Математика · 11 класс

Показательные неравенства: основания, преобразования и замена

16 заданий на показательные неравенства для 11 класса: разные основания, преобразование степеней, замена переменной, полные множества решений и отбор целых значений. Письменные разборы.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Что обосновать при переходе

Проверь основания степеней и возможность привести обе части к общему основанию.

При переходе к сравнению показателей обоснуй направление знака свойствами функции.

При вынесении множителя объясни, сохраняет ли деление на него знак неравенства.

Для замены укажи допустимые значения новой переменной. После решения вернись к x и запиши полное множество; целые числа отбирай затем.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Реши (0,2)²ˣ⁻³ ≥ 125. Покажи приведение к одному основанию и обоснуй направление знака.
Разбор и ориентиры для проверки
0,2 = $\frac{1}{5}$ , 125 = ( $\frac{1}{5}$ )⁻³. Убывание даёт 2x − 3 ≤ −3, значит x ≤ 0. Критерии: допустимое общее основание, верный показатель правой части, обоснованная смена направления и включённая граница.
Проверь: x ≤ 0; (−∞; 0].
Реши 9ˣ − 4 · 3ˣ − 5 < 0. При замене укажи допустимые значения новой переменной и запиши полный ответ для x.
Разбор и ориентиры для проверки
t = 3ˣ > 0. (t − 5)⁠(t + 1) < 0 даёт −1 < t < 5. После отбора 0 < t < 5; возвращаясь, получаем x < ${log}_{3}$ (5). Критерии: положительность замены, решение квадратного неравенства, отбор и точная граница без округления.
Проверь: x < ${log}_{3}$ (5); (−∞; ${log}_{3}$ (5)).
Реши 4ˣ − 9 · 2ˣ + 8 ≥ 0. Покажи обе ветви неравенства после замены и проверь включение границ в окончательном ответе.
Разбор и ориентиры для проверки
t = 2ˣ > 0. (t − 1)⁠(t − 8) ≥ 0 даёт 0 < t ≤ 1 или t ≥ 8. Поэтому x ≤ 0 или x ≥ 3. В обоих граничных значениях исходное выражение равно нулю. Критерии: допустимые значения, обе ветви, возврат к x и включение границ.
Проверь: (−∞; 0] ∪ [3; +∞).

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Основание и граница

Реши неравенство, затем дай результат, указанный в условии.

Найди наименьшее целое решение 2³ˣ⁻² ≥ 128. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
128 = 2⁷. Основание 2 > 1: 3x − 2 ≥ 7, откуда x ≥ 3. Наименьшее целое 3.
Найди наибольшее целое решение ( $\frac{1}{4}$ )²ˣ⁺¹ > 8. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −2
8 — степень с основанием $\frac{1}{4}$ и показателем − $\frac{3}{2}$ . Основание меньше 1: 2x + 1 < − $\frac{3}{2}$ , то есть x < − $\frac{5}{4}$ . Наибольшее целое −2.
Сколько целых x ≥ −2 удовлетворяют 3²ˣ⁻¹ < 81? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
81 = 3⁴; 2x − 1 < 4 даёт x < $\frac{5}{2}$ . Вместе −2 ≤ x < 2,5. Целые −2, −1, 0, 1, 2 — всего 5.
Реши 5ˣ⁺² ≤ 125. Выбери полное множество действительных решений.
Варианты: 1) x ≤ 0; 2) x ≤ 2; 3) x ≤ 3; 4) x ≤ 1
Ответ и объяснение
Ответ: x ≤ 1
125 = 5³. Возрастание даёт x + 2 ≤ 3, откуда x ≤ 1, вариант 4. Граница включена.

Потренировать эту тему →

Общее основание

Сведи степени к одному основанию и обоснуй сравнение.

Найди наибольшее целое решение ( $\frac{1}{2}$ )³ˣ⁻¹ ≥ ( $\frac{1}{2}$ )ˣ⁺⁵. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
Основание $\frac{1}{2}$ меньше 1: 3x − 1 ≤ x + 5. Отсюда x ≤ 3; наибольшее целое 3.
Найди наибольшее целое решение 3²ˣ⁻¹ > 27ˣ⁻². Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
27ˣ⁻² = 3³ˣ⁻⁶. Основание 3 > 1: 2x − 1 > 3x − 6, то есть x < 5. Наибольшее целое 4.
Найди наименьшее целое решение 4ˣ⁺¹ ≤ 8ˣ⁻¹. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
Левая часть 2²ˣ⁺², правая 2³ˣ⁻³. Получаем 2x + 2 ≤ 3x − 3, то есть x ≥ 5. Наименьшее целое 5.
Реши ( $\frac{1}{9}$ )ˣ⁻² > ( $\frac{1}{3}$ )³ˣ⁺¹. Выбери полное множество действительных решений.
Варианты: 1) x > −3; 2) x > −2; 3) x > −5; 4) x > −4
Ответ и объяснение
Ответ: x > −5
( $\frac{1}{9}$ )ˣ⁻² = ( $\frac{1}{3}$ )²ˣ⁻⁴. При основании меньше 1: 2x − 4 < 3x + 1. Отсюда x > −5, вариант 3.

Потренировать эту тему →

Вынесение степени и преобразование

Реши исходное неравенство до отбора целых значений.

Найди наибольшее целое решение 2ˣ⁺² + 2ˣ ≤ 80. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
2ˣ⁺² = 4 · 2ˣ; 5 · 2ˣ ≤ 80 даёт 2ˣ ≤ 16. Значит x ≤ 4; наибольшее целое 4.
Найди наименьшее целое решение 3ˣ⁺¹ − 3ˣ > 54. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
2 · 3ˣ > 54, поэтому 3ˣ > 27 и x > 3. Наименьшее целое 4.
Реши 4ˣ − 5 · 2ˣ + 4 ≤ 0. Выбери полное множество действительных решений.
Варианты: 1) [0; 1]; 2) [−1; 1]; 3) [0; 2]; 4) [1; 3]
Ответ и объяснение
Ответ: [0; 2]
t = 2ˣ > 0. (t − 1)⁠(t − 4) ≤ 0, поэтому 1 ≤ t ≤ 4. Возвращаясь к x, получаем 0 ≤ x ≤ 2, вариант 3.
Сколько целых решений имеет 9ˣ − 10 · 3ˣ + 9 < 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
t = 3ˣ > 0. (t − 1)⁠(t − 9) < 0 даёт 1 < t < 9. Значит 0 < x < 2, единственное целое решение x = 1. Число решений 1.

Потренировать эту тему →

Все ветви после замены

Сохрани допустимые значения замены и вернись к исходной переменной.

Реши ( $\frac{1}{4}$ )ˣ − 5 · ( $\frac{1}{2}$ )ˣ + 4 ≥ 0. Выбери полное множество действительных решений.
Варианты: 1) (−∞; −2] ∪ [0; +∞); 2) (−∞; −3] ∪ [1; +∞); 3) (−∞; −1] ∪ [2; +∞); 4) (−∞; −4] ∪ [−1; +∞)
Ответ и объяснение
Ответ: (−∞; −2] ∪ [0; +∞)
t = ( $\frac{1}{2}$ )ˣ > 0. (t − 1)⁠(t − 4) ≥ 0 даёт 0 < t ≤ 1 или t ≥ 4. При убывающем основании x ≥ 0 или x ≤ −2, вариант 1.
Реши 2²ˣ − 6 · 2ˣ + 8 > 0. Выбери полное множество действительных решений.
Варианты: 1) (−∞; 0) ∪ (3; +∞); 2) (−∞; 1) ∪ (2; +∞); 3) (−∞; −1) ∪ (4; +∞); 4) (−∞; 2) ∪ (3; +∞)
Ответ и объяснение
Ответ: (−∞; 1) ∪ (2; +∞)
t = 2ˣ > 0. (t − 2)⁠(t − 4) > 0, поэтому 0 < t < 2 или t > 4. Получаем x < 1 или x > 2, вариант 2; конечные границы исключены.
Сколько целых решений имеет ( $\frac{1}{9}$ )ˣ − 10 · ( $\frac{1}{3}$ )ˣ + 9 ≤ 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
t = ( $\frac{1}{3}$ )ˣ > 0. (t − 1)⁠(t − 9) ≤ 0 даёт 1 ≤ t ≤ 9. Из убывания −2 ≤ x ≤ 0; целые −2, −1, 0 — всего 3.
Найди наибольшее целое решение 5ˣ⁺¹ < 2 · 5ˣ + 375. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
После переноса 3 · 5ˣ < 375, то есть 5ˣ < 125. Следовательно, x < 3; наибольшее целое 2.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 11 класс: содержание с. 16; тематическое планирование с. 25. Дата сверки — 8 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: линия Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, М. В. Ткачёвой и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», Просвещение, 2026, ФПУ 1.1.3.7.1.1 (приложение 1, позиция 695). Действия главы III, §13 сопоставлены с открытым планированием издателя (сборник Т. А. Бурмистровой, 2020, с. 34). Целевой параграф в законном фрагменте не прочитан. Класс определён по ФРП 2025; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 8 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Что обосновать при переходе

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Основание и граница

Общее основание

Вынесение степени и преобразование

Все ветви после замены

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме