Математика · 11 класс

Площадь сферы, сечения, касательная плоскость и объём шара

16 заданий для 11 класса: площадь сферы, радиус сечения, касательная плоскость, объём шара и отношения объёмов. Числовые ответы и письменные решения с точной записью через π.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Как выбрать нужный радиус или расстояние

Различай сферу как поверхность и шар как тело. Уточни, запрошена площадь или объём.

В задаче о сечении отметь центр шара, основание перпендикуляра к секущей плоскости и точку сечения.

Для касательной плоскости обоснуй направление радиуса к точке касания и нужный прямой угол.

В коротком поле запиши запрошенное число; если требуется k, не добавляй π. Письменные ответы дай точно, с единицами и обоснованием.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Шар радиуса 17 см пересечён двумя параллельными плоскостями. Они находятся по одну сторону от центра на расстояниях 8 см и 15 см от него. Начерти схему, найди расстояние между плоскостями и площади обоих сечений. Обоснуй, какое сечение больше.
Разбор и ориентиры для проверки
Расстояние между плоскостями 15 − 8 = 7 см. Квадраты радиусов сечений 289 − 64 = 225 и289 − 225 = 64, площади 225π и64π см². Критерии: обе плоскости с одной стороны, нужные прямоугольные треугольники, расстояние, обе площади и сравнение.
Проверь: Расстояние 7 см; площади 225π и64π см². Больше сечение плоскостью на расстоянии 8 см от центра.
Шар вписан в куб с ребром 14 см: он касается всех шести граней. Начерти схему и найди площадь поверхности сферы и объём шара. Ответы запиши точно через π с единицами.
Разбор и ориентиры для проверки
Центр шара — центр куба. Расстояние до каждой грани равно половине ребра, поэтому радиус 7 см. Площадь 4π · 49 = 196π см²; объём $\frac{4 · π · 343}{3}$ = $\frac{1372}{3}$ π см³. Критерии: касание и радиус, различие площади и объёма, точные ответы и единицы.
Проверь: Площадь сферы 196π см²; объём шара $\frac{1372}{3}$ π см³.
Шар радиуса 4 см вписан в цилиндр: он касается боковой поверхности и обоих оснований. Найди объём части цилиндра вне шара. Начерти осевое сечение и обоснуй размеры цилиндра. Ответ запиши точно через π с единицей.
Разбор и ориентиры для проверки
Радиус цилиндра 4 см, высота равна диаметру шара 8 см. Объём цилиндра 128π см³; объём шара $\frac{256}{3}$ π см³. Разность $\frac{128}{3}$ π см³. Критерии: оба касания оснований, высота8 см, радиус4 см, два объёма и их разность.
Проверь: $\frac{128}{3}$ π см³.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Площадь поверхности

Уточни, дан радиус или диаметр.

Радиус сферы 5 см. Площадь сферы равна kπ см². Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 100
S = 4πR² = 4 · π · 25 = 100π см². Число k = 100.
Диаметр сферы 8 см. Площадь сферы равна kπ см². Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 64
Радиус 4 см. S = 4π · 16 = 64π см². Число k = 64.
Площадь сферы 144π см². Найди её радиус в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
4πR² = 144π, R² = 36. Радиус положителен, R = 6 см.
Радиус второй сферы втрое больше радиуса первой. Найди отношение площади второй сферы к площади первой. Запиши число. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
Площадь пропорциональна квадрату радиуса. Отношение равно 3² = 9.

Потренировать эту тему →

Сечение плоскостью

Обоснуй положение радиуса сечения.

Радиус шара $\sqrt{17}$ см, расстояние от его центра до секущей плоскости $2 \sqrt{2}$ см. Найди радиус сечения в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
Радиус шара — гипотенуза, расстояние до плоскости и радиус сечения — катеты. r² = 17 − 8 = 9, r = 3 см.
Радиус шара $\sqrt{29}$ см, радиус сечения плоскостью $2 \sqrt{5}$ см. Найди расстояние от центра шара до этой плоскости в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
d² = R² − r² = 29 − 20 = 9. Расстояние d = 3 см.
Радиус шара $\sqrt{73}$ см, расстояние от центра до секущей плоскости $4 \sqrt{3}$ см. Площадь сечения равна kπ см². Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 25
Квадрат радиуса сечения r² = 73 − 48 = 25. Площадь круга 25π см², k = 25.
Площадь сечения шара плоскостью 25π см², расстояние от центра шара до плоскости $\sqrt{24}$ см. Найди радиус шара в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 7
Из площади круга r² = 25. Радиус шара имеет квадрат R² = r² + d² = 25 + 24 = 49, R = 7 см.

Потренировать эту тему →

Касательная плоскость

Используй положение радиуса к точке касания.

Сфера радиуса $2 \sqrt{2}$ см с центром O касается плоскости α в T. Точка P лежит в α, PT = $\sqrt{17}$ см. Найди OP в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
Радиус OT перпендикулярен α, поэтому OT ⊥ PT. OP² = 8 + 17 = 25, OP = 5 см.
Сфера радиуса $2 \sqrt{6}$ см с центром O касается плоскости α в T. Точка P лежит в α, OP = $2 \sqrt{10}$ см. Найди PT в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
OT ⊥ PT, OP — гипотенуза. PT² = 40 − 24 = 16, PT = 4 см.
Сфера с центром O касается плоскости α в T. OT = $2 \sqrt{10}$ см; P лежит в α, PT = $\sqrt{41}$ см. Найди OP в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
OT ⊥ α, поэтому треугольник OTP прямоугольный при T. OP² = 40 + 41 = 81, OP = 9 см.
Две различные параллельные плоскости касаются одной сферы. Расстояние между плоскостями 18 см. Найди радиус сферы в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
Радиусы к точкам касания лежат на одном перпендикуляре к плоскостям и направлены в противоположные стороны. Расстояние между плоскостями равно диаметру сферы. Радиус $\frac{18}{2}$ = 9 см.

Потренировать эту тему →

Объём и сравнение шаров

Уточни, какое тело или отношение запрошено.

Радиус шара 3 см. Объём шара равен kπ см³. Найди число k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 36
V = $\frac{4πR³}{3}$ = $\frac{4 · π · 27}{3}$ = 36π см³. Число k = 36.
Диаметр шара 10 см. Объём шара равен kπ см³. Найди число k. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{500}{3}$
Радиус 5 см. V = $\frac{4 · π · 125}{3}$ = $\frac{500}{3}$ π см³. Число k = $\frac{500}{3}$ .
Объём шара 972π см³. Найди его радиус в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
$\frac{4R³}{3}$ = 972, поэтому R³ = 729. Радиус R = 9 см.
Радиусы первого и второго шаров равны 2 см и 3 см. Найди отношение объёма первого шара к объёму второго. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{8}{27}$
Объёмы пропорциональны кубам радиусов. Отношение $\frac{2³}{3³}$ = $\frac{8}{27}$ .

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 11 класс: содержание с. 33; тематическое планирование с. 49 и52. Дата сверки — 8 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, Л. С. Киселёва, «Геометрия. 10–11 классы. Базовый и углублённый уровни», Просвещение, 2026, ISBN978-5-09-103139-3. Линия включена в действующий федеральный перечень по приказу №436 от22.06.2026, приложение1, позиция696, код1.1.3.7.2.1. Действия глав4–5, пункты43–46,60,62, сверены с законным методическим фрагментом издателя2023 (печатные с.29–31). Целевые параграфы учебника не прочитаны. Класс и базовые границы — по ФРП2025. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 8 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Как выбрать нужный радиус или расстояние

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Площадь поверхности

Сечение плоскостью

Касательная плоскость

Объём и сравнение шаров

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме