Математика · 10 класс

Перпендикулярность прямых и плоскостей — 10 класс

16 заданий по геометрии 10 класса: признаки перпендикулярности, теорема о трёх перпендикулярах, площади боковых граней и ортогональные проекции. Две письменные работы с обоснованием.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Сначала обоснуй прямой угол

Прямая перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Для достаточного признака проверяют две пересекающиеся прямые в ней. Две параллельные прямые дают только одно направление, поэтому такой проверки недостаточно.

Если перпендикуляр из S к плоскости имеет основание A, проекция наклонной SH — AH. Прямая в плоскости, проходящая через H и перпендикулярная AH, перпендикулярна и SH. Обратное утверждение также верно. Именно это обосновывает высоту бокового треугольника.

Если две плоскости перпендикулярны, то прямая одной плоскости, перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости. Прямая в той же плоскости, параллельная линии пересечения, не получает этого свойства.

В вычислении сначала выбери нужную проекцию и докажи прямой угол. Затем используй теорему Пифагора и площадь плоского треугольника. Площадь боковой грани и площадь её ортогональной проекции — разные величины; высота пирамиды не всегда является высотой боковой грани.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

В пирамиде SABC ребро SA перпендикулярно ABC; угол BAC прямой, AB = 5 см, AC = 12 см, SA = $\frac{25}{13}$ см. H — основание высоты ABC к BC. Докажи SH ⊥ BC. Найди площадь SBC, площадь её ортогональной проекции на ABC и отношение площади проекции к площади SBC. Обоснуй все использованные прямые углы.
Разбор и ориентиры для проверки
BC = 13 см. По площади ABC имеем AH = $\frac{5 · 12}{13}$ = $\frac{60}{13}$ см. Проекция SH на ABC — AH, она перпендикулярна BC, поэтому по трём перпендикулярам SH ⊥ BC. В прямоугольном SAH: SH² = ( $\frac{25}{13}$ )² + ( $\frac{60}{13}$ )² = 25, SH = 5 см. Площадь SBC = $\frac{13 · 5}{2}$ = 32,5 см². S проектируется в A, B и C сохраняются, поэтому проекция — ABC с площадью 30 см². Отношение $\frac{30}{32,5}$ = $\frac{12}{13}$ . Критерии: основание и проекция наклонной указаны, три перпендикуляра применены с условиями, высота боковой грани не подменена SA, обе площади и их отношение верны.
Проверь: SH ⊥ BC; площадь SBC — 32,5 см², проекции ABC — 30 см². Отношение — $\frac{12}{13}$ .
Перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по c. M лежит в α, N — в β; их ортогональные проекции на c — A и B соответственно. MA = 12 см, NB = 16 см, AB = 21 см. Построй ортогональные проекции отрезка MN на α и на β. Докажи, что их концами служат M,B и A,N соответственно. Найди длины обеих проекций и MN в точной записи. Все точки, кроме A,B, находятся вне c.
Разбор и ориентиры для проверки
NB лежит в β и перпендикулярна c, поэтому NB ⊥ α; аналогично MA ⊥ β. Значит N проектируется в B, M — в A; в своей плоскости точки сохраняются. MA ⊥ AB, NB ⊥ AB. MB² = 12² + 21² = 585, AN² = 16² + 21² = 697. Кроме того NB ⊥ MB, поэтому MN² = 585 + 16² = 841, MN = 29 см. Критерии: оба конца каждой проекции обоснованы, нужные прямоугольные треугольники названы, корни точные, проверка MN согласуется с двумя проекциями.
Проверь: Проекции — MB и AN; MB = $3 \sqrt{65}$ см, AN = $\sqrt{697}$ см; MN = 29 см.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Выбери нужные направления

Проверь две пересекающиеся прямые в указанной плоскости.

В кубе нижняя грань ABCD и верхняя EFGH соединены рёбрами AE, BF, CG, DH. Какая из этих прямых перпендикулярна плоскости ACGE?
Варианты: 1) BD; 2) BF; 3) BG
Ответ и объяснение
Ответ: BD
BD перпендикулярна AC в квадрате основания. Через их точку пересечения проведи вертикаль в плоскости ACGE; она также перпендикулярна BD. Два пересекающихся направления этой плоскости дают признак BD ⊥ ACGE. BF параллельна вертикальному направлению этой плоскости. Проекция BG на основание — BC, не перпендикулярная AC, поэтому BG также не перпендикулярна AC.
В кубе нижняя грань ABCD и верхняя EFGH соединены рёбрами AE, BF, CG, DH. Какой из указанных плоскостей перпендикулярна прямая AF?
Варианты: 1) ABC; 2) BCE; 3) CDH
Ответ и объяснение
Ответ: BCE
AF перпендикулярна BE как диагонали квадратной грани ABFE. AF также перпендикулярна направлению BC, которое перпендикулярно ABFE. В плоскости BCE пересекаются BE и BC, поэтому AF ⊥ BCE. С ABC прямая AF образует непрямой угол. AF параллельна DG и находится вне плоскости CDH, значит параллельна CDH.
В пирамиде SABC ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. Угол BAC прямой. Какая из этих прямых перпендикулярна плоскости SAC?
Варианты: 1) BC; 2) SC; 3) AB
Ответ и объяснение
Ответ: AB
AB ⊥ AC по условию и AB ⊥ SA, поскольку SA ⊥ ABC. SA и AC пересекаются и лежат в SAC, значит AB ⊥ SAC. SC лежит в SAC, а BC не перпендикулярна AC.
В кубе нижняя грань ABCD и верхняя EFGH соединены рёбрами AE, BF, CG, DH. Какая из этих прямых образует с BH угол 90°?
Варианты: 1) EF; 2) AC; 3) AH
Ответ и объяснение
Ответ: AC
Пусть O — центр ABCD. Плоскость BODH содержит BH. AC ⊥ BD и вертикали через O, поэтому AC ⊥ этой плоскости и BH. EF параллельна AB, которая не перпендикулярна проекции BD; AH и BH пересекаются в H под непрямым углом. Речь об угле между направлениями, прямые AC и BH скрещиваются.

Потренировать эту тему →

Обоснуй высоту боковой грани

Построй проекцию и используй три перпендикуляра.

В пирамиде SABC ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. ABC прямоугольный при A, AB = 9 см, AC = 12 см, SA = 9,6 см. Найди площадь SBC в см². Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 90
BC = 15 см. Высота AH основания к BC: AH = $\frac{AB · AC}{BC}$ = 7,2 см. По трём перпендикулярам SH ⊥ BC; SH² = 9,6² + 7,2² = 144, SH = 12 см. Площадь SBC = $\frac{15 · 12}{2}$ = 90 см².
В пирамиде SABC ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. H — основание перпендикуляра из A к BC; BC = 14 см, AH = 28 см. Площадь SBC равна 371 см². Найди SA в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 45
По трём перпендикулярам SH — высота SBC. SH = $\frac{2 · 371}{14}$ = 53 см. SA² = SH² − AH² = 2809 − 784 = 2025, SA = 45 см.
В пирамиде SABC ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. H — основание перпендикуляра из A к прямой BC. SA = 24 см, BC = 10 см, площадь SBC — 125 см². Найди площадь ABC в см². Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 35
Пусть AH ⊥ BC. По трём перпендикулярам SH ⊥ BC, поэтому SH = $\frac{2 · 125}{10}$ = 25 см. В прямоугольном SAH: AH² = 25² − 24² = 49, AH = 7 см. Площадь ABC = $\frac{10 · 7}{2}$ = 35 см².
В пирамиде SABC ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. H — основание перпендикуляра из A к прямой BC. SB = SC = 25 см, BC = 30 см, SA = 16 см. Найди площадь ABC в см². Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 180
Из равенства SB и SC и общего SA получаем AB = AC. Основание H высоты AH — середина BC. В SBC: SH² = 25² − 15² = 400, SH = 20 см. Треугольник SAH прямоугольный, поскольку SA ⊥ AH: AH² = 20² − 16² = 144. Площадь ABC = $\frac{30 · 12}{2}$ = 180 см².

Потренировать эту тему →

Составь два прямоугольных треугольника

Основания проекций могут быть разными точками общей линии.

Перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по c. M лежит в α, N — в β; их ортогональные проекции на c — A и B соответственно. MA = 3 см, NB = 4 см, AB = 12 см. Найди MN в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 13
MA ⊥ AB, поэтому MB² = MA² + AB². NB перпендикулярна α по признаку перпендикулярных плоскостей, значит NB ⊥ MB. MN² = MB² + NB² = 9 + 144 + 16 = 169, MN = 13 см.
Перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по c. M лежит в α, N — в β; их ортогональные проекции на c — A и B соответственно. MA = 6 см, NB = 6 см, MN = 19 см. Найди AB в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 17
NB ⊥ α, а MA ⊥ AB. Поэтому MN² = MA² + AB² + NB². AB² = 361 − 36 − 36 = 289, AB = 17 см. Прямой угол MN с общей линией не предполагался.
Перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по c. M лежит в α, N — в β; их ортогональные проекции на c — A и B соответственно. NB = 9 см, MN = 25 см, AB = (3x + 4) см, MA = 12 см. Найди x. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{16}{3}$
Два прямоугольных треугольника дают AB² = MN² − MA² − NB² = 625 − 144 − 81 = 400. AB = 20 см, поэтому 3x + 4 = 20, x = $\frac{16}{3}$ .
Перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по c. M лежит в α, N — в β; обе ортогональные проекции на c совпадают с O. MO = 7 см, MN = 25 см. Найди площадь MON в см². Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 84
MO и NO перпендикулярны c в перпендикулярных плоскостях, поэтому MO ⊥ NO. NO² = 25² − 7² = 576, NO = 24 см. Площадь MON = $\frac{7 · 24}{2}$ = 84 см².

Потренировать эту тему →

Проверь условия признака

Отличай достаточный признак от похожего расположения.

Плоскости α и β перпендикулярны и пересекаются по c. Точки M и N лежат в α по одну сторону от c. Их ортогональные проекции на c — разные точки A и B; MA = NB = 5 см. Какое отношение прямой MN и β обязательно выполняется?
Варианты: 1) MN ⊥ β; 2) MN ∥ β; 3) MN ⊂ β
Ответ и объяснение
Ответ: MN ∥ β
Перпендикуляры MA и NB к c равны и находятся по одну сторону от неё, поэтому ABNM — прямоугольник. Значит MN ∥ AB и MN не пересекает c. Все общие точки α и β лежат на c, поэтому MN не имеет точек с β: MN ∥ β. Перпендикулярность плоскостей не делает любую прямую α перпендикулярной β.
Прямоугольник ABCD лежит в α; SA ⊥ α. Какой из этих плоскостей перпендикулярна BC?
Варианты: 1) SAB; 2) SAD; 3) SAC
Ответ и объяснение
Ответ: SAB
BC ⊥ AB в прямоугольнике и BC перпендикулярна направлению SA. Две пересекающиеся прямые AB, SA плоскости SAB дают BC ⊥ SAB. BC параллельна AD в SAD и не перпендикулярна AC в SAC.
В пирамиде SABC ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. AB = 10 см, AC = 6 см, BC = 8 см. Какая прямая грани SBC перпендикулярна BC?
Варианты: 1) SC; 2) BC; 3) SB
Ответ и объяснение
Ответ: SC
Так как 6² + 8² = 10², по обратной теореме Пифагора AC ⊥ BC. Отрезок AC — проекция SC на ABC, поэтому по трём перпендикулярам SC ⊥ BC. Проекция SB — AB, которая не перпендикулярна BC; BC не перпендикулярна самой себе.
В тетраэдре SABC: SA = SB = SC = 13 см, AB = AC = 10 см, BC = 12 см. O — центр окружности через A, B, C; G — точка пересечения медиан ABC; I — центр вписанной окружности ABC. Какой отрезок перпендикулярен плоскости ABC?
Варианты: 1) SG; 2) SO; 3) SI
Ответ и объяснение
Ответ: SO
Пусть K — ортогональная проекция S на ABC. По теореме Пифагора KA² = SA² − SK², аналогично для B и C. Из равенства трёх боковых рёбер следует KA = KB = KC, значит K совпадает с O. Поэтому SO ⊥ ABC. Основание не равностороннее: его центр описанной окружности, центр вписанной и пересечение медиан различны.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

В числовом задании требуется краткий ответ: число без единицы измерения. Единица названа в вопросе. В выборе отметь один верный вариант. Автопроверка оценивает ответ; промежуточные действия и обоснование проверяй по разбору письменной работы. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: геометрия, 10 класс: содержание с.32, результаты с.34, тематическое планирование с.41–44. Признак прямой/плоскости, наклонные и проекции, перпендикулярность плоскостей, три перпендикуляра.. Дата сверки — 11 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП. Учебник из федерального перечня № 436, № 1.1.3.7.2.1: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, Л.С. Киселёва, «Геометрия. 10–11 классы», базовый и углублённый уровни, Просвещение, 2026, ISBN 978-5-09-103139-3. ФПУ № 436 от 22.06.2026, позиция 696. Подача сверена с законным издательским методическим фрагментом, 2023, печатные с.21–23, §§15–24. Целевые параграфы учебника не прочитаны. Класс и базовые границы установлены по ФРП 2025; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 12 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Сначала обоснуй прямой угол

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Выбери нужные направления

Обоснуй высоту боковой грани

Составь два прямоугольных треугольника

Проверь условия признака

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме