UrokDesk
Войти

Математика · 10 класс

Параллельность прямых и плоскостей — 10 класс

16 заданий по геометрии 10 класса: взаимное расположение прямых, признаки параллельности, сечения тетраэдра и отрезки между плоскостями. Две письменные работы с доказательствами.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Принадлежность, признак и масштаб сечения

Две различные прямые параллельны, если лежат в одной плоскости и не пересекаются; скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Линии на плоской проекции могут пересечься без пересечения пространственных прямых.

Прямая параллельна плоскости, если у них нет общих точек. Чтобы применить признак, найди в плоскости прямую того же направления и проверь, что данная прямая не лежит в этой плоскости. Для признака параллельности двух разных плоскостей нужны две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельные двум прямым другой.

В сечении тетраэдра, параллельном основанию, треугольники подобны. Линейный коэффициент берётся по расстояниям вдоль рёбер от общей вершины, а площади относятся как его квадрат. Отрезок от основания до сечения является оставшейся частью ребра.

Параллельные плоскости отсекают пропорциональные отрезки на лучах с общим началом. Сопоставь одинаковые конечные точки: полное расстояние от O и промежуток между двумя плоскостями — разные отрезки. Наличие одной пары параллельных прямых ещё не доказывает параллельность плоскостей.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

  1. В тетраэдре SABC на SA, SB, SC выбраны M, N, P так, что SM = 14 см, MA = 6 см, SN = 21 см, NB = 9 см, SP = 7 см, PC = 3 см. Докажи параллельность MNP и ABC, назвав используемый признак. Периметр ABC равен 70 см, его площадь — 125 см². Найди периметр и площадь MNP. Тетраэдр SABC с треугольником MNP. Точки M, N, P расположены на SA, SB, SC соответственно.SABCMNPСхема, не для измерений

    Разбор и ориентиры для проверки

    Доли от S на трёх рёбрах одинаковы: 1420 = 2130 = 710 = 0,7. По обратной теореме Фалеса в гранях MN ∥ AB и MP ∥ AC. MN и MP пересекаются в M, AB и AC — в A; плоскости различны, поэтому выполнен признак параллельности плоскостей. Подобие даёт периметр 70 · 0,7 = 49 см, площадь 125 · 0,7² = 61,25 см². Критерии: равенство трёх долей, две пары пересекающихся направлений, корректный признак, различные плоскости, линейный и площадной коэффициенты и единицы.

    Проверь: MNP ∥ ABC; периметр MNP — 49 см, площадь — 61,25 см².

  2. Даны скрещивающиеся прямые a и b. На a выбрана точка P, через неё проведена прямая c, параллельная b; α — плоскость a и c. На b выбрана точка Q, через неё проведена d, параллельная a; β — плоскость b и d. Выполни схему. Докажи, что обе плоскости определены, b не лежит в α, a не лежит в β и α ∥ β. Не используй координаты.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Если бы a совпала с c, a была бы параллельна b, что противоречит скрещиванию; аналогично для b и d. Если b лежала бы в α, то a и b оказались бы в одной плоскости, что невозможно; то же для a и β. Прямая b параллельна c в α и находится вне α, значит b ∥ α; аналогично a ∥ β. В α пересекаются a,c, в β — d,b; a ∥ d и c ∥ b. Плоскости различны, поэтому выполнен признак их параллельности. Критерии: существование обеих плоскостей обосновано, принадлежность исключена через скрещивание, обе пары направлений названы, признак применён к разным плоскостям. Схема должна согласовываться со скрещиванием; другой корректный геометрический способ допустим.

    Проверь: a и c пересекаются и не совпадают; b и d также. Каждая пара определяет плоскость. b ∥ α, a ∥ β, плоскости α и β различны и параллельны.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Установи расположение объектов

Работай с пространственными объектами, а не с пересечениями проекции.

  1. В кубе нижняя грань ABCD и верхняя EFGH соединены рёбрами AE, BF, CG, DH. Какая из этих пар прямых является скрещивающейся? Проекция куба: нижняя грань ABCD, верхняя EFGH, боковые рёбра AE, BF, CG, DH.ABCDEFGHСхема, не для измерений

    Варианты: 1) AC и FH; 2) AF и DG; 3) AG и CE

    Ответ и объяснение

    Ответ: AC и FH

    AC и FH лежат в разных параллельных гранях, поэтому не пересекаются. Их направления соответствуют разным диагоналям квадрата и не параллельны, значит прямые скрещиваются. AF и DG — параллельные диагонали противоположных граней. AG и CE — пространственные диагонали куба, пересекающиеся в его центре.

  2. В кубе нижняя грань ABCD и верхняя EFGH соединены рёбрами AE, BF, CG, DH. Какая из этих прямых не имеет общих точек с плоскостью ABGH? Проекция куба: нижняя грань ABCD, верхняя EFGH, боковые рёбра AE, BF, CG, DH.ABCDEFGHСхема, не для измерений

    Варианты: 1) ED; 2) EC; 3) EF

    Ответ и объяснение

    Ответ: EF

    ED пересекает AH в грани ADHE; прямая AH лежит в ABGH. EC и AG — пространственные диагонали куба, пересекающиеся в его центре; AG лежит в ABGH. Поэтому первые две прямые пересекают плоскость. EF параллельна AB, но E не принадлежит ABGH, поэтому EF не имеет с ней общих точек.

  3. В тетраэдре SABC точки M, N, P лежат внутри SA, SB, SC соответственно. SM = 16 см, MA = 24 см, SN = 10 см, NB = 15 см, SP = 13 см, PC = 22 см. Какая из этих прямых параллельна плоскости ABC? Тетраэдр SABC с гранями SAB, SAC и основанием ABC.SABCСхема, не для измерений

    Варианты: 1) MP; 2) NP; 3) MN

    Ответ и объяснение

    Ответ: MN

    Доли от S равны: SM/SA = 16/40 = 2/5; SN/SB = 10/25 = 2/5; SP/SC = 13/35. Первые две доли равны, поэтому по обратной теореме Фалеса MN ∥ AB. MN не лежит в ABC, следовательно MN ∥ ABC. Доля для P отличается от двух других: при продолжении MP и NP пересекут соответственно AC и BC.

  4. В кубе нижняя грань ABCD и верхняя EFGH соединены рёбрами AE, BF, CG, DH. Ребро куба равно 50 см. M лежит внутри AE, N — внутри BF, а P, Q, R — внутри CG. AM = 20 см, GP = 30 см, CQ = 30 см, GR = 10 см. Какая из этих плоскостей пересекает ACGE по прямой, параллельной AC? Проекция куба: нижняя грань ABCD, верхняя EFGH, боковые рёбра AE, BF, CG, DH.ABCDEFGHСхема, не для измерений

    Варианты: 1) MNQ; 2) MNP; 3) MNR

    Ответ и объяснение

    Ответ: MNP

    M, P, Q, R лежат в ACGE, а N на BF лежит вне этой плоскости. Общая прямая каждой из предложенных плоскостей с ACGE соединяет M с соответствующей точкой на CG. В прямоугольнике ACGE такой отрезок параллелен AC, если равны его отступы от A и C. CP = 50 − 30 = 20 см; CQ = 30 см; CR = 50 − 10 = 40 см. Только CP равно AM, поэтому MP ∥ AC и подходит MNP. У MQ и MR направления иные.

Потренировать эту тему →

Восстанови элементы сечения

Различай линейный коэффициент, площадь и оставшуюся часть ребра.

  1. В тетраэдре SABC точки M, N, P лежат соответственно на рёбрах SA, SB, SC; плоскость MNP параллельна ABC и не совпадает с ней. SA = 18 см, AM = 6 см, AB = 21 см. Найди MN в сантиметрах. Тетраэдр SABC с треугольником MNP. Точки M, N, P расположены на SA, SB, SC соответственно.SABCMNPСхема, не для измерений Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 14

    SM = 18 − 6 = 12 см. Подобие SAB и SMN даёт MN = AB · SMSA = 21 · 1218 = 14 см.

  2. В тетраэдре SABC точки M, N, P лежат соответственно на рёбрах SA, SB, SC; плоскость MNP параллельна ABC и не совпадает с ней. Периметр ABC равен 56 см, периметр MNP — 35 см, SA = 24 см. Найди AM в сантиметрах. Тетраэдр SABC с треугольником MNP. Точки M, N, P расположены на SA, SB, SC соответственно.SABCMNPСхема, не для измерений Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 9

    Линейный коэффициент равен отношению периметров 3556 = 58. SM = 24 · 58 = 15 см. AM = 24 − 15 = 9 см.

  3. В тетраэдре SABC точки M, N, P лежат соответственно на рёбрах SA, SB, SC; плоскость MNP параллельна ABC и не совпадает с ней. Площадь ABC равна 108 см², площадь MNP — 12 см², SB = 27 см. Найди NB в сантиметрах. Тетраэдр SABC с треугольником MNP. Точки M, N, P расположены на SA, SB, SC соответственно.SABCMNPСхема, не для измерений Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 18

    Отношение площадей 12108 = 19, линейный коэффициент 13. SN = 9 см, NB = 27 − 9 = 18 см.

  4. В тетраэдре SABC точки M, N, P лежат соответственно на рёбрах SA, SB, SC; плоскость MNP параллельна ABC и не совпадает с ней. SM = 12 см, MA = 8 см, площадь ABC — 70 см². Найди площадь MNP в см². Тетраэдр SABC с треугольником MNP. Точки M, N, P расположены на SA, SB, SC соответственно.SABCMNPСхема, не для измерений Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 25,2

    SA = 12 + 8 = 20 см. Линейный коэффициент 1220 = 0,6; отношение площадей 0,36. Площадь сечения 70 · 0,36 = 25,2 см².

Потренировать эту тему →

Сопоставь отрезки на лучах

Сначала выбери полные расстояния или одинаковые промежутки.

  1. Три параллельные плоскости α, β, γ пересекают лучи из O последовательно в точках A, B, C и D, E, F; O находится перед первой плоскостью. OA = 4 см, AB = 6 см, BC = 5 см, OD = 10 см. Найди OF в сантиметрах. Три плоскости α, β, γ пересекают два луча из O в точках A, B, C и D, E, F соответственно.OABCDEFαβγСхема, не для измерений Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 37,5

    OC = 4 + 6 + 5 = 15 см. Соответствующие расстояния от O имеют коэффициент ODOA = 2,5. OF = 15 · 2,5 = 37,5 см.

  2. Три параллельные плоскости α, β, γ пересекают лучи из O последовательно в точках A, B, C и D, E, F; O находится перед первой плоскостью. OC = 15 см, OA = 3 см, OF = 31,5 см, OB = 8 см. Найди DE в сантиметрах. Три плоскости α, β, γ пересекают два луча из O в точках A, B, C и D, E, F соответственно.OABCDEFαβγСхема, не для измерений Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 10,5

    Коэффициент второго луча относительно первого OFOC = 2,1. AB = 8 − 3 = 5 см, соответствующий промежуток DE = 5 · 2,1 = 10,5 см. BC = 15 − 8 = 7 см соответствует EF, а не DE.

  3. Три параллельные плоскости α, β, γ пересекают лучи из O последовательно в точках A, B, C и D, E, F; O находится перед первой плоскостью. DE = 21 см, BC = 5 см, AB = 7 см. Найди DF в сантиметрах. Три плоскости α, β, γ пересекают два луча из O в точках A, B, C и D, E, F соответственно.OABCDEFαβγСхема, не для измерений Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 36

    Отношение соответствующих промежутков DEAB = 3, поэтому EF = 3 · BC = 15 см. DF = DE + EF = 21 + 15 = 36 см.

  4. Три параллельные плоскости α, β, γ пересекают лучи из O последовательно в точках A, B, C и D, E, F; O находится перед первой плоскостью. OE = 18 см, OA = 5 см, AB = 7 см. Найди OD в сантиметрах. Три плоскости α, β, γ пересекают два луча из O в точках A, B, C и D, E, F соответственно.OABCDEFαβγСхема, не для измерений Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 7,5

    OB = OA + AB = 12 см. Отношение расстояний на лучах OEOB = 1,5. OD = OA · 1,5 = 7,5 см.

Потренировать эту тему →

Проверь геометрический вывод

Каждый вывод должен следовать из всех условий признака.

  1. Различные плоскости α и β пересекаются по прямой c. Прямая a лежит в α, параллельна c и отличается от неё. Какое отношение обязательно выполняется?

    Варианты: 1) a ⊂ β; 2) a ∥ β; 3) a пересекает β ровно в одной точке

    Ответ и объяснение

    Ответ: a ∥ β

    Если бы a имела общую точку с β, эта точка лежала бы на c — линии пересечения α и β. Но разные параллельные прямые a и c не пересекаются. Значит общих точек a с β нет и a ∥ β. Прямая a не может лежать в β: тогда она совпала бы с c.

  2. В тетраэдре SABC точки M, N, P лежат внутри SA, SB, SC соответственно. SM = 25 см, MA = 45 см, SN = 30 см, NB = 54 см, PC = 19,8 см. Какую длину в сантиметрах должен иметь SP, чтобы плоскость MNP была параллельна ABC? Тетраэдр SABC с треугольником MNP. Точки M, N, P расположены на SA, SB, SC соответственно.SABCMNPСхема, не для измерений Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 11

    Отношения SMSA = 2570 = 514 и SNSB = 3084 = 514 совпадают, поэтому MN ∥ AB. Для MP ∥ AC необходимо SPSP + 19,8 = 514. Получаем 14SP = 5SP + 99, SP = 11 см. Прямые MN и MP пересекаются и соответственно параллельны AB и AC, поэтому выполнен признак параллельности разных плоскостей.

  3. В кубе нижняя грань ABCD и верхняя EFGH соединены рёбрами AE, BF, CG, DH. Выбери пару плоскостей, опровергающую утверждение: «Если одна прямая первой плоскости параллельна одной прямой второй, то эти плоскости не пересекаются». Проекция куба: нижняя грань ABCD, верхняя EFGH, боковые рёбра AE, BF, CG, DH.ABCDEFGHСхема, не для измерений

    Варианты: 1) BDE и CFH; 2) ACF и DEG; 3) BDG и ACH

    Ответ и объяснение

    Ответ: BDG и ACH

    Плоскости BDG и ACH содержат пересекающиеся диагонали BD и AC основания, поэтому имеют общую точку O — центр ABCD. Эти плоскости различны: совпавшая плоскость содержала бы BD и AC, то есть всё основание, но G в основании не лежит. При этом BG ∥ AH как диагонали противоположных граней. В паре BDE и CFH выполнены BD ∥ FH и BE ∥ CH, в паре ACF и DEG — AC ∥ EG и AF ∥ DG; две пересекающиеся пары направлений дают параллельность разных плоскостей. Одной пары направлений для такого вывода недостаточно.

  4. В тетраэдре SABC точки G и H — точки пересечения медиан треугольников SAB и SAC соответственно. BC = 34,5 см. Найди GH в сантиметрах; обоснуй направление GH в тетради. Тетраэдр SABC с гранями SAB, SAC и основанием ABC.SABCСхема, не для измерений Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 11,5

    Пусть K и L — середины AB и AC. KL — средняя линия ABC, поэтому KL ∥ BC и KL = BC2. Центроиды G и H делят медианы SK и SL в отношении 2:1 от S. В треугольнике SKL имеем GH ∥ KL и GH = 23KL = BC3 = 11,5 см.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

В числовом задании требуется краткий ответ: число без единицы измерения. Единица названа в вопросе. В выборе отметь один верный вариант. Автопроверка оценивает ответ; промежуточные действия и обоснование проверяй по разбору письменной работы. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: геометрия, 10 класс: содержание с.32, результаты с.34, тематическое планирование с.38–40. Взаимное расположение, параллельность прямых и плоскостей, сечения и подобие.. Дата сверки — 11 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП. Учебник из федерального перечня № 436, № 1.1.3.7.2.1: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, Л.С. Киселёва, «Геометрия. 10–11 классы», базовый и углублённый уровни, Просвещение, 2026, ISBN 978-5-09-103139-3. ФПУ № 436 от 22.06.2026, позиция 696. Подача сверена с законным издательским методическим фрагментом, 2023, печатные с.19–21, §§4–14. Целевые параграфы учебника не прочитаны. Класс и базовые границы установлены по ФРП 2025; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 12 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Обыкновенные дроби · 5–6 классы · Задачи на проценты · 6 класс · Десятичные дроби · 5 класс · Линейные уравнения · 7 класс · Пропорции · 6 класс · Таблицы и столбчатые диаграммы · 5 класс · Статистические характеристики · 7 класс · Смежные и вертикальные углы · 7 класс · Признаки равенства треугольников · 7 класс · Подобие треугольников · 8 класс · Многочлены · 7 класс · Задачи на движение · 5 класс · Признаки делимости · 5–6 классы · НОД и НОК · 6 класс · Положительные и отрицательные числа · 6 класс · Степень с натуральным показателем · 7 класс · Формулы сокращённого умножения · 7 класс · Линейная функция · 7 класс · Системы уравнений · 7 класс · Рациональные дроби · 8 класс · Квадратные корни · 8 класс · Квадратные уравнения · 8 класс · Линейные неравенства · 8 класс · Теорема Пифагора · 8 класс · Площадь и периметр · 5 класс · Углы и транспортир · 5 класс · Классическая вероятность · 8 класс · Простые уравнения · 5 класс · Уравнения с дробями и числами со знаком · 6 класс · Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат · 8 класс · Трапеция · 8 класс · Равнобедренный треугольник · 7 класс · Площади треугольника и четырёхугольников · 8 класс · Частота события и случайный опыт · 7 класс · Графы: вершины, рёбра, пути · 7 класс · Множества и диаграммы Эйлера · 8 класс · Дерево опыта и вероятности · 8 класс · Разброс данных и диаграмма рассеивания · 8 класс · Натуральные числа и порядок действий · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 6 класс · Задачи на работу · 5 класс · Производительность и работа · 6 класс · Объём куба и параллелепипеда · 5 класс · Координатная плоскость · 6 класс · Осевая симметрия · 6 класс · Центральная симметрия · 6 класс · Окружность и круг · 6 класс · Целые показатели и стандартный вид · 8 класс · Дробно-рациональные уравнения · 8 класс · График y=x² · 7 класс · График y=x³ · 7 класс · Обратная пропорциональность · 8 класс · График квадратного корня · 8 класс · Параллельные прямые и секущая · 7 класс · Углы треугольника · 7 класс · Высота, медиана, биссектриса · 7 класс · Построения циркулем и линейкой · 7 класс · Хорды и диаметры · 7 класс · Касательная к окружности · 7 класс · Серединный перпендикуляр · 7 класс · Теорема Фалеса · 8 класс · Средние линии · 8 класс · Синус, косинус, тангенс · 8 класс · Центральные и вписанные углы · 8 класс · Деление в столбик · 4 класс · Таблица умножения · 3 класс · Умножение в столбик · 4 класс · Деление с остатком · 3 класс · Табличное деление · 3 класс · Сложение и вычитание в столбик · 3 класс · Состав числа и дополнение до 10 и 20 · 1 класс · Переход через десяток: дополнительно, 2 класс · 1 класс · Перевод единиц длины и массы · 3–4 классы · Текстовые задачи в два-три действия · 2–3 классы · Биквадратные уравнения · 9 класс · Квадратичная функция · 9 класс · Векторы и действия с ними · 9 класс · Метод координат · 9 класс · Системы нелинейных уравнений · 9 класс · Тригонометрия и теорема косинусов · 9 класс · Теорема синусов · 9 класс · Скалярное произведение · 9 класс · Арифметическая прогрессия · 9 класс · Геометрическая прогрессия · 9 класс · Сложные проценты · 9 класс · Функция y = |x| · 7 класс · Многоугольники, дуги и секторы · 9 класс · Движения плоскости · 9 класс · Порядок действий · 2–3 классы · Время и календарь · 3–4 классы · Разряды многозначных чисел · 4 класс · Перестановки и сочетания · 9 класс · Числовые последовательности · 9 класс · Квадратные неравенства и метод интервалов · 9 класс · Квадратный трёхчлен · 8 класс · Графики функций · 9 класс · Уравнения окружности и прямой · 9 класс · Геометрическая вероятность · 9 класс · Испытания Бернулли · 9 класс · Сравнение чисел · 1 класс · Сложение и вычитание до 10 · 1 класс · Сложение и вычитание до 100 · 2 класс · Сантиметр, дециметр, метр · 2 класс · Площадь прямоугольника · 3 класс · Доли величины · 3 класс · Скорость, время, расстояние · 4 класс · Периметр · 2 класс · Внетабличное умножение и деление · 3 класс · Неизвестный компонент · 3–4 классы · Масса и вместимость · 3–4 классы · Сложение и вычитание многозначных чисел · 4 класс · Доля и целое по доле · 4 класс · Числа от 11 до 20 · 1 класс · Отрезок, ломаная и многоугольник · 1–2 классы · Смысл умножения и деления · 2 класс · Прямой угол · 2 класс, другие виды — дополнительно · Трёхзначные числа · 3 класс · Умножение и деление на 10 и 100 · 3–4 классы · Единицы площади · 4 класс · Движение навстречу · 4 класс · Письменное умножение на однозначное число · 3 класс · Деление на однозначное число с проверкой · 3–4 классы · Числовые и буквенные выражения · 2–3 классы · Таблицы и простые диаграммы · 3–4 классы · Миллиметр и километр · 4 класс · Век, год и сутки · 4 класс · Приведение к единице · 3–4 класс · Составные фигуры · 4 класс · Логарифмы и их свойства · 11 класс · Логарифмические уравнения · 11 класс · Вычисление производной · 11 класс · Касательная и смысл производной · 11 класс · Монотонность и экстремумы · 11 класс · Наибольшее и наименьшее значение · 11 класс · Радианная мера и окружность · 10 класс · Тригонометрия произвольного угла · 10 класс · Тригонометрические преобразования · 10 класс · Тригонометрические уравнения · 10 класс · Показательная функция и уравнения · 11 класс · Логарифмические неравенства · 11 класс · Показательные неравенства · 11 класс · Степень с рациональным показателем · 11 класс · Иррациональные уравнения · 10 класс · Первообразная и интеграл · 11 класс · Углы и расстояния в пространстве · 10 класс · Призма: элементы и площадь поверхности · 10 класс · Пирамида: элементы и площадь поверхности · 10 класс · Цилиндр и конус · 11 класс · Сфера и шар · 11 класс · Круговые диаграммы · 6 класс · Объёмы многогранников · 10 класс · Одночлен: коэффициент, степень и действия · 7 класс · Случайные опыты и классическая вероятность · 10 класс · Операции над событиями и сложение вероятностей · 10 класс · Условная вероятность и независимые события · 10 класс · Формула полной вероятности и дерево опыта · 10 класс · Комбинаторика и бином Ньютона · 10 класс · Испытания Бернулли и биномиальное распределение · 10 класс · Случайные величины: ожидание и дисперсия · 11 класс · Перпендикулярность прямых и плоскостей · 10 класс · генератор математических примеров · все тренажёры для школьников · все бесплатные инструменты.