Математика · 11 класс

Тригонометрические неравенства: дуги, границы и период

Решай простейшие неравенства с синусом, косинусом и тангенсом: находи дуги, учитывай период и границы. Практика с объяснениями и письменные работы для печати.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

При выдаче проверим вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

От одного периода ко всем решениям

На единичной окружности sin x — ордината точки, cos x — её абсцисса. Отметь граничные углы, где достигается указанное значение, затем выбери дуги, соответствующие знаку неравенства.

Синус и косинус имеют период 2π. К найденным дугам одного полного оборота прибавляй 2πn, где n — любое целое число; не теряй отрицательные углы.

Тангенс не определён при x = $\frac{π}{2}$ + πn. На каждой ветви между соседними такими точками он возрастает; решения повторяются через π. Точку, где тангенс не существует, исключай и при нестрогом знаке.

При < или > граница, на которой достигается равенство, исключена; при ≤ или ≥ включена, если функция там определена. Граница заданного отрезка входит только тогда, когда удовлетворяет исходному неравенству.

Для аргумента ax + b сначала реши неравенство относительно всего аргумента, затем вырази x во всех частях записи. Если делишь на отрицательное число, меняй направление знаков. Период по x равен $\frac{T}{|a|}$ , где T — период по аргументу.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Реши sin(x + $\frac{π}{4}$ ) ≤ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Покажи подходящие дуги единичной окружности и запиши все действительные решения. Обоснуй границы и период.
Разбор и ориентиры для проверки
Обозначим y = x + $\frac{π}{4}$ . Для sin y ≤ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ подходит дуга [ $\frac{3π}{4}$ + 2πn; $\frac{9π}{4}$ + 2πn]. Вычитая $\frac{π}{4}$ из обеих границ, получаем [ $\frac{π}{2}$ + 2πn; 2π + 2πn]. Обе конечные границы включены по знаку ≤. Критерии: правильная дуга; перенос сдвига из обоих концов; включение границ; период и целый параметр. Равносильная запись объединением других дуг допустима.
Проверь: [ $\frac{π}{2}$ + 2πn; 2π + 2πn], n — любое целое число.
Реши tg(3x) > −1 и отбери решения на отрезке [− $\frac{π}{3}$ ; $\frac{π}{3}$ ]. Покажи общий ответ до отбора, все попавшие части и включение концов.
Разбор и ориентиры для проверки
На ветви: − $\frac{π}{4}$ + πn < 3x < $\frac{π}{2}$ + πn. Деление на 3 даёт (− $\frac{π}{12}$ + $\frac{πn}{3}$ ; $\frac{π}{6}$ + $\frac{πn}{3}$ ). С отрезком пересекаются ветви n = −1, 0, 1: получаем три части, указанные в ответе. Концы исходного отрезка включены: при x = ± $\frac{π}{3}$ тангенс равен 0 > −1. Полюса ± $\frac{π}{6}$ и границы равенства исключены. Критерии: общий ответ; верный период после деления; три пересечения; корректные границы. Равносильная запись допускается.
Проверь: [− $\frac{π}{3}$ ; − $\frac{π}{6}$ ) ∪ (− $\frac{π}{12}$ ; $\frac{π}{6}$ ) ∪ ( $\frac{π}{4}$ ; $\frac{π}{3}$ ].

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Синус и дуги

Реши неравенство и выполни отбор, заданный в самом вопросе.

Угол x = $\frac{kπ}{6}$ , где k — целое и 0 ≤ k ≤ 12. Для скольких k выполняется sin x ≥ $\frac{1}{2}$ ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
В одном обороте решение [ $\frac{π}{6}$ ; $\frac{5π}{6}$ ]. Подходят k = 1, 2, 3, 4, 5, всего 5.
Угол x = $\frac{kπ}{12}$ , где k — целое и 0 ≤ k ≤ 24. Для скольких k выполняется sin x < − $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
Строгий знак задаёт ( $\frac{4π}{3}$ ; $\frac{5π}{3}$ ) в [0; 2π]. Поэтому 16 < k < 20, подходят 17, 18, 19: всего 3.
Угол x = $\frac{kπ}{4}$ , где k — целое и −5 ≤ k ≤ 7. Для скольких k выполняется sin x > 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Общее решение (2πn; π + 2πn). Для k это 8n < k < 4 + 8n. В заданном диапазоне подходят −5, 1, 2, 3: всего 4. Отрицательный угол тоже нужно учесть.
Реши sin x ≤ − $\frac{1}{2}$ . Во всех вариантах n — любое целое число. Выбери полный ответ.
Варианты: 1) [ $\frac{π}{2}$ + 2πn; $\frac{7π}{6}$ + 2πn]; 2) [ $\frac{π}{6}$ + 2πn; $\frac{5π}{6}$ + 2πn]; 3) [ $\frac{3π}{2}$ + 2πn; $\frac{13π}{6}$ + 2πn]; 4) [ $\frac{7π}{6}$ + 2πn; $\frac{11π}{6}$ + 2πn]
Ответ и объяснение
Ответ: [ $\frac{7π}{6}$ + 2πn; $\frac{11π}{6}$ + 2πn]
Ордината не больше − $\frac{1}{2}$ на нижней дуге от $\frac{7π}{6}$ до $\frac{11π}{6}$ . Концы включены по знаку ≤; дуга повторяется через 2π.

Потренировать эту тему →

Косинус и промежутки

Учитывай периодичность и каждую конечную границу.

Угол x = $\frac{kπ}{6}$ , где k — целое и −2 ≤ k ≤ 14. Для скольких k выполняется cos x > $\frac{1}{2}$ ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Решение (− $\frac{π}{3}$ + 2πn; $\frac{π}{3}$ + 2πn). Для k: −2 + 12n < k < 2 + 12n. Подходят −1, 0, 1, 11, 12, 13 — всего 6.
Угол x = $\frac{kπ}{8}$ , где k — целое и 0 ≤ k ≤ 16. Для скольких k выполняется cos x ≤ − $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
В [0; 2π] подходит [ $\frac{3π}{4}$ ; $\frac{5π}{4}$ ]. Поэтому 6 ≤ k ≤ 10. Это пять значений 6, 7, 8, 9, 10.
Угол x = $\frac{kπ}{6}$ , где k — целое и 0 ≤ k ≤ 12. Для скольких k выполняется cos(2x) ≥ 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 7
Аргумент 2x = $\frac{kπ}{3}$ . Подходят остатки k при делении на 6: 0, 1, 5. В диапазоне это 0, 1, 5, 6, 7, 11, 12 — всего 7.
Реши cos x < 0. Во всех вариантах n — любое целое число. Выбери полный ответ.
Варианты: 1) ( $\frac{π}{4}$ + 2πn; $\frac{5π}{4}$ + 2πn); 2) ( $\frac{π}{2}$ + 2πn; $\frac{3π}{2}$ + 2πn); 3) ( $\frac{3π}{4}$ + 2πn; $\frac{7π}{4}$ + 2πn); 4) (− $\frac{π}{2}$ + 2πn; $\frac{π}{2}$ + 2πn)
Ответ и объяснение
Ответ: ( $\frac{π}{2}$ + 2πn; $\frac{3π}{2}$ + 2πn)
Косинус отрицателен в левой полуокружности, то есть между $\frac{π}{2}$ и $\frac{3π}{2}$ . На концах косинус нулевой, поэтому они исключены. Повтор через 2π.

Потренировать эту тему →

Тангенс: ветвь и полюс

Исключи углы, где функция не определена.

Угол x = $\frac{kπ}{8}$ , где k — целое и 0 ≤ k ≤ 8. Для скольких k выполняется tg x > 1? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
В [0; π] решение ( $\frac{π}{4}$ ; $\frac{π}{2}$ ). Значит 2 < k < 4, только k = 3. Число подходящих k равно 1; при k = 4 тангенс не определён.
Угол x = $\frac{kπ}{12}$ , где k — целое и 0 ≤ k ≤ 24. Для скольких k выполняется tg x ≤ −1? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
На каждой ветви решение ( $\frac{π}{2}$ + πn; $\frac{3π}{4}$ + πn]. В заданном диапазоне подходят k = 7, 8, 9, 19, 20, 21: всего 6. Полюса k = 6 и 18 не входят.
Угол x = $\frac{kπ}{8}$ , где k — целое и −2 ≤ k ≤ 10. Для скольких k выполняется tg(2x) < 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
Аргумент 2x = $\frac{kπ}{4}$ . Тангенс отрицателен при k = −1, 3, 7 в данном диапазоне. Чётные k дают нуль или полюс и не подходят, остальные нечётные дают положительный тангенс. Всего 3.
Реши tg x ≥ $\sqrt{3}$ . Во всех вариантах n — любое целое число. Выбери полный ответ.
Варианты: 1) [ $\frac{π}{4}$ + πn; $\frac{π}{2}$ + πn); 2) [ $\frac{5π}{12}$ + πn; $\frac{π}{2}$ + πn); 3) [ $\frac{π}{6}$ + πn; $\frac{π}{2}$ + πn); 4) [ $\frac{π}{3}$ + πn; $\frac{π}{2}$ + πn)
Ответ и объяснение
Ответ: [ $\frac{π}{3}$ + πn; $\frac{π}{2}$ + πn)
На ветви (− $\frac{π}{2}$ ; $\frac{π}{2}$ ) тангенс возрастает и равен $\sqrt{3}$ при $\frac{π}{3}$ . Нижняя граница включена, полюс исключён. Все ветви повторяются через π.

Потренировать эту тему →

Линейный аргумент

Сначала реши неравенство для всего аргумента, затем вернись к x.

Угол x = $\frac{kπ}{6}$ , где k — целое и 0 ≤ k ≤ 12. Для скольких k выполняется sin(2x − $\frac{π}{6}$ ) ≥ $\frac{1}{2}$ ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Аргумент равен $\frac{(2k − 1)π}{6}$ . В одном периоде sin ≥ $\frac{1}{2}$ на [ $\frac{π}{6}$ ; $\frac{5π}{6}$ ]. Для целых k подходят остатки 1, 2, 3 при делении на 6: k = 1, 2, 3, 7, 8, 9. Всего 6.
Угол x = $\frac{kπ}{6}$ , где k — целое и 0 ≤ k ≤ 12. Найди сумму всех k, для которых cos(x + $\frac{π}{3}$ ) < − $\frac{1}{2}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 12
Аргумент $\frac{(k + 2)π}{6}$ . Косинус меньше − $\frac{1}{2}$ между $\frac{2π}{3}$ и $\frac{4π}{3}$ с периодом 2π. Получаем 2 < k < 6, подходят 3, 4, 5. Их сумма 12.
Угол x = $\frac{kπ}{8}$ , где k — целое и 0 ≤ k ≤ 16. Найди сумму всех k, для которых tg(x − $\frac{π}{4}$ ) > 0. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 48
Аргумент $\frac{(k − 2)π}{8}$ . На положительной части каждой ветви 0 < (k − 2) − 8n < 4. Подходят k = 3, 4, 5, 11, 12, 13, сумма 48. Границы с нулём и полюсы не входят.
Реши sin(2x) > 0. Во всех вариантах n — любое целое число. Выбери полный ответ.
Варианты: 1) (πn; $\frac{π}{2}$ + πn); 2) ( $\frac{π}{2}$ + πn; π + πn); 3) ( $\frac{π}{4}$ + πn; $\frac{3π}{4}$ + πn); 4) (− $\frac{π}{4}$ + πn; $\frac{π}{4}$ + πn)
Ответ и объяснение
Ответ: (πn; $\frac{π}{2}$ + πn)
Положительный синус: 2πn < 2x < π + 2πn. Делим все части на 2: πn < x < $\frac{π}{2}$ + πn. Период по x равен π, обе границы исключены.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Углы записаны в радианах. В числовое поле вводи число подходящих k либо их сумму — это прямо указано в задании. В вариантах n — любое целое число. Полное решение и отбор обоснуй в тетради. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 11 класс: содержание с. 16; результаты с. 19; планирование с. 26. Дата сверки — 29 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП. Учебник из федерального перечня № 436: Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др., «Математика. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», базовый уровень, Просвещение, 2026; ФПУ 1.1.3.7.1.1. Целевой §37 в законном фрагменте не прочитан. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 29 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

От одного периода ко всем решениям

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Синус и дуги

Косинус и промежутки

Тангенс: ветвь и полюс

Линейный аргумент

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме