Уравнения с корнями: ограничения, преобразования и проверка

Ответ: 6

После возведения в квадрат 3x + 7 = 25, откуда x = 6. Подстановка: $\sqrt{\text{25}}$ = 5.

Ответ: $\frac{\text{8}}{\text{5}}$

Нужно 5x − 4 = 4, поэтому x = $\frac{\text{8}}{\text{5}}$. Подстановка даёт $\sqrt{\text{4}}$ = 2.

Ответ: 14

Выделяем корень: $\sqrt{\text{2x − 3}}$ = 5. Получаем 2x − 3 = 25 и x = 14. Проверка: 5 + 4 = 9.

Ответ: 14

После переноса и деления $\sqrt{\text{x + 2}}$ = 4. Тогда x + 2 = 16, x = 14. Проверка: 3 · 4 − 5 = 7.

Ответ: 3

Необходимо x ≥ 0. После возведения в квадрат x² − x − 6 = 0, кандидаты −2 и 3. Значение −2 не подходит по знаку правой части; x = 3 даёт $\sqrt{\text{9}}$ = 3.

Ответ: 7

Правая часть должна быть неотрицательной: x ≥ 2. После возведения в квадрат x² − 7x = 0, кандидаты 0 и 7. Значение 0 отбрасываем; при x = 7 обе части равны 5.

Ответ: 12

Нужно x ≥ 8. После возведения в квадрат x² − 17x + 60 = 0, кандидаты 5 и 12. При x = 5 правая часть отрицательна. При x = 12 получаем $\sqrt{\text{16}}$ = 4.

Ответ: 4 + $\sqrt{\text{34}}$

Нужно x ≥ 1. Возведение в квадрат даёт x² − 8x − 18 = 0, то есть (x − 4)² = 34. Кандидат 4 − $\sqrt{\text{34}}$ меньше 1 и не подходит. Корень 4 + $\sqrt{\text{34}}$ удовлетворяет ограничению; при нём квадрат правой части равен подкоренному выражению, а правая часть положительна. Вариант 2.

Ответ: 5

На ОДЗ можно приравнять подкоренные выражения: 4x + 9 = x + 24. Получаем x = 5; оба выражения равны 29 и допустимы.

Ответ: 5

Из правого корня следует x ≥ 5. Равенство подкоренных выражений даёт x² − 7x + 10 = 0 с кандидатами 2 и 5. Значение 2 недопустимо. При x = 5 обе части равны 0.

Ответ: 2

Равенство подкоренных выражений: x² − 2x − 10 = 0. Корни 1 − $\sqrt{\text{11}}$ и 1 + $\sqrt{\text{11}}$. Для первого 2x + 9 = 11 − $2\sqrt{\text{11}}$ > 0; для второго это выражение также положительно. Оба допустимы, их сумма 2.

Ответ: {2; 6}

Равенство подкоренных выражений даёт x² − 8x + 12 = 0, корни 2 и 6. При x = 2 подкоренные выражения равны 5, при x = 6 — 13. Оба допустимы. Ответ {2; 6}, вариант 3.

Ответ: 20

ОДЗ x ≥ 4. Переносим второй корень и возводим в квадрат: x + 5 = x + 77 − $18\sqrt{\text{x − 4}}$. Поэтому $\sqrt{\text{x − 4}}$ = 4, x = 20. Проверка: 5 + 4 = 9.

Ответ: 9

ОДЗ x ≥ 1. Переносим второй корень и возводим в квадрат: 2x + 7 = 2x − 1 + $2\sqrt{\text{2x − 2}}$. Получаем $\sqrt{\text{2x − 2}}$ = 4, x = 9. Проверка: 5 − 4 = 1.

Ответ: $\frac{\text{40}}{\text{9}}$

ОДЗ x ≥ 4. Возведение в квадрат даёт x + 1 = x + 5 − $6\sqrt{\text{x − 4}}$, поэтому $\sqrt{\text{x − 4}}$ = $\frac{\text{2}}{\text{3}}$ и x = $\frac{\text{40}}{\text{9}}$. При этом левый корень $\frac{\text{7}}{\text{3}}$, правая часть 3 − $\frac{\text{2}}{\text{3}}$ = $\frac{\text{7}}{\text{3}}$.

Ответ: 8

ОДЗ x ≥ 7. После переноса и возведения в квадрат x + 8 = x + 2 + $6\sqrt{\text{x − 7}}$. Поэтому $\sqrt{\text{x − 7}}$ = 1, x = 8. Проверка: 4 − 1 = 3.