Математика · 10 класс

Дробно-рациональные неравенства: ОДЗ, знаки и границы

Решай дробно-рациональные неравенства методом интервалов: учитывай ОДЗ, нули числителя и границы. Задания с объяснениями и письменные работы для печати.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

При выдаче проверим вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Как сохранить допустимость и знак

Запиши область допустимых значений (ОДЗ): каждый исходный знаменатель должен быть отличен от нуля. Даже после сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Перенеси все слагаемые в одну сторону и приведи выражение к одной дроби. Не умножай неравенство на выражение с переменной без выяснения его знака: отрицательный множитель меняет направление знака.

Отметь нули числителя и знаменателя на числовой прямой. На каждом промежутке между ними определи знак дроби, например подстановкой одного числа. При переходе через множитель нечётной кратности знак меняется, чётной кратности — сохраняется.

Выбери промежутки нужного знака. При ≥ или ≤ нуль числителя включается, если знаменатель там не нулевой. Нуль знаменателя исключён при любом знаке; у бесконечности скобка круглая.

Если требуется число, сумма или крайнее целое решение, сначала найди множество решений и только затем выполни отбор. В письменном ответе укажи ОДЗ, знаки и все части множества.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Реши $\frac{x + 5}{(x − 1)(x + 3)}$ ≥ 0. Укажи ОДЗ, знаки на всех промежутках, изобрази ответ на числовой прямой и обоснуй каждую границу.
Разбор и ориентиры для проверки
ОДЗ: x ≠ −3, x ≠ 1. Критические точки −5, −3, 1. Знаки слева направо: −, +, −, +. Нуль числителя −5 включён; полюса −3 и 1 исключены. Критерии: исходные ограничения; все три точки; верные знаки с обоснованием; обе части ответа и границы. Допустим другой равносильный способ с разбором знаков знаменателя.
Проверь: [−5; −3) ∪ (1; +∞).
Ученик решал $\frac{x² − 16}{x − 4}$ ≤ 10 и записал: «Сокращаю x − 4: x + 4 ≤ 10, поэтому x ≤ 6». Проверь ответ ученика, реши исходное неравенство и изобрази решение на прямой. Объясни судьбу точки x = 4 и проверь другую конечную границу.
Разбор и ориентиры для проверки
Исходная ОДЗ: x ≠ 4. При этом ограничении дробь равна x + 4, поэтому x ≤ 6 и x ≠ 4. При x = 4 исходная дробь не определена, даже если после сокращения выражение существует. При x = 6 получаем 20 : 2 = 10, граница включена. Критерии: замечено потерянное ограничение; обосновано сокращение на ОДЗ; исключено только запрещённое значение 4 из луча x ≤ 6; верно показаны выколотая точка 4 и закрашенная точка 6. Допустима запись системой x ≤ 6, x ≠ 4.
Проверь: (−∞; 4) ∪ (4; 6]; в ответе ученика не исключена точка 4.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Знак дроби и границы

Найди допустимые значения и реши неравенство методом интервалов.

Сколько целых чисел из отрезка [−6; 7] удовлетворяют неравенству $\frac{x − 3}{x + 4}$ ≥ 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 7
ОДЗ: x ≠ −4. Дробь неотрицательна на (−∞; −4) ∪ [3; +∞). На отрезке подходят −6, −5, 3, 4, 5, 6, 7: всего 7.
Найди наибольшее целое решение неравенства $\frac{2x + 5}{x − 2}$ < 0. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
ОДЗ: x ≠ 2. Нуль числителя −2,5; дробь отрицательна на (−2,5; 2). Наибольшее целое решение 1.
Найди сумму всех целых решений неравенства $\frac{x + 2}{5 − x}$ > 0. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
ОДЗ: x ≠ 5. Дробь положительна при −2 < x < 5. Целые решения −1, 0, 1, 2, 3, 4; сумма 9.
Реши $\frac{3 − x}{x + 1}$ ≤ 0. Выбери полное множество решений.
Варианты: 1) (−∞; −1) ∪ [3; +∞); 2) (−1; 3]; 3) (−∞; −1] ∪ (3; +∞); 4) [−1; 3)
Ответ и объяснение
Ответ: (−∞; −1) ∪ [3; +∞)
ОДЗ: x ≠ −1. На (−∞; −1) дробь отрицательна, на (−1; 3) положительна, при x = 3 равна нулю, при x > 3 отрицательна. Ответ (−∞; −1) ∪ [3; +∞).

Потренировать эту тему →

Сначала одна дробь

Перенеси слагаемые и исследуй знак общей дроби на исходной ОДЗ.

Сколько целых решений имеет неравенство $\frac{4}{x − 1}$ > 2? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
ОДЗ: x ≠ 1. После переноса $\frac{6 − 2x}{x − 1}$ > 0. Знаки меняются в точках 1 и 3; решение (1; 3). Подходит только целое число 2: число решений 1.
Сколько целых чисел из отрезка [0; 8] удовлетворяют неравенству $\frac{x + 1}{x − 3}$ ≤ 2? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
ОДЗ: x ≠ 3. После переноса $\frac{7 − x}{x − 3}$ ≤ 0. Решение (−∞; 3) ∪ [7; +∞). На отрезке это 0, 1, 2, 7, 8 — всего 5.
Найди наибольшее целое отрицательное решение неравенства $\frac{2x − 1}{x + 2}$ > 1. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −3
ОДЗ: x ≠ −2. После переноса $\frac{x − 3}{x + 2}$ > 0. Решение (−∞; −2) ∪ (3; +∞). Наибольшее отрицательное целое решение −3.
Реши $\frac{x − 4}{x + 2}$ ≥ 3. Выбери полное множество решений.
Варианты: 1) (−∞; −5] ∪ (−2; +∞); 2) (−5; −2]; 3) [−5; −2]; 4) [−5; −2)
Ответ и объяснение
Ответ: [−5; −2)
ОДЗ: x ≠ −2. Приведём к $\frac{−2x − 10}{x + 2}$ ≥ 0. Нуль числителя −5 включён, знаменатель обращается в нуль при −2 и исключается. Дробь неотрицательна на [−5; −2).

Потренировать эту тему →

Кратность и исходные ограничения

Проверь знак каждого множителя и сохрани ограничения исходной дроби.

Сколько целых чисел из отрезка [−5; 4] удовлетворяют $\frac{(x − 2)²}{x + 3}$ ≤ 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
ОДЗ: x ≠ −3. При x < −3 числитель положителен, знаменатель отрицателен. При x > −3 дробь положительна, кроме нуля при x = 2. Решение (−∞; −3) ∪ {2}. Целые на отрезке: −5, −4, 2 — всего 3.
Найди сумму целых чисел из отрезка [−4; 6], удовлетворяющих $\frac{x² − 9}{x − 3}$ > 0. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 15
ОДЗ: x ≠ 3. На ОДЗ дробь равна x + 3. Поэтому x > −3, x ≠ 3. Целые решения на отрезке −2, −1, 0, 1, 2, 4, 5, 6; их сумма 15. Сокращение не разрешает исходное значение 3.
Сколько целых решений имеет неравенство $\frac{5}{(x − 4)²}$ ≤ 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
ОДЗ: x ≠ 4. Квадрат знаменателя на ОДЗ положителен, числитель 5 положителен. Дробь всегда положительна, поэтому решений нет; число целых решений 0.
Реши $\frac{(x + 1)²}{(x − 4)(x + 1)}$ ≥ 0. Выбери полное множество решений.
Варианты: 1) (−∞; −1] ∪ (4; +∞); 2) (−∞; −1) ∪ (4; +∞); 3) (−1; 4); 4) (−1; 4]
Ответ и объяснение
Ответ: (−∞; −1) ∪ (4; +∞)
Исходная ОДЗ: x ≠ −1 и x ≠ 4. После сокращения исследуем $\frac{x + 1}{x − 4}$ ≥ 0 на этой ОДЗ. Дробь положительна вне точек −1 и 4, между ними отрицательна; обе точки исключены. Ответ (−∞; −1) ∪ (4; +∞).

Потренировать эту тему →

Отбор после полного решения

Найди всё множество решений, затем выполни требуемый отбор.

Сколько целых чисел из отрезка [−5; 8] удовлетворяют $\frac{(x − 6)(x + 2)}{x − 1}$ ≥ 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
ОДЗ: x ≠ 1. Критические точки −2, 1, 6; знаки слева направо −, +, −, +. Решение [−2; 1) ∪ [6; +∞). На отрезке подходят −2, −1, 0, 6, 7, 8: всего 6.
Сколько целых чисел из отрезка [−6; 5] удовлетворяют $\frac{x − 4}{x(x + 2)}$ < 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 7
ОДЗ: x ≠ −2, x ≠ 0. Критические точки −2, 0, 4; знаки слева направо −, +, −, +. Решение (−∞; −2) ∪ (0; 4). Подходят −6, −5, −4, −3, 1, 2, 3 — всего 7.
Найди наибольшее целое отрицательное решение неравенства $\frac{x + 6}{x − 2}$ ≥ 0. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −6
ОДЗ: x ≠ 2. Решение (−∞; −6] ∪ (2; +∞). Нуль числителя −6 входит, так как знак нестрогий и знаменатель не равен нулю. Наибольшее целое отрицательное решение −6.
Реши $\frac{−2}{x − 5}$ ≥ 0. Выбери полное множество решений.
Варианты: 1) (5; +∞); 2) (−∞; 5]; 3) (−∞; 5); 4) [5; +∞)
Ответ и объяснение
Ответ: (−∞; 5)
Числитель отрицателен и не равен нулю. Дробь положительна при отрицательном знаменателе: x − 5 < 0. При x = 5 дробь не определена. Ответ (−∞; 5).

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 10 класс: содержание с. 15; результаты с. 17; планирование с. 20–21. Дата сверки — 29 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП. Учебник из федерального перечня № 436: Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др., «Математика. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», базовый уровень, Просвещение, 2026; ФПУ 1.1.3.7.1.1. Целевой параграф в законном фрагменте не прочитан. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 29 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Как сохранить допустимость и знак

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Знак дроби и границы

Сначала одна дробь

Кратность и исходные ограничения

Отбор после полного решения

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме