Математика · 10 класс

Пирамида, апофема и площадь поверхности

16 заданий для 10 класса: элементы пирамиды, боковая и полная поверхность правильной пирамиды, высота и апофема, правильная усечённая пирамида. Числовые ответы и письменные решения.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Как выбрать нужные элементы

Различай вершину, основание, боковые грани и рёбра. Не путай высоту пирамиды с высотой боковой грани.

Перед вычислением площади отметь все грани, которые составляют запрошенную поверхность.

Для вычисления длины укажи нужный треугольник, обоснуй положение высоты и прямого угла.

Проверь, какие данные относятся к самой пирамиде, а какие к её основанию. В коротком поле запиши число в единице из условия, без обозначения единицы.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Основание правильной пирамиды — равносторонний треугольник со стороной 8 см. Апофема пирамиды 10 см. Начерти схему и найди площадь полной поверхности в квадратных сантиметрах.
Разбор и ориентиры для проверки
Боковая поверхность состоит из трёх треугольников: $\frac{3 · 8 · 10}{2}$ = 120 см². Высота равностороннего основания $4 \sqrt{3}$ см, его площадь $\frac{8 · 4 \sqrt{3}}{2}$ = $16 \sqrt{3}$ см². Критерии: различение высот, все боковые грани, площадь основания, точная сумма и единица.
Проверь: 120 + $16 \sqrt{3}$ см².
Основание правильной пирамиды — квадрат со стороной 10 см. Боковое ребро 13 см. Найди апофему, высоту пирамиды и площадь полной поверхности. Обоснуй положение каждого нужного прямоугольного треугольника.
Разбор и ориентиры для проверки
В боковой равнобедренной грани высота к стороне 10 см делит её пополам. Апофема² = 13² − 5² = 144. Расстояние от центра квадрата до его вершины $5 \sqrt{2}$ см; h² = 169 − 50 = 119. Боковая площадь $\frac{4 · 10 · 12}{2}$ = 240 см², полная 240 + 100 = 340 см². Критерии: два разных треугольника, обе высоты, площадь всех граней и единицы.
Проверь: Апофема 12 см; высота $\sqrt{119}$ см; полная поверхность 340 см².
Основания правильной усечённой пирамиды — квадраты со сторонами 18 см и 6 см. Высота усечённой пирамиды 8 см. Начерти сечение через центры оснований и середины соответствующих сторон. Найди апофему и площадь полной поверхности.
Разбор и ориентиры для проверки
В указанном сечении горизонтальный катет равен $\frac{18 − 6}{2}$ = 6 см, вертикальный 8 см; апофема 10 см. Боковая площадь $\frac{(72 + 24) · 10}{2}$ = 480 см², два основания — 324 + 36 = 360 см². Полная площадь 840 см². Критерии: нужное сечение, половина разности сторон, прямой угол, апофема, обе площади оснований и единицы.
Проверь: Апофема 10 см; полная поверхность 840 см².

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вершины, рёбра и грани

Считай только запрошенные элементы.

Основание пирамиды — пятиугольник. Сколько вершин у пирамиды? Запиши число. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Пять вершин находятся в основании, ещё одна — вершина пирамиды. Всего 6.
Основание пирамиды — шестиугольник. Сколько рёбер у пирамиды? Запиши число. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 12
Шесть рёбер основания и шесть боковых рёбер дают 12.
Основание пирамиды — восьмиугольник. Сколько граней у пирамиды? Запиши число. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
Восемь боковых треугольников и одно основание дают 9 граней.
У пирамиды 14 рёбер. Сколько у неё вершин? Запиши число. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
Число рёбер основания равно числу боковых рёбер: по 7. Основание имеет 7 вершин, вместе с вершиной пирамиды получаем 8.

Потренировать эту тему →

Площадь поверхности

Различай боковую поверхность и всю поверхность.

Основание правильной пирамиды — квадрат со стороной 6 см. Апофема пирамиды 5 см. Найди площадь боковой поверхности в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 60
Четыре равных боковых треугольника имеют основания 6 см и высоты 5 см. Сумма площадей $\frac{4 · 6 · 5}{2}$ = 60 см².
Основание правильной пирамиды — квадрат со стороной 8 см. Апофема пирамиды 5 см. Найди площадь полной поверхности в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 144
Боковая площадь $\frac{4 · 8 · 5}{2}$ = 80 см². Основание имеет площадь 64 см². Полная площадь 80 + 64 = 144 см².
Основание правильной пирамиды — правильный шестиугольник со стороной 4 см. Апофема пирамиды 7 см. Найди площадь боковой поверхности в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 84
Шесть равных треугольников имеют основания 4 см и высоты 7 см. Сумма площадей $\frac{6 · 4 · 7}{2}$ = 84 см².
Периметр основания правильной пирамиды 30 см, площадь боковой поверхности 120 см². Найди апофему в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
Сумма площадей боковых треугольников равна половине произведения периметра основания на апофему. Поэтому апофема $\frac{2 · 120}{30}$ = 8 см.

Потренировать эту тему →

Высота, апофема и боковое ребро

Установи положение прямоугольного треугольника.

Основание правильной пирамиды — квадрат со стороной $6 \sqrt{2}$ см. Боковое ребро 10 см. Найди высоту пирамиды в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали: $\frac{6 \sqrt{2} · \sqrt{2}}{2}$ = 6 см. Высота образует с ним катеты, боковое ребро — гипотенузу. h² = 10² − 6² = 64, h = 8 см.
Основание правильной пирамиды — квадрат со стороной 10 см. Высота пирамиды 12 см. Найди апофему в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 13
Расстояние от центра основания до середины его стороны равно 5 см. Апофема — гипотенуза с катетами 12 и 5 см, её длина 13 см.
Основание правильной пирамиды — равносторонний треугольник со стороной $6 \sqrt{3}$ см. Высота пирамиды 8 см. Найди боковое ребро в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
Расстояние от центра равностороннего треугольника до его вершины равно стороне, делённой на $\sqrt{3}$ : 6 см. Боковое ребро имеет квадрат 8² + 6² = 100, длина 10 см.
Основание правильной пирамиды — квадрат со стороной 14 см. Апофема пирамиды 25 см. Найди высоту пирамиды в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 24
Расстояние от центра основания до середины стороны равно 7 см. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой-апофемой h² = 25² − 7² = 576, h = 24 см.

Потренировать эту тему →

Правильная усечённая пирамида

Используй размеры обеих соответствующих сторон.

Основания правильной усечённой пирамиды — квадраты со сторонами 10 см и 4 см. Апофема усечённой пирамиды 5 см. Найди площадь боковой поверхности в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 140
Каждая из четырёх боковых граней — трапеция с основаниями 10 и 4 см и высотой 5 см. Боковая площадь $\frac{4 · (10 + 4) · 5}{2}$ = 140 см².
Основания правильной усечённой пирамиды — квадраты со сторонами 6 см и 2 см. Площадь боковой поверхности 96 см². Найди апофему усечённой пирамиды в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Сумма периметров оснований 24 + 8 = 32 см. Боковая площадь равна половине этой суммы, умноженной на апофему. Поэтому апофема $\frac{2 · 96}{32}$ = 6 см.
Основания правильной усечённой пирамиды — квадраты со сторонами 8 см и 4 см. Апофема усечённой пирамиды 5 см. Найди площадь полной поверхности в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 200
Боковая площадь $\frac{4 · (8 + 4) · 5}{2}$ = 120 см². Основания дают 64 + 16 = 80 см². Полная площадь 200 см².
Основания правильной усечённой пирамиды — квадраты со сторонами 8 см и 2 см. Высота усечённой пирамиды 4 см. Найди её апофему в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
В сечении через центры оснований и середины соответствующих сторон получаем прямоугольный треугольник. Горизонтальный катет $\frac{8 − 2}{2}$ = 3 см, вертикальный — 4 см. Апофема равна 5 см.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 10 класс: содержание с. 32–33; тематическое планирование с. 45–46. Дата сверки — 8 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, Л. С. Киселёва, «Геометрия. 10–11 классы. Базовый и углублённый уровни», Просвещение, 2026, ISBN978-5-09-103139-3. Линия включена в действующий федеральный перечень по приказу №436 от22.06.2026, приложение1, позиция696, код1.1.3.7.2.1. Действия главы3, §2, пункты32–34, сверены с законным методическим фрагментом издателя2023 (печатная с.25). Целевые параграфы учебника не прочитаны. Класс и базовые границы — по ФРП2025. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 8 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Как выбрать нужные элементы

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Вершины, рёбра и грани

Площадь поверхности

Высота, апофема и боковое ребро

Правильная усечённая пирамида

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме