Математика · 10 класс

Пространственные углы, проекции и расстояния

16 заданий для 10 класса: углы между прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями; расстояния между плоскостями и прямыми. Числовые ответы и письменные решения с построением проекций.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Как выбрать нужный угол или отрезок

Сначала построй направления или проекцию, которые соответствуют запрошенному углу.

Отметь на схеме нужный треугольник и обоснуй связи его сторон с пространственной фигурой.

Для расстояния докажи, что выбранный отрезок является нужным перпендикуляром.

В коротком ответе запиши запрошенное число без единицы измерения. В письменной работе укажи точное значение, единицу измерения, построение и обоснование.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

В кубе нижняя грань ABCD и верхняя грань A₁B₁C₁D₁ соединены рёбрами AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. Построй проекцию пространственной диагонали AC₁ на ABCD. Найди угол между AC₁ и этой плоскостью в точной записи через арктангенс.
Разбор и ориентиры для проверки
Проекция AC₁ — диагональ AC основания. Если ребро куба a, то CC₁ = a, AC = a $\sqrt{2}$ . В прямоугольном ACC₁ искомый угол C₁AC имеет тангенс $\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Критерии: проекция, прямой угол, длины, правильное отношение и точная запись.
Проверь: arctan( $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ).
В правильном тетраэдре SABC ребро равно 6 см. H — центр описанной окружности ABC, SH ⊥ ABC. Найди расстояние от S до ABC в сантиметрах и угол между SA и ABC в точной записи через арктангенс.
Разбор и ориентиры для проверки
Высота равностороннего ABC равна $3 \sqrt{3}$ см, AH = $2 \sqrt{3}$ см. В прямоугольном SAH: SH² = 36 − 12 = 24, SH = $2 \sqrt{6}$ см. Проекция SA — AH; тангенс угла SAH равен $\frac{SH}{AH}$ = $\sqrt{2}$ . Критерии: положение H, вычисление AH, перпендикуляр расстояния, высота, проекция и точный угол.
Проверь: SH = $2 \sqrt{6}$ см; угол arctan( $\sqrt{2}$ ).
В прямоугольном параллелепипеде нижняя грань ABCD и верхняя A₁B₁C₁D₁ соединены рёбрами AA₁,BB₁,CC₁,DD₁. AB = 3 см, BC = 4 см, AA₁ = 12 см. Найди расстояние от A до прямой B₁D₁ в сантиметрах. Построй нужный перпендикуляр и обоснуй решение.
Разбор и ориентиры для проверки
Пусть K — основание перпендикуляра из A₁ к B₁D₁. В верхней грани B₁D₁ = 5 см; высота из A₁ в прямоугольном треугольнике B₁A₁D₁ равна $\frac{3 · 4}{5}$ = $\frac{12}{5}$ см. По трём перпендикулярам AK ⊥ B₁D₁. Треугольник AA₁K прямоугольный, AK² = 144 + $\frac{144}{25}$ = 144 · $\frac{26}{25}$ . AK = $\frac{12 \sqrt{26}}{5}$ см. Критерии: две проекции, обоснование перпендикуляра AK, высота к диагонали, вычисление и единица.
Проверь: $\frac{12 \sqrt{26}}{5}$ см.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Угол между прямыми

Перенеси направления в одну плоскость, если это требуется.

В кубе нижняя грань ABCD и верхняя грань A₁B₁C₁D₁ соединены рёбрами AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. Найди угол между прямыми AB₁ и BC₁ в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 60
BC₁ параллельна AD₁. Отрезки AB₁, AD₁ и B₁D₁ — диагонали квадратных граней, поэтому имеют равные длины. Треугольник AB₁D₁ равносторонний, угол B₁AD₁ равен 60°. Это угол между заданными направлениями.
В кубе нижняя грань ABCD и верхняя грань A₁B₁C₁D₁ соединены рёбрами AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. Найди угол между прямыми AB и B₁D₁ в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 45
B₁D₁ параллельна BD. В квадрате ABCD диагональ BD образует со стороной AB угол 45°. Это угол между заданными направлениями.
Скрещивающиеся прямые a,b соответственно параллельны пересекающимся прямым c,d. Один из углов пересечения c,d равен 135°. Найди угол между a и b в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 45
Смежный угол пересечения c,d равен 180° − 135° = 45°. Угол между прямыми определяется меньшим углом между их направлениями, поэтому равен 45°.
В правильном тетраэдре SABC найди угол между противоположными рёбрами SA и BC в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 90
Пусть H — центр равностороннего ABC. SH ⊥ ABC, а AH направлена по медиане и перпендикулярна BC. По теореме о трёх перпендикулярах SA ⊥ BC. Угол между направлениями равен 90°.

Потренировать эту тему →

Угол прямой с плоскостью

Найди проекцию наклонной и используй соответствующий треугольник.

PA ⊥ α, A,B лежат в α. PA = 5 см, PB = 10 см. Найди угол между PB и α в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 30
AB — проекция PB на α. В прямоугольном PAB синус угла PBA равен $\frac{PA}{PB}$ = $\frac{1}{2}$ . Угол PBA равен 30°.
PA ⊥ α, A,B лежат в α. PA = 4 см, AB = 4 см. Найди угол между PB и α в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 45
Искомый угол PBA. Прямоугольный треугольник PAB равнобедренный, поэтому его острые углы равны 45°.
PA ⊥ α, A,B лежат в α. AB = 6 см, PB = 12 см. Найди угол между PB и α в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 60
Искомый угол PBA имеет косинус $\frac{AB}{PB}$ = $\frac{1}{2}$ . В прямоугольном треугольнике этот острый угол равен 60°.
PA ⊥ α, A,B лежат в α. PA = 3 см, AB = $3 \sqrt{3}$ см. Найди угол между PB и α в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 30
Тангенс угла PBA равен $\frac{PA}{AB}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . Искомый острый угол равен 30°.

Потренировать эту тему →

Угол между плоскостями

Используй направления, перпендикулярные линии пересечения.

Плоскости α,β пересекаются по c. O лежит на c, M — в α, N — в β, OM ⊥ c и ON ⊥ c. Угол MON равен 120°. Найди угол между плоскостями α и β в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 60
MON — линейный угол одного из двугранных углов. Угол между плоскостями выбирают меньшим из смежных: 180° − 120° = 60°.
Плоскости α,β пересекаются по c. O лежит на c, M — в α, N — в β, OM ⊥ c и ON ⊥ c. OM = ON = MN = 3 см. Найди угол между α и β в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 60
MON — равносторонний треугольник, поэтому линейный угол при O равен 60°. Он и является углом между плоскостями.
Плоскости α,β пересекаются по c. O лежит на c, M — в α, N — в β, OM ⊥ c и ON ⊥ c. OM = ON = 4 см, MN = $4 \sqrt{2}$ см. Найди угол между α и β в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 90
MN² = 32 = OM² + ON². По обратной теореме Пифагора угол MON прямой. Это линейный угол, следовательно, плоскости перпендикулярны, угол 90°.
Плоскости α,β пересекаются по c. O лежит на c, N — в β, ON ⊥ c. K — проекция N на α; OK ⊥ c. NK = 4 см, ON = 8 см. Найди угол между α и β в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 30
NK ⊥ α, поэтому NOK прямоугольный при K. Угол NOK — линейный угол между плоскостями. Его синус $\frac{NK}{ON}$ = $\frac{1}{2}$ ; угол равен 30°.

Потренировать эту тему →

Выбрать перпендикуляр расстояния

Определи соответствующий отрезок и выполни вычисление.

Прямая AB пересекает параллельные плоскости α и β в A и B. AB = 20 см, угол между AB и α равен 30°. Найди расстояние между плоскостями в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
Опустим BK ⊥ α. Из параллельности плоскостей BK — нужный перпендикуляр расстояния; AK — проекция AB на α. В прямоугольном ABK: BK = AB · sin30° = 20 · $\frac{1}{2}$ = 10 см.
Прямая MN пересекает параллельные плоскости α и β в M и N. K — ортогональная проекция N на α. MN = 17 см, MK = 15 см. Найди расстояние между плоскостями в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
NK ⊥ α и β, поэтому расстояние равно NK. В прямоугольном MKN: NK² = 17² − 15² = 64, NK = 8 см.
Прямая a параллельна плоскости α. P лежит на a, A — основание перпендикуляра из P на α, B лежит в α. PB = 10 см, AB = 6 см, PA = (2x + 2) см. Найди число x. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
PA ⊥ AB. В прямоугольном PAB: PA² = 10² − 6² = 64, PA = 8 см. Это расстояние от a до α. Решаем 2x + 2 = 8, получаем x = 3.
В кубе нижняя грань ABCD и верхняя грань A₁B₁C₁D₁ соединены рёбрами AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. AB₁ = (4x + 1) см. Расстояние между скрещивающимися прямыми AB и CC₁ равно $5 \sqrt{2}$ см. Найди число x. Ответ запиши обыкновенной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{9}{4}$
BC — общий перпендикуляр к AB и CC₁, поэтому ребро куба равно $5 \sqrt{2}$ см. Диагональ грани AB₁ равна $5 \sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ = 10 см. Получаем 4x + 1 = 10, x = $\frac{9}{4}$ .

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 10 класс: содержание с. 32; тематическое планирование с. 38–44. Дата сверки — 8 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, Л. С. Киселёва, «Геометрия. 10–11 классы. Базовый и углублённый уровни», Просвещение, 2026, ISBN978-5-09-103139-3. Линия включена в действующий федеральный перечень по приказу №436 от22.06.2026, приложение1, позиция696, код1.1.3.7.2.1. Действия глав1–2, пункты8–9 и19–23, сверены с законным методическим фрагментом издателя2023 (печатные с.20 и22–23). Целевые параграфы учебника не прочитаны. Класс и базовые границы — по ФРП2025. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 8 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Как выбрать нужный угол или отрезок

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Угол между прямыми

Угол прямой с плоскостью

Угол между плоскостями

Выбрать перпендикуляр расстояния

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме