Математика · 11 класс

Рациональные показатели: вычисление и свойства степеней

Степень с рациональным показателем, 11 класс: вычисления, отрицательные показатели и свойства степеней. 16 заданий с проверкой ответов и письменные преобразования.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Что объяснить в вычислении

Проверь основание и знак показателя перед вычислением.

Объясни переход от рационального показателя к корню и целой степени.

При каждом преобразовании назови использованное свойство и проверь его условия.

Числовое значение вычисляй точно. В задании о показателе запиши именно показатель, а полный разбор преобразования дай в тетради.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

При a > 0 степень с основанием a и показателем $\frac{7}{4}$ разделили на степень с тем же основанием и показателем $\frac{1}{4}$ . Упрости частное и запиши ответ с помощью квадратного корня. Обоснуй преобразование.
Разбор и ориентиры для проверки
Разность показателей $\frac{7}{4}$ − $\frac{1}{4}$ = $\frac{3}{2}$ . Квадратный корень из a возводится в третью степень; при a > 0 результат a $\sqrt{a}$ . Критерии: вычитание показателей, правильное значение показателя, связь с корнем и условие положительного основания.
Проверь: a $\sqrt{a}$ .
Вычисли степень с основанием 243 и показателем − $\frac{2}{5}$ . Покажи переход к корню и целой степени, ответ запиши точной обыкновенной дробью.
Разбор и ориентиры для проверки
243 = 3⁵. Корень пятой степени из 243 равен 3, квадрат этого корня 9. Отрицательный показатель даёт обратное значение $\frac{1}{9}$ . Критерии: степень числа 3, точный корень, квадрат, обратное значение и отсутствие округления.
Проверь: $\frac{1}{9}$ .
При a > 0 перемножили степени с основанием a и показателями $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{3}$ , затем разделили результат на степень с основанием a и показателем $\frac{1}{2}$ . Запиши полное упрощённое выражение и обоснуй все действия.
Разбор и ориентиры для проверки
Итоговый показатель $\frac{5}{6}$ + $\frac{2}{3}$ − $\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{6}$ + $\frac{4}{6}$ − $\frac{3}{6}$ = 1. Результат a. Критерии: общее положительное основание, сложение и вычитание показателей, точное вычисление и полный символический ответ.
Проверь: a.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Основание и дробный показатель

Вычисли точное значение заданной степени.

Вычисли степень с основанием 81 и показателем $\frac{3}{4}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 27
Корень четвёртой степени из 81 равен 3. Его куб равен 27.
Вычисли степень с основанием 32 и показателем − $\frac{2}{5}$ . Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{1}{4}$
Корень пятой степени из 32 равен 2. Отрицательный показатель требует обратного значения квадрата: $\frac{1}{2²}$ = $\frac{1}{4}$ .
Вычисли степень с основанием $\frac{1}{125}$ и показателем $\frac{2}{3}$ . Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{1}{25}$
Кубический корень из $\frac{1}{125}$ равен $\frac{1}{5}$ . Его квадрат $\frac{1}{25}$ .
Вычисли степень с основанием $\frac{16}{81}$ и показателем − $\frac{3}{4}$ . Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{27}{8}$
Корень четвёртой степени из основания равен $\frac{2}{3}$ . Куб равен $\frac{8}{27}$ , а при отрицательном показателе берём обратное значение $\frac{27}{8}$ .

Потренировать эту тему →

Свойства степеней

Преобразуй показатели и дай именно результат, запрошенный в условии.

При a = 64 степень с основанием a и показателем $\frac{5}{6}$ разделили на степень с тем же основанием и показателем $\frac{1}{2}$ . Найди значение частного. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Разность показателей $\frac{5}{6}$ − $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{3}$ . Кубический корень из 64 равен 4.
При a > 0 перемножили степени с основанием a и показателями $\frac{2}{3}$ и − $\frac{5}{6}$ . Найди показатель степени с основанием a, равной произведению. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: − $\frac{1}{6}$
Показатели складываются: $\frac{2}{3}$ − $\frac{5}{6}$ = $\frac{4}{6}$ − $\frac{5}{6}$ = − $\frac{1}{6}$ .
При a > 0 степень с основанием a и показателем $\frac{7}{3}$ разделили на степень с тем же основанием и показателем $\frac{1}{3}$ . Чему равно частное?
Варианты: 1) a³; 2) a⁵; 3) a²; 4) a⁴
Ответ и объяснение
Ответ: a²
Разность показателей $\frac{7}{3}$ − $\frac{1}{3}$ = 2. Частное равно a², вариант 3.
Степень с основанием 256 и показателем $\frac{1}{8}$ возвели в пятую степень. Найди полученное значение. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 32
Корень восьмой степени из 256 равен 2; его пятая степень 32. По свойству можно умножить показатели: $\frac{1}{8}$ · 5 = $\frac{5}{8}$ .

Потренировать эту тему →

Несколько степеней в выражении

Вычисли каждую часть и выполни указанное действие.

Вычисли степень с основанием $\frac{1}{216}$ и показателем − $\frac{1}{3}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Кубический корень из основания $\frac{1}{6}$ . Отрицательный показатель даёт обратное значение 6.
Перемножь степень с основанием 8 и показателем $\frac{2}{3}$ и степень с основанием 27 и показателем − $\frac{1}{3}$ . Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{4}{3}$
Первый множитель равен 4, второй $\frac{1}{3}$ . Произведение $\frac{4}{3}$ .
Степень с основанием 9 и показателем $\frac{3}{2}$ разделили на степень с основанием 27 и показателем $\frac{1}{3}$ . Найди частное. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
Первое значение 3³ = 27, второе — кубический корень из 27, то есть 3. Частное 9.
Из степени с основанием 625 и показателем $\frac{1}{4}$ вычти степень с основанием 343 и показателем $\frac{1}{3}$ . Найди разность. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −2
Корень четвёртой степени из 625 равен 5, кубический корень из 343 равен 7. Разность 5 − 7 = −2.

Потренировать эту тему →

Полное преобразование

Различай значение выражения и показатель в его записи.

При a > 0 степень с основанием a и показателем − $\frac{1}{2}$ умножили на a³. Как записать результат одной степенью с основанием a?
Варианты: 1) С показателем $\frac{7}{2}$ ; 2) С показателем $\frac{3}{2}$ ; 3) С показателем − $\frac{1}{2}$ ; 4) С показателем $\frac{5}{2}$
Ответ и объяснение
Ответ: С показателем $\frac{5}{2}$
Складываем показатели: − $\frac{1}{2}$ + 3 = $\frac{5}{2}$ . Полная запись — степень с основанием a и показателем $\frac{5}{2}$ , вариант 4.
При a > 0 степень с основанием a и показателем $\frac{7}{6}$ возвели в третью степень. Найди показатель полученной степени с основанием a. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{7}{2}$
Показатели перемножаются: $\frac{7}{6}$ · 3 = $\frac{7}{2}$ . Это показатель, а не числовое значение самой степени.
Из степени с основанием 64 и показателем $\frac{5}{6}$ вычти степень с основанием 27 и показателем $\frac{2}{3}$ . Найди разность. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 23
Корень шестой степени из 64 равен 2; его пятая степень 32. Второе значение 3² = 9. Разность 32 − 9 = 23.
Во сколько раз единица больше значения степени с основанием 25 и показателем − $\frac{3}{2}$ ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 125
Корень квадратный из 25 равен 5. Куб 125, при отрицательном показателе значение $\frac{1}{125}$ . Отношение 1 к этому значению равно 125.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 11 класс: содержание с. 16; тематическое планирование с. 25. Дата сверки — 8 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: линия Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, М. В. Ткачёвой и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», Просвещение, 2026, ФПУ 1.1.3.7.1.1 (приложение 1, позиция 695). Действия главы I, §5 сопоставлены с открытым планированием издателя (сборник Т. А. Бурмистровой, 2020, с. 32). Целевой параграф в законном фрагменте не прочитан. Класс определён по ФРП 2025; прежнее распределение издательской программы не используется. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 8 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Что объяснить в вычислении

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Основание и дробный показатель

Свойства степеней

Несколько степеней в выражении

Полное преобразование

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме