Перевод мер и положение точки на окружности

Сначала мера и обороты, затем четверть

Развёрнутый угол составляет π радиан, то есть 180°. Для перевода градусов в радианы умножай на $\frac{\text{π}}{\text{180}}$, а для обратного перевода — на $\frac{\text{180}}{\text{π}}$. В записи kπ число k — коэффициент, а не вся радианная мера.

Начальное положение на единичной окружности — точка (1; 0). Положительный угол отсчитывают против часовой стрелки, отрицательный — по часовой. Один полный оборот составляет 2π радиан.

Углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, приводят в одну точку. Чтобы выбрать представитель в [0; 2π), прибавляй или вычитай 2π до попадания в этот промежуток.

Четверти нумеруют против часовой стрелки от положительного направления Ox. Точка на оси не относится ни к одной четверти. Учитывай конечное положение, даже если поворот совершил несколько оборотов.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Переведи −675° в радианы. Найди угол в [0; 2π), приводящий в ту же точку единичной окружности, и назови четверть. Покажи оба поворота на эскизе.

   Разбор и ориентиры для проверки

   −675 · $\frac{\text{π}}{\text{180}}$ = −$\frac{\text{15π}}{\text{4}}$. Прибавление 4π даёт $\frac{\text{π}}{\text{4}}$. Критерии: исходная отрицательная мера сохранена, прибавлены два полных оборота, представитель в заданном промежутке; эскиз отличает поворот от конечного положения.

   Проверь: −$\frac{\text{15π}}{\text{4}}$ рад; представитель $\frac{\text{π}}{\text{4}}$, I четверть.

2. Для угла $\frac{\text{19π}}{\text{6}}$ рад найди градусную меру, число полных оборотов и оставшийся положительный угол. Отметь конечный луч на эскизе единичной окружности.

   Разбор и ориентиры для проверки

   $\frac{\text{19π}}{\text{6}}$ · $\frac{\text{180}}{\text{π}}$ = 570°. $\frac{\text{19π}}{\text{6}}$ = 2π + $\frac{\text{7π}}{\text{6}}$. Критерии: исходная мера и остаток различены, правильно показаны направление, один оборот и конечный луч в III четверти.

   Проверь: 570°; один полный оборот и остаток $\frac{\text{7π}}{\text{6}}$ = 210°, III четверть.

3. Отметь на эскизе единичной окружности конечные точки поворотов $\frac{\text{2π}}{\text{3}}$, −$\frac{\text{3π}}{\text{5}}$ и $\frac{\text{7π}}{\text{5}}$. Какие два поворота приводят в одну точку? Объясни по мерам и назови четверти всех точек.

   Разбор и ориентиры для проверки

   $\frac{\text{7π}}{\text{5}}$ − (−$\frac{\text{3π}}{\text{5}}$) = 2π. Для первой точки $\frac{\text{2π}}{\text{3}}$ = 120°, для общей точки $\frac{\text{7π}}{\text{5}}$ = 252°. Критерии: эскиз содержит начальный луч и конечные точки, отрицательный поворот показан по часовой стрелке, совпадение обосновано полным оборотом.

   Проверь: −$\frac{\text{3π}}{\text{5}}$ и $\frac{\text{7π}}{\text{5}}$ приводят в одну точку III четверти; $\frac{\text{2π}}{\text{3}}$ — во II четверти.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке