Периоды, отрицательные углы и знаки функций

Сократи обороты и проверь знак

Чтобы восстановить функцию по значению другой функции, запиши по памяти определения и основное тригонометрическое тождество. Обоснуй знак по четверти и проверь область определения.

Прибавление 2π не меняет синус и косинус; прибавление π не меняет тангенс. Периодичность позволяет сократить полные обороты, сохраняя конечное значение.

Синус и тангенс меняют знак при замене аргумента на противоположный; косинус сохраняет значение. После сокращения оборотов проверь четверть конечной точки.

Сохраняй точные значения при вычислении. Если восстановление приводит к двум знакам корня, оставь тот, который соответствует указанной четверти.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Найди sin($\frac{\text{13π}}{\text{4}}$), cos($\frac{\text{13π}}{\text{4}}$) и tg($\frac{\text{13π}}{\text{4}}$). Покажи сокращение оборотов и обоснуй знаки по положению конечной точки.

   Разбор и ориентиры для проверки

   $\frac{\text{13π}}{\text{4}}$ − 2π = $\frac{\text{5π}}{\text{4}}$, III четверть. Обе координаты отрицательны, опорный угол $\frac{\text{π}}{\text{4}}$; отношение двух отрицательных значений равно 1. Критерии: сокращение, четверть, оба точных значения и ненулевой косинус перед делением.

   Проверь: sin = −$\frac{\sqrt{\text{2}}}{\text{2}}$, cos = −$\frac{\sqrt{\text{2}}}{\text{2}}$, tg = 1.

2. Известно sin α = −$\frac{\text{12}}{\text{13}}$ и конечная точка угла α в III четверти. Найди cos α и tg α. Объясни, почему положительный корень для косинуса не подходит.

   Разбор и ориентиры для проверки

   cos²α = 1 − $\frac{\text{144}}{\text{169}}$ = $\frac{\text{25}}{\text{169}}$. В III четверти абсцисса отрицательна: cos α = −$\frac{\text{5}}{\text{13}}$. Отношение (−$\frac{\text{12}}{\text{13}}$) : (−$\frac{\text{5}}{\text{13}}$) = $\frac{\text{12}}{\text{5}}$. Критерии: тождество, знак корня, отношение и определённость тангенса.

   Проверь: cos α = −$\frac{\text{5}}{\text{13}}$, tg α = $\frac{\text{12}}{\text{5}}$.

3. Найди sin($\frac{\text{5π}}{\text{2}}$) и cos($\frac{\text{5π}}{\text{2}}$). Определён ли tg($\frac{\text{5π}}{\text{2}}$)? Объясни ответ по единичной окружности и формуле тангенса.

   Разбор и ориентиры для проверки

   $\frac{\text{5π}}{\text{2}}$ − 2π = $\frac{\text{π}}{\text{2}}$: конечная точка (0; 1). Тангенс — отношение ординаты к абсциссе, деление на ноль невозможно. Критерии: сокращение оборота, верные координаты, вывод о неопределённости без записи числового значения тангенса.

   Проверь: sin($\frac{\text{5π}}{\text{2}}$) = 1, cos($\frac{\text{5π}}{\text{2}}$) = 0; тангенс не определён.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке