Все корни, преобразование и отбор на промежутке

Один найденный корень не заменяет общий ответ

Если sin x = a и |a| ≤ 1, все корни можно записать двумя семействами: arcsin a + 2πn и π − arcsin a + 2πn, где n — целое. Равносильная единая запись: (−1)ⁿ arcsin a + πn.

Если cos x = a и |a| ≤ 1, все корни имеют вид ±arccos a + 2πn. Для tg x = a: x = arctg a + πn. Тангенс требует ненулевого косинуса.

При аргументе ax + b, где a ≠ 0, сначала реши уравнение относительно всего аргумента, затем вырази x. Период функции по x равен $\frac{\text{T}}{\text{|a|}}$, где T — период по аргументу; сдвиг b период не меняет.

В замене t = sin x или t = cos x оставляй только −1 ≤ t ≤ 1. Нельзя делить уравнение на функцию, не проверив её нули. После общего решения отбирай корни с учётом открытых и закрытых концов.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Реши sin x = −$\frac{\sqrt{\text{2}}}{\text{2}}$. Запиши все корни, затем отбери их на [−2π; π]. Объясни полноту отбора.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Для первой ветви в отрезок входит n = 0, для второй n = −1. Следующие значения параметра выходят за границы. Равносильная ветвь $\frac{\text{7π}}{\text{4}}$ + 2πn допустима. Критерии: две ветви либо равносильная единая запись, целый параметр, оба отобранных корня, контроль границ.

   Проверь: x = −$\frac{\text{π}}{\text{4}}$ + 2πn или x = $\frac{\text{5π}}{\text{4}}$ + 2πn, n ∈ ℤ; на отрезке −$\frac{\text{3π}}{\text{4}}$ и −$\frac{\text{π}}{\text{4}}$.

2. Реши 2cos²x + cos x − 1 = 0 и отбери корни на [−π; 2π]. Сначала запиши общий ответ.

   Разбор и ориентиры для проверки

   При t = cos x получаем (2t − 1)⁠(t + 1) = 0, оба значения допустимы. Семейства дают пять различных корней, включая левый конец −π. Критерии: замена и диапазон, оба семейства с n ∈ ℤ, полнота и отсутствие дублей.

   Проверь: cos x = $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ или −1; общий ответ ±$\frac{\text{π}}{\text{3}}$ + 2πn и π + 2πn. На отрезке: −π, −$\frac{\text{π}}{\text{3}}$, $\frac{\text{π}}{\text{3}}$, π, $\frac{\text{5π}}{\text{3}}$.

3. Реши tg($\frac{\text{x}}{\text{2}}$) = $\sqrt{\text{3}}$. Запиши общий ответ и корни на [−2π; 2π]. Проверь, что выбранные корни не попадают в точки неопределённости тангенса.

   Разбор и ориентиры для проверки

   $\frac{\text{x}}{\text{2}}$ = $\frac{\text{π}}{\text{3}}$ + πn, затем умножение всего равенства на 2. При отборе n = −1, 0. Неопределённость при x = (2m + 1)π, m ∈ ℤ; найденные корни туда не входят. Критерии: изменение периода, целый параметр, оба корня и проверка области.

   Проверь: x = $\frac{\text{2π}}{\text{3}}$ + 2πn, n ∈ ℤ; на отрезке −$\frac{\text{4π}}{\text{3}}$ и $\frac{\text{2π}}{\text{3}}$.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке