Математика · 11 класс

Первообразная, определённый интеграл и его смысл

16 заданий для 11 класса: первообразные, постоянная по заданному значению, определённый интеграл, площадь и движение. Числовые ответы, выбор полного семейства и письменные решения.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Что показать в вычислении

Запиши первообразную и проверь её дифференцированием.

При заданном значении функции обоснуй выбор постоянной.

При вычислении интеграла выпиши подстановку обоих пределов и порядок вычитания.

В прикладной задаче укажи, какую величину вычисляешь, её единицу и почему выбранный интеграл ей соответствует.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Найди первообразную F функции f(x) = 4x³ − 2x на всей числовой прямой, если F(1) = 3. Запиши F(x) и проверь оба условия.
Разбор и ориентиры для проверки
Общее семейство x⁴ − x² + C. Из 1 − 1 + C = 3 получаем C = 3. Производная найденной функции равна 4x³ − 2x, значение в точке 1 равно 3. Критерии: правильное семейство, определение постоянной, итоговая формула и обе проверки.
Проверь: F(x) = x⁴ − x² + 3.
Вычисли определённый интеграл функции f(x) = sin x от 0 до π. Запиши первообразную и подстановку пределов.
Разбор и ориентиры для проверки
Первообразная −cos x. Разность (−cos π) − (−cos 0) = 1 − (−1) = 2. Критерии: первообразная с правильным знаком, порядок пределов, точные значения и итог.
Проверь: 2.
Найди площадь фигуры между графиком y = 3x − x², осью Ox и прямыми x = 0, x = 3. Обоснуй использование интеграла. Ответ дай в квадратных единицах.
Разбор и ориентиры для проверки
На [0; 3] функция x(3 − x) неотрицательна. Площадь равна интегралу с первообразной $\frac{3x²}{2}$ − $\frac{x³}{3}$ . Разность значений $\frac{27}{2}$ − 9 = $\frac{9}{2}$ . Критерии: знак функции, границы, первообразная, вычисление обоих пределов и единица площади.
Проверь: $\frac{9}{2}$ квадратных единиц.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Семейство первообразных

Выбери полную запись семейства на указанной области.

Для f(x) = 8x³ − 3 на всей числовой прямой выбери семейство всех первообразных. C — произвольная постоянная.
Варианты: 1) 8x⁴ − 3x + C; 2) 4x⁴ − 3x + C; 3) x⁴ − 3x + C; 4) 2x⁴ − 3x + C
Ответ и объяснение
Ответ: 2x⁴ − 3x + C
Производная 2x⁴ − 3x + C равна 8x³ − 3. Семейство записано в варианте 4.
Для f(x) = 5 cos x на всей числовой прямой выбери семейство всех первообразных. C — произвольная постоянная.
Варианты: 1) −5 sin x + C; 2) 5 sin x + C; 3) 5 cos x + C; 4) −5 cos x + C
Ответ и объяснение
Ответ: 5 sin x + C
Производная 5 sin x + C равна 5 cos x. Ответ вариант 2.
Для f(x) = eˣ + 4x на всей числовой прямой выбери семейство всех первообразных. C — произвольная постоянная.
Варианты: 1) eˣ + 4x² + C; 2) eˣ + 2x + C; 3) eˣ + 2x² + C; 4) eˣ + 4 + C
Ответ и объяснение
Ответ: eˣ + 2x² + C
Производная eˣ + 2x² + C равна eˣ + 4x. Ответ вариант 3.
Для f(x) = $\frac{2}{x}$ при x > 0 выбери семейство всех первообразных. C — произвольная постоянная.
Варианты: 1) 2x + C; 2) 2 ln x + C; 3) $2 \sqrt{x}$ + C; 4) 2eˣ + C
Ответ и объяснение
Ответ: 2 ln x + C
На x > 0 производная 2 ln x + C равна $\frac{2}{x}$ . Ответ вариант 2.

Потренировать эту тему →

Постоянная по условию

Найди первообразную с заданным значением и вычисли запрошенное число.

F — первообразная функции f(x) = 3x² − 4 на всей числовой прямой, F(0) = 5. Найди F(2). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
F(x) = x³ − 4x + C. Из F(0) = 5 получаем C = 5. Тогда F(2) = 8 − 8 + 5 = 5.
F — первообразная функции f(x) = 2x + 7 на всей числовой прямой, F(1) = 0. Найди F(3). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 22
F(x) = x² + 7x + C. Условие 1 + 7 + C = 0 даёт C = −8. Значение F(3) = 9 + 21 − 8 = 22.
F — первообразная функции f(x) = 6x на всей числовой прямой, F(−1) = 4. Найди F(2). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 13
F(x) = 3x² + C. Из 3 + C = 4 получаем C = 1. Тогда F(2) = 12 + 1 = 13.
F — первообразная функции f(x) = cos x на всей числовой прямой, F(0) = 2. Найди F( $\frac{π}{2}$ ). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
F(x) = sin x + C, условие в нуле даёт C = 2. При x = $\frac{π}{2}$ значение синуса 1, поэтому F = 3.

Потренировать эту тему →

Вычислить определённый интеграл

Найди первообразную и используй пределы интегрирования.

Вычисли определённый интеграл функции f(x) = 4x − 1 от 1 до 3. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 14
Берём F(x) = 2x² − x. Разность F(3) − F(1) = (18 − 3) − (2 − 1) = 14.
Вычисли определённый интеграл функции f(x) = 3x² от 0 до 2. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
Первообразная x³. Разность значений на концах: 2³ − 0³ = 8.
Вычисли определённый интеграл функции f(x) = $\frac{1}{x²}$ от 1 до 2. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{1}{2}$
На данном промежутке первообразная − $\frac{1}{x}$ . Разность − $\frac{1}{2}$ − (−1) = $\frac{1}{2}$ .
Вычисли определённый интеграл функции f(x) = eˣ от 0 до ln 3. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
Первообразная eˣ. Значение в верхнем пределе 3, в нижнем 1. Разность 3 − 1 = 2.

Потренировать эту тему →

Площадь и движение

Определи смысл интеграла и дай числовой ответ в названной единице.

Найди площадь фигуры между графиком y = 6x − x², осью Ox и прямыми x = 0, x = 6. Ответ дай в квадратных единицах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 36
На [0; 6] функция x(6 − x) неотрицательна. Площадь равна интегралу. Первообразная 3x² − $\frac{x³}{3}$ . В точке 6 значение 108 − 72 = 36, в нуле 0. Площадь 36 квадратных единиц.
Найди площадь фигуры между графиком y = x², осью Ox и прямыми x = −2, x = 1. Ответ дай в квадратных единицах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
Функция неотрицательна. Интеграл равен $\frac{1³}{3}$ − $\frac{(−2)³}{3}$ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = 3. Площадь 3 квадратных единицы.
Тело движется по прямой со скоростью v(t) = 2t + 3 м/с, время t задано в секундах. Найди путь за промежуток от t = 0 до t = 4. Ответ дай в метрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 28
На данном промежутке скорость положительна, поэтому путь равен интегралу скорости. Первообразная t² + 3t. Разность значений 16 + 12 − 0 = 28 м.
Тело движется вдоль оси Ox. Проекция его скорости на эту ось v(t) = t − 2 м/с, время t задано в секундах. Найди перемещение вдоль Ox за промежуток от t = 0 до t = 5. Ответ дай в метрах. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{5}{2}$
Перемещение, учитывающее знак скорости, равно интегралу v(t). Первообразная $\frac{t²}{2}$ − 2t. Разность значений $\frac{25}{2}$ − 10 = $\frac{5}{2}$ м. Это перемещение, а не полный пройденный путь.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 11 класс: содержание с. 17; тематическое планирование с. 28. Дата сверки — 8 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: линия Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина, М. В. Ткачёвой и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», Просвещение, 2026, ФПУ 1.1.3.7.1.1 (приложение 1, позиция 695). Действия главы X, §§54–56 и59 сопоставлены с открытым планированием издателя (сборник Т. А. Бурмистровой, 2020, с. 40). Целевые параграфы в законном фрагменте не прочитаны. Класс и состав базового курса определены по ФРП 2025. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 8 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Что показать в вычислении

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Семейство первообразных

Постоянная по условию

Вычислить определённый интеграл

Площадь и движение

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме