Математика · 10 класс

Условная вероятность, независимость и умножение вероятностей — 10 класс

Находи вероятность при известном условии, различай прямую и обратную условные вероятности, учитывай возвращение при выборе. 16 заданий и две письменные работы для 10 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Как условие меняет модель

P(A | B) — вероятность A при условии, что B произошло. При P(B) > 0 она равна P(A ∩ B) : P(B). В равновозможной модели оставь исходы B и считай долю исходов A среди них.

Формула умножения: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A). Вероятности P(A | B) и P(B | A) обычно различаются: у них разные условия и знаменатели.

Для независимых событий P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Независимость следует из организации опыта или проверяется по вероятностям; слово «случайно» само по себе её не даёт. При независимости дополнения событий также независимы.

При выборе без возвращения состав меняется после каждого результата. При возвращении с перемешиванием исходный состав восстанавливается. Для нескольких последовательных шагов перемножай вероятности с учётом уже пройденного пути.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Из 60 равновозможных билетов 24 имеют приз A, 30 — приз B, а 12 — оба. Составь таблицу четырёх областей, найди P(A), P(B), P(A ∩ B) и P(A | B). Проверь независимость. Затем измени только число билетов с обоими призами на 9, сохранив общее число и количества каждого вида призов. Повтори проверку и объясни изменение.
Разбор и ориентиры для проверки
Сначала P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, пересечение 0,2 и P(A | B) = 0,4. После изменения пересечение 0,15, P(A | B) = 0,3, а произведение 0,4 · 0,5 остаётся 0,2. Критерии: области названы и в сумме дают 60, совместная и условная вероятности не перепутаны, независимость проверена равенством произведению или неизменностью условной вероятности; объяснено, почему одно лишь слово «случайно» её не гарантирует.
Проверь: Сначала области 12, 12, 18, 18; события независимы. После изменения области 9, 15, 21, 15; события зависимы.
В урне 5 красных и 4 синих отдельных шара. Два шара случайно вынимают подряд без возвращения, каждый оставшийся шар равновозможен. Найди: вероятность второго красного при первом синем; вероятность порядка синий–красный; вероятность первого синего при известном втором красном. Для последнего вопроса сначала обоснуй вероятность второго красного. Объясни, почему ответы относятся к разным событиям.
Разбор и ориентиры для проверки
P(второй красный)= $\frac{5}{9}$ · $\frac{4}{8}$ + $\frac{4}{9}$ · $\frac{5}{8}$ = $\frac{5}{9}$ ; это также следует из симметрии мест при случайном выборе без возвращения. Совместная вероятность $\frac{4}{9}$ · $\frac{5}{8}$ = $\frac{5}{18}$ . Деление её на $\frac{5}{9}$ даёт $\frac{1}{2}$ . Критерии: учтён новый состав, произведение относится к одному порядку, вероятность второго красного обоснована, у двух условных вероятностей названы разные условия; допустимо перечисление равновозможных упорядоченных пар.
Проверь: Условная вероятность второго красного — $\frac{5}{8}$ ; совместная синий–красный — $\frac{5}{18}$ ; обратная условная вероятность — $\frac{1}{2}$ .

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Оставь исходы условия

Условие задаёт новое множество исходов.

В лотерее 50 равновозможных билетов: денежный приз есть у 18, книжный — у 15, оба вида — у 6. Известно, что выбранный билет даёт книжный приз. Найди вероятность денежного приза. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,4
После условия остаются 15 книжных билетов; денежный приз есть у 6 из них. Условная вероятность 6 : 15 = 0,4, а не 6 : 50.
Из жетонов с номерами 1–7 выбирают два разных без возвращения, все неупорядоченные пары равновозможны. Известно, что сумма номеров нечётна. Найди вероятность, что оба номера не меньше 5. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{1}{6}$
Условию соответствуют пары из нечётного и чётного номера: 4 · 3 = 12 пар. Среди номеров 5, 6, 7 подходят {5,6} и {6,7}. Вероятность $\frac{2}{12}$ = $\frac{1}{6}$ .
Симметричную монету независимо бросили три раза. Известно, что орёл выпал хотя бы раз. Найди вероятность ровно двух орлов. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{3}{7}$
Из восьми последовательностей условие исключает РРР. Из семи оставшихся ровно два орла имеют ООР, ОРО, РОО: вероятность $\frac{3}{7}$ .
Две различимые правильные шестигранные кости бросили независимо. Известно, что произведение очков нечётно. Найди вероятность суммы не меньше 8. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{1}{3}$
Оба результата нечётны, остаются 3 · 3 = 9 равновозможных пар из чисел 1, 3, 5. Сумма не меньше 8 у (3;5), (5;3), (5;5). Вероятность $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{3}$ .

Потренировать эту тему →

Совместная и условная

Выбирай знаменатель по направлению условия.

P(A) = 0,48, P(B | A) = 0,625 и P(B) = 0,4. Найди P(A | B). Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,75
Пересечение имеет вероятность 0,48 · 0,625 = 0,3. Делим её на P(B): 0,3 : 0,4 = 0,75.
P(C) = 0,52, P(D | C) = 0,45. Найди вероятность совместного наступления C и D. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,234
Формула умножения даёт P(C ∩ D) = 0,52 · 0,45 = 0,234. Условная вероятность уже учитывает событие C.
P(F | E) = 0,35, P(E ∩ F) = 0,21. Найди P(E). Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,6
Из 0,21 = P(E) · 0,35 получаем P(E) = 0,21 : 0,35 = 0,6. Деление восстанавливает вероятность условия.
P(A) = 0,4, P(B) = 0,6, P(A ∩ B) = 0,3. Найди P(A | не B). Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,25
A без B имеет вероятность 0,4 − 0,3 = 0,1; не B — 0,4. Условная вероятность 0,1 : 0,4 = 0,25.

Потренировать эту тему →

Используй независимость

Событие сначала сформулируй через A и B.

События A и B независимы, P(A) = 0,4, P(B) = 0,65. Найди вероятность, что не наступит ни одно из них. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,21
Дополнения независимы: (1 − 0,4) · (1 − 0,65) = 0,6 · 0,35 = 0,21.
События A и B независимы, P(A) = 0,28, P(B) = 0,45. Найди вероятность, что A наступит, а B не наступит. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,154
A и дополнение B независимы. Вероятность только A равна 0,28 · (1 − 0,45) = 0,154.
События C и D независимы, P(C) = 0,6, P(D) = 0,57. Найди вероятность хотя бы одного из них. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,828
Вероятность ни одного равна 0,4 · 0,43 = 0,172. Дополнение даёт 0,828; формула сложения с пересечением 0,342 даёт то же.
События E и F независимы, P(E) = 0,3 и P(F) = 0,5. Известно, что наступило хотя бы одно из них. Найди вероятность E при этом условии. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{6}{13}$
Объединение имеет вероятность 0,3 + 0,5 − 0,3 · 0,5 = 0,65. E целиком входит в объединение, поэтому условная вероятность 0,3 : 0,65 = $\frac{6}{13}$ . Само условие меняет вероятность E.

Потренировать эту тему →

Последовательные шаги

Учитывай возвращение и промежуточный результат.

В урне 5 красных и 3 синих отдельных шара. Два шара случайно вынимают подряд без возвращения, каждый оставшийся шар равновозможен. Найди вероятность порядка: сначала красный, затем синий. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{15}{56}$
Вероятность первого красного $\frac{5}{8}$ , затем синего $\frac{3}{7}$ . Произведение равно $\frac{15}{56}$ . Другой порядок не включается.
В урне 4 белых и 5 чёрных отдельных шаров. Три шара случайно вынимают подряд без возвращения, каждый оставшийся равновозможен. Найди вероятность порядка: белый, белый, чёрный. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{5}{42}$
Последовательные вероятности $\frac{4}{9}$ , $\frac{3}{8}$ , $\frac{5}{7}$ . Их произведение $\frac{60}{504}$ = $\frac{5}{42}$ ; после двух белых чёрных по-прежнему пять.
Вероятность пройти первый тест качества равна 0,85. Среди деталей, прошедших первый тест, вероятность пройти второй равна 0,92. Найди вероятность пройти первый и провалить второй. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,068
При условии успеха первого вероятность провала второго 1 − 0,92 = 0,08. Совместная вероятность 0,85 · 0,08 = 0,068; независимость не требуется.
Вероятность выигрыша одного билета равна 0,3. Три раза независимо выбирают билет, возвращая его и перемешивая билеты после каждого выбора. Найди вероятность порядка: выигрыш, проигрыш, выигрыш. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,063
Нужен один заданный порядок: 0,3 · 0,7 · 0,3 = 0,063. Выбор возвращают, поэтому вероятности не меняются; другие порядки двух выигрышей не добавляются.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Дай краткий числовой ответ. Вероятность записывай десятичной дробью; обыкновенной — там, где это указано. Математически равные точные записи и десятичная точка принимаются. Обоснование запиши в тетради. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: курс «Вероятность и статистика», 10 класс: содержание с. 57, результаты с. 58, тематическое планирование с. 60. Условная вероятность, формула умножения и независимость событий.. Дата сверки — 11 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП. Учебник из федерального перечня № 436, № 1.1.3.7.1.1: Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», базовый и углублённый уровни, Просвещение. ФПУ № 436 от 22.06.2026, позиция 695. Для независимости и умножения учебные действия сверены с законным издательским планированием Т. А. Бурмистровой, 2020, с. 41, § 69; целевой параграф учебника не прочитан. Условная вероятность и класс — по ФРП 2025. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 11 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Как условие меняет модель

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Оставь исходы условия

Совместная и условная

Используй независимость

Последовательные шаги

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме