Математика · 10 класс

Примени формулу, учитывая знаки и ограничения

16 заданий на формулы сложения, двойной угол, основное тождество и приведение. Точные числовые ответы, выбор тождества и письменные доказательства для 10 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Преобразование должно сохранять область определения

При восстановлении функции по значению другой функции определи знак по положению конечной точки угла. Числовые данные должны быть совместимы с одним аргументом.

Выбери формулу для нужной функции суммы или разности аргументов. Перед вычислением отдельно проверь знаки данных и порядок аргументов.

Для двойного угла выбери форму записи, подходящую к данным задачи. Если используется тангенс, проверь, что он определён; промежуточные дроби сохраняй точными.

При приведении угла определяй знак и опорный аргумент по окружности. Перед сокращением множителя или делением назови случаи, когда знаменатель равен нулю; тождество действует на общей области определения.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Докажи (sin(α + β) − sin(α − β)) : (2cos α) = sin β. Назови область определения и объясни, почему нельзя заявлять равенство при cos α = 0.
Разбор и ориентиры для проверки
Раскрытие обеих формул синуса даёт 2cos α sin β; сокращение законно только при ненулевом знаменателе. Критерии: обе формулы со знаками, сокращение, явное ограничение. При cos α = 0 исходная левая часть не определена.
Проверь: Равенство верно при cos α ≠ 0; числитель равен 2cos α sin β.
sin α = − $\frac{7}{25}$ , конечная точка в III четверти. Найди sin(2α), cos(2α) и tg(2α). Обоснуй знак восстановленного cos α и определённость тангенса двойного угла.
Разбор и ориентиры для проверки
cos α = − $\frac{24}{25}$ . Двойной синус равен 2 · (− $\frac{7}{25}$ ) · (− $\frac{24}{25}$ ) = $\frac{336}{625}$ ; двойной косинус — $\frac{576 − 49}{625}$ = $\frac{527}{625}$ ≠ 0. Отношение даёт $\frac{336}{527}$ . Критерии: знак, обе формулы, точные дроби и проверка знаменателя.
Проверь: sin(2α) = $\frac{336}{625}$ , cos(2α) = $\frac{527}{625}$ , tg(2α) = $\frac{336}{527}$ .
Докажи тождество cos(α + β)cos(α − β) = cos²α − sin²β. Укажи, какие ограничения на α и β нужны.
Разбор и ориентиры для проверки
После раскрытия косинусов произведение равно cos²α cos²β − sin²α sin²β. Подставь cos²β = 1 − sin²β и sin²α = 1 − cos²α; смешанные члены сокращаются. Критерии: разность квадратов, основное тождество, итог; деления нет, поэтому ограничения не добавляются.
Проверь: Тождество верно для всех действительных α, β; дополнительных ограничений нет.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Двойной угол

Используй данные одного аргумента.

sin α = $\frac{5}{13}$ , cos α = − $\frac{12}{13}$ . Найди sin(2α). Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: − $\frac{120}{169}$
sin(2α) = 2 · $\frac{5}{13}$ · (− $\frac{12}{13}$ ) = − $\frac{120}{169}$ .
sin α = − $\frac{8}{17}$ , cos α = − $\frac{15}{17}$ . Найди cos(2α). Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{161}{289}$
cos(2α) = $\frac{225}{289}$ − $\frac{64}{289}$ = $\frac{161}{289}$ .
tg α = $\frac{2}{3}$ . Найди cos(2α). Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{5}{13}$
cos(2α) = (1 − tg²α) : (1 + tg²α) = (1 − $\frac{4}{9}$ ) : (1 + $\frac{4}{9}$ ) = $\frac{5}{13}$ . Тангенс дан, поэтому cos α ≠ 0.
tg α = − $\frac{3}{5}$ . Найди sin(2α). Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: − $\frac{15}{17}$
sin(2α) = $\frac{2tg α}{1 + tg²α}$ = (− $\frac{6}{5}$ ) : ( $\frac{34}{25}$ ) = − $\frac{15}{17}$ .

Потренировать эту тему →

Сумма и разность аргументов

Каждая пара синуса и косинуса относится к своему углу.

sin α = $\frac{3}{5}$ , cos α = $\frac{4}{5}$ , sin β = $\frac{5}{13}$ , cos β = $\frac{12}{13}$ . Найди sin(α + β). Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{56}{65}$
sin(α + β) = $\frac{3 · 12 + 4 · 5}{65}$ = $\frac{56}{65}$ .
sin α = $\frac{7}{25}$ , cos α = $\frac{24}{25}$ , sin β = $\frac{5}{13}$ , cos β = $\frac{12}{13}$ . Найди cos(α + β). Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{253}{325}$
cos(α + β) = (24 · 12 − 7 · 5) : (25 · 13) = $\frac{253}{325}$ .
sin α = − $\frac{20}{29}$ , cos α = − $\frac{21}{29}$ , sin β = − $\frac{8}{17}$ , cos β = $\frac{15}{17}$ . Найди cos(α − β). Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: − $\frac{155}{493}$
cos(α − β) = (−21 · 15 + (−20) · (−8)) : (29 · 17) = − $\frac{155}{493}$ .
sin α = − $\frac{12}{13}$ , cos α = $\frac{5}{13}$ , sin β = $\frac{15}{17}$ , cos β = − $\frac{8}{17}$ . Найди sin(α − β). Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{21}{221}$
sin(α − β) = ((−12) · (−8) − 5 · 15) : (13 · 17) = $\frac{21}{221}$ .

Потренировать эту тему →

Преобразуй перед вычислением

Учитывай знак восстановленной функции.

cos α = $\frac{7}{25}$ . Вычисли $\frac{1 − cos(2α)}{2}$ . Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{576}{625}$
$\frac{1 − cos(2α)}{2}$ = sin²α = 1 − $\frac{49}{625}$ = $\frac{576}{625}$ .
sin α = − $\frac{9}{41}$ , конечная точка в IV четверти. Вычисли $\frac{(1 − sin α)(1 + sin α)}{cos α}$ . Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{40}{41}$
Числитель равен 1 − sin²α = cos²α. Частное равно cos α; в IV четверти это положительный корень: $\frac{40}{41}$ .
cos α = − $\frac{12}{37}$ , конечная точка в III четверти. Вычисли $\frac{(1 − cos α)(1 + cos α)}{sin α}$ . Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: − $\frac{35}{37}$
Числитель равен sin²α, частное — sin α. В III четверти синус отрицателен: − $\frac{35}{37}$ . Знаменатель ненулевой.
tg α = − $\frac{4}{3}$ , конечная точка в IV четверти. Вычисли (sin α + cos α)². Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{1}{25}$
sin α = − $\frac{4}{5}$ , cos α = $\frac{3}{5}$ . Квадрат суммы (− $\frac{1}{5}$ )² = $\frac{1}{25}$ . Также: 1 + sin(2α) = 1 − $\frac{24}{25}$ .

Потренировать эту тему →

Приведение и полное тождество

В выборе утверждение должно быть верно для всех допустимых аргументов.

sin α = − $\frac{8}{17}$ , cos α = $\frac{15}{17}$ . Вычисли 3sin(π − α) − 2cos(π + α). Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{6}{17}$
sin(π − α) = − $\frac{8}{17}$ , cos(π + α) = − $\frac{15}{17}$ . Получаем $\frac{−24 + 30}{17}$ = $\frac{6}{17}$ .
sin α = $\frac{5}{13}$ , cos α = − $\frac{12}{13}$ . Вычисли 2sin(−α) + cos(2π − α). Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: − $\frac{22}{13}$
sin(−α) = − $\frac{5}{13}$ ; cos(2π − α) = cos α = − $\frac{12}{13}$ . Сумма − $\frac{22}{13}$ .
Какое выражение тождественно равно $\frac{sin(α + β) + sin(α − β)}{2sin α}$ для всех α, β при sin α ≠ 0?
Варианты: 1) sin β; 2) cos α; 3) sin α; 4) cos β
Ответ и объяснение
Ответ: cos β
Сумма в числителе равна 2sin α cos β. Деление на ненулевой 2sin α даёт cos β. Верный вариант 4.
Какое выражение тождественно равно $\frac{cos(α + β) + cos(α − β)}{2cos β}$ для всех α, β при cos β ≠ 0?
Варианты: 1) cos α; 2) sin α; 3) cos β; 4) sin β
Ответ и объяснение
Ответ: cos α
Сумма в числителе равна 2cos α cos β. Деление на ненулевой 2cos β даёт cos α. Верный вариант 1.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 10 класс: содержание с. 15; тематическое планирование с. 23. Дата сверки — 7 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: линия Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, М. В. Ткачёвой и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», Просвещение, 2026, ФПУ 1.1.3.7.1.1 (приложение 1, позиция 695). Формулы и тождества сопоставлены с открытым планированием издателя, глава V, §25–29, §31–32 (Т. А. Бурмистрова, 2020, с. 36). Целевые параграфы в законном фрагменте не прочитаны. Класс определён по ФРП 2025; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 8 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Преобразование должно сохранять область определения

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Двойной угол

Сумма и разность аргументов

Преобразуй перед вычислением

Приведение и полное тождество

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме