Математика · 10 класс

Объёмы призмы и пирамиды: задания для 10 класса

Находи объём призмы и пирамиды, восстанавливай высоту и площадь основания, сравнивай подобные тела и считай объём составных фигур. 16 задач и три письменные работы.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Сначала основание и высота

Выбери основание тела и найди его площадь. Высота — расстояние между плоскостями оснований призмы или от вершины пирамиды до плоскости основания; боковое ребро не всегда является высотой.

Сопоставь единицы всех длин до вычисления. Для составного тела укажи части, из которых оно собрано, и учти полости. Проверь, что объём имеет кубическую единицу.

В обратной задаче запиши равенство объёмов и выдели неизвестный элемент. При подобии сначала установи коэффициент по соответствующим длинам.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

В правильной пирамиде SPQRT квадратное основание со стороной10 см, боковое ребро13 см. H — центр основания. Построй прямоугольный треугольник для нахождения SH, найди высоту и объём в точном виде.
Разбор и ориентиры для проверки
Расстояние от центра до вершины5 $\sqrt{2}$ см. SH² = 13² − ( $5 \sqrt{2}$ )² = 119. Критерии: высота к центру квадрата, правильный радиус, теорема Пифагора, площадь основания и коэффициент в формуле объёма, точная запись и единицы. Апофему вместо бокового ребра использовать нельзя.
Проверь: SH = $\sqrt{119}$ см; V = $\frac{100 \sqrt{119}}{3}$ см³.
Объём прямой призмы360 см³, высота15 см. Основание — трапеция, одно основание4 см, высота трапеции4 см. Найди второе основание. Затем построй другую призму того же объёма и высоты с треугольным основанием, указав достаточные размеры.
Разбор и ориентиры для проверки
Площадь основания24 см². $\frac{4 + b}{2}$ · 4 = 24, b = 8 см. Треугольник должен иметь ту же площадь24 см². Критерии: высота тела и высота основания различены, уравнение для b, достаточные размеры другого основания, проверка объёма; другие треугольники площади24 см² допустимы.
Проверь: Второе основание8 см; например, треугольник с основанием8 см и высотой6 см.
Объём пирамиды560 см³. Параллельное основанию сечение делит высоту в отношении3:4, считая от вершины. Найди объёмы обеих частей и объясни, почему нельзя делить560 в отношении3:4.
Разбор и ориентиры для проверки
Полная высота состоит из7 частей, коэффициент подобия $\frac{3}{7}$ , коэффициент объёмов $\frac{27}{343}$ .560 · $\frac{27}{343}$ = $\frac{2160}{49}$ ; остаток $\frac{25280}{49}$ . Критерии: отношение от вершины, куб коэффициента, вычитание, сумма560, объяснение разного закона для длин и объёмов.
Проверь: Малая пирамида $\frac{2160}{49}$ см³, усечённая часть $\frac{25280}{49}$ см³.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Объём призмы

Площадь основания вычисляй по его форме.

Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами6 и9 см, высота призмы8 см. Найди объём в кубических сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 216
Площадь основания $\frac{6 · 9}{2}$ = 27 см². Объём27 · 8 = 216 см³.
Основание наклонной призмы имеет площадь18 см², высота призмы7 см, боковое ребро9 см. Найди объём в кубических сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 126
Используется высота, а не боковое ребро: V = 18 · 7 = 126 см³.
Основание призмы — трапеция с основаниями5 и11 см и высотой4 см. Высота призмы9 см. Найди объём в кубических сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 288
Площадь трапеции $\frac{5 + 11}{2}$ · 4 = 32 см². V = 32 · 9 = 288 см³.
Прямоугольный параллелепипед имеет длину40 см, ширину25 см и высоту0,6 м. Найди объём в литрах. Один литр равен1000 см³. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 60
Высота60 см. Объём40 · 25 · 60 = 60000 см³ = 60 л.

Потренировать эту тему →

Объём пирамиды

Высоту отличай от апофемы и бокового ребра.

Пирамида имеет основание площадью42 см² и высоту9 см. Найди её объём в кубических сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 126
V = $\frac{42 · 9}{3}$ = 126 см³.
Правильная четырёхугольная пирамида SPQRT имеет сторону основания8 см и апофему5 см. Найди объём в кубических сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 64
Высота SH проходит через центр квадрата. Расстояние от центра до середины стороны4 см; высота $\sqrt{5² − 4²}$ = 3 см. V = $\frac{8² · 3}{3}$ = 64 см³.
Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами7 и12 см. Высота пирамиды10 см. Найди объём в кубических сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 140
Площадь основания42 см². V = $\frac{42 · 10}{3}$ = 140 см³.
Пирамида имеет квадратное основание со стороной9 см. Боковое ребро, выходящее из одной вершины основания, перпендикулярно основанию и равно8 см. Найди объём в кубических сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 216
Указанное ребро — высота. Площадь основания81 см², V = $\frac{81 · 8}{3}$ = 216 см³.

Потренировать эту тему →

Восстанови элемент

Вырази неизвестное из равенства объёма.

Объём призмы195 см³, площадь основания39 см². Найди высоту призмы в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
195 = 39h, поэтому h = 195 : 39 = 5 см.
Объём пирамиды140 см³, площадь основания35 см². Найди высоту в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 12
140 = $\frac{35h}{3}$ . Высота h = 3 · 140 : 35 = 12 см.
Правильная четырёхугольная пирамида имеет высоту6 см и объём98 см³. Найди сторону основания в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 7
98 = $\frac{a² · 6}{3}$ = 2a², a² = 49. Положительная длина a = 7 см.
Призма имеет объём144 см³ и высоту12 см. Основание — прямоугольный треугольник с одним катетом3 см. Найди другой катет в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
Площадь основания144 : 12 = 12 см². $\frac{3b}{2}$ = 12, b = 8 см.

Потренировать эту тему →

Части и подобие

Укажи, какие части складываются или вычитаются.

На призму высотой6 см поставили пирамиду высотой4 см. Основания совпадают и имеют площадь45 см²; тела имеют общую только эту грань. Найди общий объём в кубических сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 330
Призма270 см³, пирамида60 см³. Внутренние части не пересекаются:270 + 60 = 330 см³.
Из куба ребра6 см удалили прямую призму со сквозным квадратным основанием2 на2 см и высотой6 см. Найди объём оставшегося тела в кубических сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 192
Объём куба216 см³; удалённая часть2 · 2 · 6 = 24 см³. Остаток192 см³.
Соответствующие рёбра двух подобных пирамид равны6 и9 см. Объём меньшей пирамиды80 см³. Найди объём большей в кубических сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 270
Коэффициент по длинам $\frac{9}{6}$ = $\frac{3}{2}$ ; по объёмам его куб $\frac{27}{8}$ . Больший объём80 · $\frac{27}{8}$ = 270 см³.
Пирамиду объёмом375 см³ пересекли плоскостью, параллельной основанию. От вершины до плоскости сечения расстояние равно двум пятым полной высоты. Найди объём оставшейся усечённой части в кубических сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 351
Малая пирамида подобна исходной с коэффициентом $\frac{2}{5}$ . Её объём375 · $\frac{8}{125}$ = 24 см³; усечённая часть375 − 24 = 351 см³.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

В числовом задании требуется краткий ответ: число без единицы измерения. Единица названа в вопросе. В выборе отметь один верный вариант. Автопроверка оценивает ответ; промежуточные действия и обоснование проверяй по разбору письменной работы. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 10 класс: содержание с.33, результаты с.34–35; тематическое планирование с.46–47. Методические рекомендации: глава5, пункты53–54,57–58, печатные с.30–31. Исторический порядок учебника не определяет класс по актуальной ФРП.. Дата сверки — 9 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня №436: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, Л. С. Киселёва, «Геометрия. 10–11 классы. Базовый и углублённый уровни», Просвещение, 2026, ISBN978-5-09-103139-3; позиция696, код1.1.3.7.2.1. Обозначения и учебные действия сверены с законным методическим фрагментом издательства2023. Целевые параграфы учебника не прочитаны. Содержание и класс — по ФРП; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 9 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Сначала основание и высота

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Объём призмы

Объём пирамиды

Восстанови элемент

Части и подобие

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме