Математика · 10 класс

Элементы призмы, боковая и полная поверхность

16 заданий для 10 класса: вершины, рёбра и грани призмы, боковая и полная поверхность прямой призмы, диагонали прямоугольного параллелепипеда. Числовые ответы и письменные решения.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Что отметить на схеме

Различай основания, боковые грани и боковые рёбра. При подсчёте не считай один элемент дважды.

Перед вычислением площади уточни, какая поверхность запрошена и какие фигуры её составляют.

Установи вид призмы и обоснуй длины сторон каждой нужной грани.

Для диагонали укажи прямоугольный треугольник, в котором выполняешь вычисление. В коротком поле запиши число в единице из условия, без обозначения единицы.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Основание прямой призмы — правильный шестиугольник со стороной 2 см, высота призмы 4 см. Начерти одну возможную развёртку всей призмы. Подпиши размеры, обоснуй состав развёртки и найди её площадь в квадратных сантиметрах.
Разбор и ориентиры для проверки
Боковую часть составляют шесть прямоугольников суммарной площади 6 · 2 · 4 = 48 см². Каждое основание состоит из шести равносторонних треугольников со стороной 2 см и площадью $\sqrt{3}$ см²; два основания дают $12 \sqrt{3}$ см². Критерии: все восемь граней без перекрытия, соединение рёбер при сгибании, размеры, площади и единица.
Проверь: Шесть прямоугольников со сторонами 2 и 4 см и два правильных шестиугольника; площадь 48 + $12 \sqrt{3}$ см².
Основание прямой призмы — равнобедренная трапеция с основаниями 4 см и 10 см и боковыми сторонами 5 см. Высота призмы 9 см. Начерти схему и найди площадь полной поверхности в квадратных сантиметрах.
Разбор и ориентиры для проверки
При опускании высот трапеции получаем катет $\frac{10 − 4}{2}$ = 3 см и гипотенузу 5 см; высота основания 4 см. Площадь основания $\frac{(4 + 10) · 4}{2}$ = 28 см², периметр 24 см. Боковая площадь 24 · 9 = 216 см², полная 216 + 56 = 272 см². Критерии: два разных значения высоты, обоснование 4 см, все площади и единица.
Проверь: 272 см².
Прямоугольный параллелепипед имеет основание со сторонами 6 см и 8 см. Пространственная диагональ 26 см. Найди высоту и площадь полной поверхности. Начерти схему и обоснуй оба вычисления.
Разбор и ориентиры для проверки
Диагональ основания 10 см. h² = 26² − 10² = 576, h = 24 см. Полная площадь 2 · (6 · 8 + 6 · 24 + 8 · 24) = 2 · 384 = 768 см². Критерии: нужные диагонали, два прямоугольных треугольника, положительная высота, все грани и единицы.
Проверь: Высота 24 см; полная поверхность 768 см².

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Элементы многогранника

Различай вершины, рёбра и грани.

Основание призмы — пятиугольник. Сколько вершин у этой призмы? Запиши число. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
В двух основаниях по пять соответствующих вершин. Получаем 5 + 5 = 10.
Основание призмы — треугольник. Сколько рёбер у этой призмы? Запиши число. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
В двух основаниях по три ребра, ещё три соединяют соответствующие вершины. Всего 3 + 3 + 3 = 9.
Основание призмы — семиугольник. Сколько граней у этой призмы? Запиши число. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
Семь боковых граней соответствуют семи сторонам основания. Вместе с двумя основаниями получаем 9 граней.
У призмы 18 вершин. Сколько у неё граней? Запиши число. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 11
В каждом основании $\frac{18}{2}$ = 9 вершин, значит, основание — девятиугольник. Боковых граней девять, оснований два: всего 11.

Потренировать эту тему →

Поверхность боковых граней

Определи необходимые размеры граней.

Прямая треугольная призма имеет стороны основания 5 см, 5 см и 6 см. Высота призмы 7 см. Найди площадь боковой поверхности в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 112
Боковые грани — прямоугольники высоты 7 см. Сумма их площадей (5 + 5 + 6) · 7 = 112 см².
Основание прямой призмы — правильный шестиугольник со стороной 3 см. Высота призмы 5 см. Найди площадь боковой поверхности в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 90
Шесть боковых прямоугольников имеют стороны 3 и 5 см. Их суммарная площадь 6 · 3 · 5 = 90 см².
Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Высота призмы 6 см. Найди площадь боковой поверхности в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 84
Две грани имеют площадь 3 · 6, две — 4 · 6. Сумма 2 · 18 + 2 · 24 = 84 см².
Площадь боковой поверхности прямой призмы 150 см², высота 5 см. Найди периметр её основания в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 30
Сумма площадей боковых прямоугольников равна периметру основания, умноженному на высоту. Поэтому периметр $\frac{150}{5}$ = 30 см.

Потренировать эту тему →

Поверхность всей призмы

Учти все грани, которые входят в запрос.

Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота призмы 5 см. Найди площадь полной поверхности в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 168
Гипотенуза основания 10 см. Боковая поверхность (6 + 8 + 10) · 5 = 120 см². Два основания имеют площадь 2 · $\frac{6 · 8}{2}$ = 48 см². Полная площадь 168 см².
Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 4 см и 7 см. Высота призмы 3 см. Найди площадь полной поверхности в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 122
Боковая площадь 2 · (4 + 7) · 3 = 66 см², два основания — 2 · 4 · 7 = 56 см². Всего 122 см².
Площадь основания прямой призмы 18 см², его периметр 20 см, высота призмы 4 см. Найди площадь полной поверхности в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 116
Боковая площадь 20 · 4 = 80 см². Два основания дают 36 см². Полная площадь 80 + 36 = 116 см².
Основание прямой призмы — квадрат со стороной 5 см. Высота призмы 12 см. Найди площадь полной поверхности в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 290
Четыре боковых прямоугольника дают 4 · 5 · 12 = 240 см². Два основания дают 2 · 25 = 50 см². Всего 290 см².

Потренировать эту тему →

Рёбра и диагонали

Выбери нужный прямоугольный треугольник.

Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 см, 4 см и 12 см. Найди его пространственную диагональ в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 13
Диагональ основания равна 5 см. Пространственная диагональ — гипотенуза с катетами 5 и 12 см: её квадрат 25 + 144 = 169, длина 13 см.
Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 2 см и 3 см, пространственная диагональ 7 см. Найди высоту в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Квадрат пространственной диагонали равен сумме квадратов трёх взаимно перпендикулярных рёбер. h² = 7² − 2² − 3² = 36, h = 6 см.
Основание прямой призмы — квадрат со стороной 7 см, высота призмы 24 см. Найди диагональ боковой грани в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 25
Боковая грань — прямоугольник со сторонами 7 и 24 см. Квадрат его диагонали 49 + 576 = 625, диагональ 25 см.
В прямой призме ABCA₁B₁C₁ основания — треугольники ABC и A₁B₁C₁. AB = 8 см, BC = 10 см, CA = 12 см, высота призмы 15 см. Найди A₁B в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 17
AA₁ = 15 см и AA₁ ⊥ AB. В прямоугольном A₁AB: A₁B² = 15² + 8² = 289, A₁B = 17 см. Стороны BC,CA для этого вычисления не нужны.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 10 класс: содержание с. 32–33; тематическое планирование с. 45–46. Дата сверки — 8 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, Л. С. Киселёва, «Геометрия. 10–11 классы. Базовый и углублённый уровни», Просвещение, 2026, ISBN978-5-09-103139-3. Линия включена в действующий федеральный перечень по приказу №436 от22.06.2026, приложение1, позиция696, код1.1.3.7.2.1. Действия главы3, §1, пункт30, сверены с законным методическим фрагментом издателя2023 (печатная с.24). Целевой параграф учебника не прочитан. Класс и базовые границы — по ФРП2025. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 8 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Что отметить на схеме

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Элементы многогранника

Поверхность боковых граней

Поверхность всей призмы

Рёбра и диагонали

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме