Комбинаторика, треугольник Паскаля и бином Ньютона — 10 класс

От выбора объектов к коэффициентам

В составном выборе разбивай решение на этапы. Для разных ролей или позиций порядок важен. Если выбранные k различимых объектов образуют группу без ролей, каждый её состав соответствует k! порядкам; повторение одного объекта запрещено, если условие не говорит обратного.

Обозначение C(n;k) означает число k-элементных подмножеств n-элементного множества: C(n;k) = $\frac{\text{n!}}{\text{k! · (n − k)!}}$. Выбор группы и выбор дополнения дают C(n;k) = C(n;n − k). В обратной задаче восстанавливай целое n или k и проверяй модель.

Строка n треугольника Паскаля содержит C(n;0), …, C(n;n). Каждое внутреннее число — сумма двух чисел над ним. Это связано с разделением групп по наличию одного выделенного элемента: C(n;k) = C(n − 1;k − 1) + C(n − 1;k). Строка n соответствует коэффициентам (1+x)ⁿ.

В разложении (a+b)ⁿ член с bᵏ равен C(n;k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ. Числовые множители и знак входят в коэффициент. Сумму коэффициентов многочлена можно найти подстановкой x=1; подстановка x=−1 помогает сравнить суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Построй строку n=6 треугольника Паскаля из строки n=5 и запиши полное разложение (1+x)⁶. Объясни комбинаторно, почему коэффициент при x³ получается суммой двух соседних чисел предыдущей строки: раздели трёхэлементные группы из шести элементов по наличию одного выделенного элемента. Проверь сумму коэффициентов подстановкой.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Группы с выделенным элементом дополняются двумя из остальных пяти: C(5;2) = 10. Группы без него выбирают три из пяти: C(5;3) = 10. Вместе C(6;3) = 20. Критерии: все коэффициенты и степени верны, две категории непересекаются и исчерпывают группы, строка построена сложением соседей, сумма 64 проверена при x = 1.

   Проверь: Строка: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Разложение: 1+6x+15x²+20x³+15x⁴+6x⁵+x⁶. Сумма коэффициентов 64.

2. Из семи учеников формируют команду из трёх. В модели A в команде назначают одного руководителя, двое остальных имеют одинаковую роль. В модели B всем троим назначают разные роли: руководитель, секретарь и докладчик. Повторный выбор одного ученика запрещён. Найди число вариантов каждой модели и объясни их отношение через перестановки. Затем опиши два последовательных этапа подсчёта модели A и проверь другим способом.

   Разбор и ориентиры для проверки

   A: C(7;3) · 3 = 35 · 3 = 105, либо 7 · C(6;2) = 105. B: C(7;3) · 3! = 210, либо 7 · 6 · 5 = 210. Для каждого состава и руководителя в A два порядка остальных участников не различаются, в B они дают два назначения ролей. Критерии: роли и порядок разделены, оба количества верны, отношение 2 обосновано, два независимых подсчёта A совпали.

   Проверь: A — 105 вариантов, B — 210; B вдвое больше A.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке