Математика · 8 класс

Движение: найди неизвестную скорость через уравнение

Составляй рациональные и квадратные уравнения по скоростям и времени движения. Сравнивай поездки, учитывай течение, отбирай и проверяй корни.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

При выдаче проверим вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Переведи условие в путь, скорость и время

Выбери неизвестную скорость и вырази остальные скорости через неё. При постоянной скорости v > 0 время прохождения пути S равно $\frac{S}{v}$ . Все пути, скорости и времена приведи к согласованным единицам.

Если быстрее едут по тому же пути, затраченное время меньше. При разности времён вычитай меньшее из большего; при общем времени складывай времена участков. Разность скоростей нельзя подставлять вместо скорости участка.

В стоячей воде собственная скорость лодки v, скорость течения u. По течению скорость v + u, против течения v − u. Для поездки против течения требуется v > u; собственная скорость не равна средней скорости всего маршрута.

Укажи ограничения до умножения на знаменатели. Составь рациональное уравнение и реши полученное квадратное; проверь каждый корень по положительности скоростей и смыслу условия.

Верни найденные скорости в исходные выражения времени. Проверь разность или сумму времён, затем ответь именно на поставленный вопрос. Короткий ответ не заменяет запись модели и обоснование.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Водитель проехал 180 км в один город и вернулся по той же дороге. На обратном пути он увеличил постоянную скорость на 15 км/ч. Всё движение без остановок заняло 7 ч. Найди обе скорости: обозначь неизвестную, составь уравнение, обоснуй отбор корня и проверь время.
Разбор и ориентиры для проверки
Пусть x > 0 — скорость туда. $\frac{180}{x}$ + $\frac{180}{x + 15}$ = 7. Получаем 7x² − 255x − 2700 = 0. Корни 45 и − $\frac{60}{7}$ , подходит 45. Обратная скорость 60 км/ч. Проверка: 180 : 45 = 4 ч, 180 : 60 = 3 ч, вместе 7 ч. Критерии: неизвестная и связь скоростей, оба времени и их сумма, ограничения, решение и отбор, обе скорости и проверка. Другой равносильный выбор неизвестной допустим.
Проверь: Туда — 45 км/ч, обратно — 60 км/ч.
Собственная скорость лодки 18 км/ч. Она прошла 64 км по течению и 64 км против течения за 8 ч без остановок. Скорость течения постоянна, положительна и меньше 18 км/ч. Ученик нашёл среднюю скорость 128 : 8 = 16 км/ч и решил, что течение имеет скорость 18 − 16 = 2 км/ч. Проверь вывод и найди скорость течения через уравнение.
Разбор и ориентиры для проверки
Пусть 0 < u < 18 — скорость течения. $\frac{64}{18 + u}$ + $\frac{64}{18 − u}$ = 8 даёт $\frac{2304}{324 − u²}$ = 8, откуда u² = 36. Корни 6 и −6, подходит 6 км/ч. Времена $\frac{8}{3}$ и $\frac{16}{3}$ ч, сумма 8 ч. Средняя скорость всего пути не равна собственной скорости минус течение: времена участков различны. Критерии: установлена ошибка вывода; верные скорости и времена; уравнение и ограничения; решение и отбор; проверка. Другой равносильный способ допустим.
Проверь: Вывод неверен: скорость течения 6 км/ч.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Один путь, разное время

Свяжи скорости и сравни времена одного пути; скорости на участках постоянны.

Два велосипедиста проезжают по 60 км с постоянными скоростями. Скорость второго на 2 км/ч больше скорости первого, поэтому второй тратит на этот путь на 1 ч меньше. Найди скорость первого в км/ч. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
Пусть x > 0 — скорость первого. $\frac{60}{x}$ − $\frac{60}{x + 2}$ = 1, откуда x² + 2x − 120 = 0. Корни 10 и −12; подходит 10. Времена 6 и 5 ч.
Два автомобиля проходят по 150 км. Второй движется на 10 км/ч быстрее первого и тратит на этот путь на 30 минут меньше. Скорости постоянны. Найди скорость второго в км/ч. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 60
30 минут = 0,5 ч. Если x > 0 — скорость первого, $\frac{150}{x}$ − $\frac{150}{x + 10}$ = 0,5. Получаем x² + 10x − 3000 = 0, корни 50 и −60. Скорость второго 60 км/ч; времена 3 и 2,5 ч.
Каждый из двух велосипедистов проезжает 120 км. Скорость первого на 4 км/ч меньше скорости второго, и первый тратит на этот путь на 1 ч больше. Скорости постоянны. Найди скорость первого в км/ч. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 20
Пусть x > 0 — скорость первого. $\frac{120}{x}$ − $\frac{120}{x + 4}$ = 1 даёт x² + 4x − 480 = 0. Корни 20 и −24. Подходит 20; времена 6 и 5 ч.
Два автомобиля проходят по 240 км с постоянными скоростями. Скорость второго на 20 км/ч больше, поэтому второй тратит на путь на 1 ч меньше. Найди скорость второго.
Варианты: 1) 40 км/ч; 2) 60 км/ч; 3) 70 км/ч; 4) 80 км/ч
Ответ и объяснение
Ответ: 80 км/ч
Пусть x > 0 — скорость первого. $\frac{240}{x}$ − $\frac{240}{x + 20}$ = 1 даёт x² + 20x − 4800 = 0, корни 60 и −80. Второй движется со скоростью 80 км/ч. Проверка: 4 ч − 3 ч = 1 ч.

Потренировать эту тему →

Сумма времён участков

Найди время каждого участка отдельно, затем составь их сумму.

Велосипедист проехал 72 км до города и вернулся той же дорогой. На обратном пути его постоянная скорость была на 6 км/ч больше. Всё движение без остановок заняло 7 ч. Найди скорость на пути до города в км/ч. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 18
Пусть x > 0 — скорость туда. $\frac{72}{x}$ + $\frac{72}{x + 6}$ = 7 даёт 7x² − 102x − 432 = 0. Корни 18 и − $\frac{24}{7}$ . Подходит 18; обратно 24 км/ч. Времена 4 и 3 ч.
Велосипедист проехал 100 км до пункта назначения и 100 км обратно. На обратном пути его постоянная скорость была на 5 км/ч меньше. Весь путь без остановок занял 9 ч. Найди скорость на обратном пути в км/ч. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 20
Пусть x > 5 — скорость туда. $\frac{100}{x}$ + $\frac{100}{x − 5}$ = 9 даёт 9x² − 245x + 500 = 0. Корни 25 и $\frac{20}{9}$ . Подходит 25; обратно 20 км/ч. Времена 4 и 5 ч.
Велосипедист ехал до пункта по дороге длиной 54 км, а возвращался по объезду длиной 90 км. Обратная постоянная скорость была на 3 км/ч больше. Всё движение без остановок заняло 10,5 ч. Найди обратную скорость в км/ч. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 15
Пусть x > 0 — скорость туда. $\frac{54}{x}$ + $\frac{90}{x + 3}$ = 10,5 даёт 7x² − 75x − 108 = 0. Корни 12 и − $\frac{9}{7}$ . Туда 12, обратно 15 км/ч. Проверка: 4,5 + 6 = 10,5 ч.
Велосипедист проехал 84 км до города и 84 км обратно. На обратном пути его постоянная скорость была на 7 км/ч больше. Всё движение без остановок заняло 7 ч. Найди скорость до города.
Варианты: 1) 21 км/ч; 2) 20,5 км/ч; 3) 24 км/ч; 4) 22 км/ч
Ответ и объяснение
Ответ: 21 км/ч
Пусть x > 0. $\frac{84}{x}$ + $\frac{84}{x + 7}$ = 7 даёт x² − 17x − 84 = 0. Корни 21 и −4, подходит 21. Обратно 28 км/ч; времена 4 и 3 ч.

Потренировать эту тему →

Течение и собственная скорость

Собственная скорость лодки больше скорости течения; скорости и течение постоянны.

Лодка прошла 90 км по течению и 90 км против течения. Скорость течения 5 км/ч, собственная скорость лодки постоянна и больше скорости течения. На весь путь ушло 16,25 ч без остановок. Найди собственную скорость лодки в км/ч. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 13
Пусть x > 5. $\frac{90}{x + 5}$ + $\frac{90}{x − 5}$ = 16,25 даёт 13x² − 144x − 325 = 0. Корни 13 и − $\frac{25}{13}$ , подходит 13. Скорости 18 и 8 км/ч; времена 5 и 11,25 ч.
Лодка прошла 48 км по течению и 48 км против течения без остановок за 10 ч. Скорость течения 2 км/ч; собственная скорость постоянна и больше скорости течения. Найди скорость лодки против течения в км/ч. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
Пусть x > 2 — собственная скорость. $\frac{48}{x + 2}$ + $\frac{48}{x − 2}$ = 10 даёт 5x² − 48x − 20 = 0. Корни 10 и −0,4. Собственная скорость 10, против течения 8 км/ч. Проверка: 4 + 6 = 10 ч.
Лодка прошла по 60 км по течению и против течения. Скорость течения 3 км/ч, собственная скорость постоянна и больше скорости течения. Всё движение без остановок заняло 15 ч. Найди скорость по течению в км/ч. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 12
Пусть x > 3 — собственная скорость. $\frac{60}{x + 3}$ + $\frac{60}{x − 3}$ = 15 даёт x² − 8x − 9 = 0. Корни 9 и −1. По течению скорость 12 км/ч, против 6 км/ч. Времена 5 и 10 ч.
Лодка прошла 72 км по течению и 72 км против течения без остановок за 10 ч. Скорость течения 3 км/ч, собственная скорость постоянна и больше скорости течения. Найди собственную скорость.
Варианты: 1) 14,4 км/ч; 2) 14,8 км/ч; 3) 15 км/ч; 4) 16 км/ч
Ответ и объяснение
Ответ: 15 км/ч
Пусть x > 3. $\frac{72}{x + 3}$ + $\frac{72}{x − 3}$ = 10 даёт 5x² − 72x − 45 = 0. Корни 15 и −0,6. Подходит 15 км/ч; по течению 18, против 12 км/ч. Времена 4 и 6 ч.

Потренировать эту тему →

Ответ после построения модели

Сначала найди скорости, затем рассчитай запрошенную величину.

Два велосипедиста проехали одну дорогу длиной 90 км и прибыли одновременно. Второй выехал на 1 ч позже первого и ехал на 3 км/ч быстрее. Скорости постоянны, остановок нет. Найди скорость второго в км/ч. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 18
Пусть x > 0 — скорость первого. Второй был в пути на час меньше: $\frac{90}{x}$ − $\frac{90}{x + 3}$ = 1. Получаем x² + 3x − 270 = 0, корни 15 и −18. Второй ехал 18 км/ч; времена 6 и 5 ч.
Поезд прошёл первый участок 120 км, затем второй 160 км. На втором участке его постоянная скорость была на 20 км/ч больше. На движение по обоим участкам ушло $\frac{17}{3}$ ч без остановок. Найди скорость на втором участке в км/ч. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 60
Пусть x > 0 — скорость первого участка. $\frac{120}{x}$ + $\frac{160}{x + 20}$ = $\frac{17}{3}$ даёт 17x² − 500x − 7200 = 0. Корни 40 и − $\frac{180}{17}$ . На втором участке 60 км/ч. Проверка: 3 + $\frac{8}{3}$ = $\frac{17}{3}$ ч.
Велосипедист мог проехать 72 км с постоянной скоростью. Увеличив её на 6 км/ч, он затратил бы на тот же путь на 24 минуты меньше. Сколько минут занял бы путь после увеличения скорости? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 120
24 минуты = 0,4 ч. Пусть x > 0 — исходная скорость. $\frac{72}{x}$ − $\frac{72}{x + 6}$ = 0,4 даёт x² + 6x − 1080 = 0. Корни 30 и −36. После увеличения скорость 36 км/ч, время 72 : 36 = 2 ч = 120 минут. Исходное время 144 минуты, разность 24 минуты.
Лодка прошла 120 км по течению и 120 км против течения без остановок за 17,5 ч. Течение 2 км/ч; собственная скорость постоянна и больше скорости течения. Сколько времени заняло движение против течения?
Варианты: 1) 10 ч; 2) 10,25 ч; 3) 12 ч; 4) 14,25 ч
Ответ и объяснение
Ответ: 10 ч
Пусть x > 2 — собственная скорость. $\frac{120}{x + 2}$ + $\frac{120}{x − 2}$ = 17,5 даёт 7x² − 96x − 28 = 0. Корни 14 и − $\frac{2}{7}$ . Против течения скорость 12 км/ч, время 10 ч. По течению 16 км/ч, время 7,5 ч; сумма 17,5.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

В числовом задании требуется краткий ответ: число без единицы измерения. Единица названа в вопросе. В выборе отметь один верный вариант. Автопроверка оценивает ответ; промежуточные действия и обоснование проверяй по разбору письменной работы. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 5–9 классы», базовый уровень, 2025: 8 класс: содержание с. 42–43; результаты с. 46; планирование с. 57. Дата сверки — 29 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП. Учебник из федерального перечня № 436: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др., под редакцией С. А. Теляковского, «Математика. Алгебра. 8 класс», базовый уровень, Просвещение, 2026; ФПУ 1.1.2.7.1.4. Законный фрагмент с. 5–7 содержит рациональные выражения и допустимые значения; целевые параграфы решения задач не прочитаны. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 29 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Переведи условие в путь, скорость и время

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Один путь, разное время

Сумма времён участков

Течение и собственная скорость

Ответ после построения модели

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме