровно двух успехов. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,436
Три подходящих пути: УУН, УНУ, НУУ. Их сумма 0,4 · 0,6 · 0,3 + 0,4 · 0,4 · 0,7 + 0,6 · 0,6 · 0,7 = 0,072 + 0,112 + 0,252 = 0,436. Постоянной p нет.
Четыре испытания независимы. Вероятность успеха в каждом из первых двух равна 0,2, в каждом из последних двух — 0,6. X — число успехов. Найди P(0<X<4). Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,8832
Подходят X=1, 2, 3. Дополнение состоит из четырёх неудач и четырёх успехов. Вероятность 1 − 0,8² · 0,4² − 0,2² · 0,6² = 1 − 0,1024 − 0,0144 = 0,8832. Независимость позволяет перемножать вероятности, но одной постоянной p для всей серии нет.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Дай краткий числовой ответ. Вероятность записывай десятичной дробью, а там, где это прямо указано, — обыкновенной. Математически равные точные записи принимаются; десятичная точка также принимается. Автопроверка оценивает ответ; распределение и проверку независимости запиши в тетради. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: курс «Вероятность и статистика», 10 класс: содержание с.57, результаты с.58, тематическое планирование с.60–61. Серии независимых испытаний Бернулли, случайные величины и примеры биномиального распределения.. Дата сверки — 11 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП. Учебник из федерального перечня № 436, № 1.1.3.7.1.1: Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», базовый и углублённый уровни, Просвещение. ФПУ № 436 от 22.06.2026, позиция 695. Подача сверена с законным издательским планированием Т.А. Бурмистровой, 2020: с.41–42 §§69/71 (независимость, распределение), с.54–55 (число успехов Бернулли в историческом углублённом плане той же линии). Исторический уровень не переносится на ФРП 2025: базовый класс 10 и биномиальное распределение подтверждены её планированием. Целевые параграфы учебника не прочитаны; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 11 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

От серии к распределению числа успехов

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Восстанови параметр

Условие на серию

Выбери значения X

Проверь модель распределения

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме