Математика · 8 класс

Совместная работа: составь уравнение и проверь время

Находи неизвестное время работы через рациональное и квадратное уравнение. Совместная работа и работа по этапам: задания с объяснениями и письменные решения для печати.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

При выдаче проверим вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

От времени к производительности

Прими весь заказ за одну работу. Если исполнитель делает её за t часов, за час он выполняет $\frac{1}{t}$ работы, а за a часов — $\frac{a}{t}$ . Все времена должны быть положительными и записанными в одинаковых единицах.

Выбери неизвестную величину и вырази через неё время второго исполнителя. Если x — меньшее время, а разность равна d > 0, большее время равно x + d; если x — большее, меньшее равно x − d и нужно x > d.

Запиши сумму выполненных долей работы. Если оба работают весь срок T, каждая доля равна T, делённому на соответствующее индивидуальное время. Сумма долей равна 1. При работе по этапам учитывай время каждого исполнителя отдельно.

Укажи ограничения до умножения на знаменатели. Реши полученное линейное или квадратное уравнение, затем отбрось корни, которые нарушают ограничения или смысл задачи.

Вернись к вопросу: время более быстрого и более медленного исполнителя различается. Подставь оба времени в исходную модель и проверь всю работу, а не только преобразованное уравнение.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Два насоса вместе наполняют бассейн за $\frac{40}{7}$ ч. Первый наполняет его один на 12 ч быстрее второго. Потоки постоянны и складываются. Найди время самостоятельной работы каждого насоса: выбери неизвестную, составь уравнение, обоснуй отбор корня и проверь исходные данные.
Разбор и ориентиры для проверки
Пусть x > 0 — время первого, второй затрачивает x + 12. Уравнение $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x + 12}$ = $\frac{7}{40}$ даёт 7x² + 4x − 480 = 0. Корни 8 и − $\frac{60}{7}$ , отрицательное время недопустимо. Проверка $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{20}$ = $\frac{7}{40}$ ; совместное время $\frac{40}{7}$ ч. Критерии: неизвестная и связь времён; модель суммы производительностей или долей; ограничения и решение; оба времени и проверка. Другой равносильный выбор неизвестной допустим.
Проверь: Первый — 8 ч, второй — 20 ч.
Первый станок выполняет заказ один на 18 ч быстрее второго. Сначала первый работал 5 ч один, затем к нему присоединился второй; они вместе завершили заказ за следующие 5 ч. Производительности постоянны и складываются. Ученик обозначил время самостоятельной работы первого через x и составил $\frac{5}{x}$ + $\frac{5}{x + 18}$ = 1. Проверь его модель, найди оба индивидуальных времени и обоснуй ответ.
Разбор и ориентиры для проверки
Ограничение x > 0. Верное уравнение $\frac{10}{x}$ + $\frac{5}{x + 18}$ = 1 даёт x² + 3x − 180 = 0. Корни 12 и −15, подходит 12; второй затрачивает 30 ч. Проверка: 10 : 12 + 5 : 30 = 1. Критерии: замечены пропущенные первые 5 ч; каждому приписано своё полное время; уравнение, ограничения и отбор; оба времени; проверка исходной работы. Равносильная модель с другой неизвестной допустима.
Проверь: Модель неверна: первый участвовал 10 ч. Первый — 12 ч, второй — 30 ч.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Оба работают до завершения

Свяжи неизвестные индивидуальные времена и доли общего заказа.

Первая бригада выполняет заказ самостоятельно на 3 ч быстрее второй. Вместе они выполняют этот заказ за 3,6 ч. Обе работают равномерно, их производительности складываются. За сколько часов первая бригада выполнит заказ одна? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Пусть x > 0 — время первой, второй нужно x + 3. $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x + 3}$ = $\frac{5}{18}$ . Получаем 5x² − 21x − 54 = 0, корни 6 и −1,8. Подходит 6 ч; второй нужно 9 ч. Проверка: $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{9}$ = $\frac{5}{18}$ .
Первый принтер печатает весь тираж один на 4 ч дольше второго. Вместе принтеры печатают этот тираж за 4,8 ч. Скорости печати постоянны и складываются. За сколько часов первый принтер напечатает тираж один? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 12
Пусть x > 4 — время первого; второму нужно x − 4. $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x − 4}$ = $\frac{5}{24}$ . Получаем 5x² − 68x + 96 = 0, корни 12 и 1,6. Условие x > 4 оставляет 12. Проверка: $\frac{1}{12}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{5}{24}$ .
Первый насос заполняет пустую ёмкость на 10 ч быстрее второго. Вместе они заполняют её за $\frac{20}{3}$ ч. Потоки постоянны и складываются. За сколько часов второй насос заполнит ёмкость один? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 20
Если x > 0 — время первого, то $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x + 10}$ = $\frac{3}{20}$ . Уравнение 3x² − 10x − 200 = 0 имеет корни 10 и − $\frac{20}{3}$ . Первому нужно 10 ч, второму 20 ч; сумма производительностей $\frac{3}{20}$ .
Первый мастер выполняет заказ один на 6 ч быстрее второго. При совместной равномерной работе они выполняют заказ за 4 ч. Производительности складываются. Сколько часов требуется первому мастеру одному?
Варианты: 1) 5 ч; 2) 6 ч; 3) 8 ч; 4) 12 ч
Ответ и объяснение
Ответ: 6 ч
Пусть x > 0 — время первого. $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x + 6}$ = $\frac{1}{4}$ даёт x² − 2x − 24 = 0. Корни 6 и −4. Подходит 6 ч; второй работает 12 ч, $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{4}$ .

Потренировать эту тему →

Работа по этапам

Для каждого исполнителя найди его полное время участия; производительности постоянны и складываются.

Пустой бассейн начали наполнять двумя насосами. Первый наполняет его один на 6 ч быстрее второго. После 2 ч совместной работы второй выключили, а первый завершил наполнение ещё за 6,75 ч. Потоки постоянны и складываются. За сколько часов первый насос наполнит пустой бассейн один? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
Пусть x > 0 — время первого, x + 6 — второго. Первый работал 8,75 ч, второй 2 ч: $\frac{8,75}{x}$ + $\frac{2}{x + 6}$ = 1. Получаем x² − 4,75x − 52,5 = 0, корни 10 и −5,25. Подходит 10 ч; $\frac{8,75}{10}$ + $\frac{2}{16}$ = 1.
Первый станок выполняет заказ один на 4 ч быстрее второго. Оба станка начали одновременно. Через 3 ч первый выключили, второй завершил заказ ещё за 4,5 ч. Производительности постоянны и складываются. За сколько часов второй станок выполнит весь заказ один? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 12
Пусть x > 4 — время второго. Первый работал 3 ч, второй 7,5 ч: $\frac{3}{x − 4}$ + $\frac{7,5}{x}$ = 1. Получаем x² − 14,5x + 30 = 0, корни 12 и 2,5. Подходит 12; первому нужно 8 ч. Проверка $\frac{3}{8}$ + $\frac{7,5}{12}$ = 1.
Первый исполнитель выполняет заказ один на 5 ч дольше второго. Сначала первый работал 3 ч один, затем оба вместе завершили заказ за следующие 4,8 ч. Их производительности постоянны и складываются. За сколько часов первый выполнит весь заказ один? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 15
Пусть x > 5 — время первого; второму нужно x − 5. Первый участвовал 7,8 ч, второй 4,8 ч: $\frac{7,8}{x}$ + $\frac{4,8}{x − 5}$ = 1. Получаем x² − 17,6x + 39 = 0, корни 15 и 2,6. Подходит 15 ч. Проверка $\frac{7,8}{15}$ + $\frac{4,8}{10}$ = 1.
Первая бригада выполняет работу одна на 6 ч быстрее второй. Сначала первая работала 4 ч, затем обе вместе завершили работу за следующие 4,8 ч. Их постоянные производительности складываются. За сколько часов вторая бригада сделает всю работу одна?
Варианты: 1) 12 ч; 2) 18 ч; 3) 15 ч; 4) 24 ч
Ответ и объяснение
Ответ: 18 ч
Пусть x > 0 — время первой, x + 6 — второй. $\frac{8,8}{x}$ + $\frac{4,8}{x + 6}$ = 1, откуда x² − 7,6x − 52,8 = 0. Корни 12 и −4,4. Первой нужно 12 ч, второй 18 ч; $\frac{8,8}{12}$ + $\frac{4,8}{18}$ = 1.

Потренировать эту тему →

Неизвестная и смысл корней

Назови, чьё время обозначено неизвестной, составь модель и вернись к вопросу.

Первый мастер выполняет заказ один за x часов, а второй тратит на тот же заказ на 5 ч меньше. Вместе они выполняют заказ за 6 ч; производительности постоянны и складываются. Какое уравнение с ограничением x > 5 описывает условие?
Варианты: 1) $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x + 5}$ = $\frac{1}{6}$ ; 2) x + (x − 5) = 6; 3) $\frac{6}{x}$ + $\frac{1}{x − 5}$ = 1; 4) $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x − 5}$ = $\frac{1}{6}$
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x − 5}$ = $\frac{1}{6}$
Второй мастер тратит x − 5 часов. За час первый выполняет $\frac{1}{x}$ заказа, второй $\frac{1}{x − 5}$ . Совместная производительность $\frac{1}{6}$ . Равносильная модель долей: $\frac{6}{x}$ + $\frac{6}{x − 5}$ = 1.
Первый принтер печатает тираж один на 2 ч быстрее второго. Вместе они печатают тираж за 2,4 ч. Оба работают равномерно, их производительности складываются. Найди время самостоятельной работы первого принтера в часах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Пусть x > 0 — время первого. $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x + 2}$ = $\frac{5}{12}$ . После умножения 5x² − 14x − 24 = 0, корни 4 и −1,2. Подходит 4 ч; второму нужно 6 ч, $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{12}$ .
Первый насос наполняет бак один на 9 ч дольше второго. Вместе они наполняют бак за 6 ч. Потоки постоянны и складываются. За сколько часов первый наполнит бак один? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 18
Обозначим время первого x > 9. $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x − 9}$ = $\frac{1}{6}$ даёт x² − 21x + 54 = 0. Корни 18 и 3 положительны, но 3 нарушает x > 9. Подходит 18 ч; второй наполняет за 9 ч.
Одна бригада выполняет заказ самостоятельно на 8 ч быстрее другой. Вместе они выполняют заказ за 7,5 ч; производительности постоянны и складываются. Найди сумму времён самостоятельной работы обеих бригад в часах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 32
Если x > 0 — меньшее время, $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x + 8}$ = $\frac{2}{15}$ . Получаем x² − 7x − 60 = 0, корни 12 и −5. Времена 12 и 20 ч, их сумма 32 ч. Проверка: $\frac{1}{12}$ + $\frac{1}{20}$ = $\frac{2}{15}$ .

Потренировать эту тему →

Применение найденной модели

Сначала найди индивидуальные времена, затем выполни дополнительный отбор или расчёт.

Два станка вместе выполняют заказ за 6 ч. Первый выполняет его один на 5 ч быстрее второго. Их производительности постоянны и складываются. Ученик решил, что второму нужно 12 ч, удвоив совместное время. Найди верное время второго станка в часах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 15
Пусть x > 0 — время первого. $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x + 5}$ = $\frac{1}{6}$ даёт x² − 7x − 30 = 0, корни 10 и −3. Первому нужно 10 ч, второму 15 ч. Удвоение 6 ч подразумевало бы одинаковые производительности, чего здесь нет.
Две бригады вместе ремонтируют площадку 140 м² за 10 ч. Первая отремонтировала бы всю площадку одна на 21 ч быстрее второй. Производительности постоянны и складываются. Сколько квадратных метров первая бригада отремонтирует за 3 ч самостоятельной работы? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 30
Пусть x > 0 — время первой. $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x + 21}$ = $\frac{1}{10}$ даёт x² + x − 210 = 0, корни 14 и −15. Производительность первой 140 : 14 = 10 м²/ч; за 3 ч она отремонтирует 30 м².
Первый станок выполняет заказ один на 14 ч быстрее второго. Вместе они выполняют заказ за 5,25 ч. Производительности постоянны и складываются. Оба начали работать одновременно; через 2 ч первый выключили. За сколько следующих часов второй завершит заказ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 13
Пусть x > 0 — время первого. $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x + 14}$ = $\frac{4}{21}$ даёт 4x² + 14x − 294 = 0. Корни 7 и −10,5, поэтому второму нужен 21 ч. За 2 ч вместе выполнено $\frac{8}{21}$ заказа; осталось $\frac{13}{21}$ . Второй завершит эту долю за 13 ч.
Первая бригада выполняет заказ одна на 10 ч быстрее второй. Вместе они выполняют его за 9,375 ч. Постоянные производительности складываются. За сколько часов первая бригада выполнит заказ одна?
Варианты: 1) 10 ч; 2) 20 ч; 3) 15 ч; 4) 25 ч
Ответ и объяснение
Ответ: 15 ч
Обозначим время второй x > 10. $\frac{1}{x − 10}$ + $\frac{1}{x}$ = $\frac{8}{75}$ даёт 8x² − 230x + 750 = 0. Корни 25 и 3,75. Подходит x = 25, поэтому первой нужно 15 ч. Проверка: $\frac{1}{15}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{8}{75}$ .

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

В числовом задании требуется краткий ответ: число без единицы измерения. Единица названа в вопросе. В выборе отметь один верный вариант. Автопроверка оценивает ответ; промежуточные действия и обоснование проверяй по разбору письменной работы. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 5–9 классы», базовый уровень, 2025: 8 класс: содержание с. 42–43; результаты с. 46; планирование с. 57. Дата сверки — 29 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП. Учебник из федерального перечня № 436: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др., под редакцией С. А. Теляковского, «Математика. Алгебра. 8 класс», базовый уровень, Просвещение, 2026; ФПУ 1.1.2.7.1.4. Законный фрагмент с. 5–7 содержит рациональные выражения и допустимые значения; целевые параграфы решения задач не прочитаны. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 29 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

От времени к производительности

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Оба работают до завершения

Работа по этапам

Неизвестная и смысл корней

Применение найденной модели

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме