Математика · 10 класс

Операции над событиями и сложение вероятностей — 10 класс

Восстанавливай области диаграммы Эйлера, находи вероятность ровно одного события и проверяй границы возможных значений. 16 коротких заданий и две письменные работы для 10 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Какие области нужно учитывать

Пересечение A ∩ B означает, что наступили оба события. Объединение A ∪ B означает, что наступило хотя бы одно из них: возможно, оба. «Ровно одно» исключает общий участок.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B): при сложении общий участок был посчитан дважды. Для несовместных событий пересечение пусто. Несовместность и независимость — разные свойства.

Диаграмма двух событий разбивается на четыре области: только A, только B, оба, ни одно. Их вероятности неотрицательны и в сумме равны 1. Противоположное событие дополняет выбранное событие до всего множества исходов.

Если общий участок не задан, возможны разные модели. Для границы проверяй, что ни одна из четырёх областей не получила отрицательную вероятность и общий участок не больше каждого из событий.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Вероятность события A равна 0,58, B — 0,49, а ровно одного из них — 0,43. Построй диаграмму Эйлера и подпиши вероятности четырёх непересекающихся областей. Найди вероятность хотя бы одного события и проверь все исходные данные.
Разбор и ориентиры для проверки
Если общий участок x, то 0,58 + 0,49 − 2x = 0,43, откуда x = 0,32. Критерии: пересечение вычислено с двойным вычитанием для ровно одного, остальные три области верны и неотрицательны, сумма областей равна 1, обратно получены P(A), P(B) и вероятность ровно одного. Верное словесное разбиение допустимо вместе со схемой.
Проверь: Оба — 0,32; только A — 0,26; только B — 0,17; ни одно — 0,25; хотя бы одно — 0,75.
Ученик записал P(C) = 0,64, P(D) = 0,57 и P(C ∪ D) = 0,5. Докажи, что данные противоречивы. Оставь вероятности C и D неизменными и предложи два разных допустимых значения вероятности объединения. Для каждого из них укажи все четыре области диаграммы.
Разбор и ориентиры для проверки
Для 0,8: оба 0,41, только C 0,23, только D 0,16, ни одно 0,2. Для 0,95: оба 0,26, только C 0,38, только D 0,31, ни одно 0,05. Критерии: противоречие объяснено через включение C в объединение или недопустимое пересечение 0,71; даны два разных допустимых объединения от 0,64 до 1; для каждого четыре области неотрицательны и воспроизводят исходные вероятности. Другие верные примеры допустимы.
Проверь: Объединение не может быть меньше 0,64. Например, объединения 0,8 и 0,95 допустимы.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Найди неизвестную вероятность

Различай объединение, пересечение и ровно одно событие.

P(A) = 0,61, P(B) = 0,52, P(A ∪ B) = 0,84. Найди вероятность наступления ровно одного из событий. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,55
Пересечение равно 0,61 + 0,52 − 0,84 = 0,29. Из объединения исключаем общий участок: 0,84 − 0,29 = 0,55.
Из 80 деталей у 46 есть отметка A, у 39 — отметка B, у 24 — обе. Одну деталь выбирают равновозможно из всех 80. Найди вероятность, что на ней нет ни одной из двух отметок. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,2375
Хотя бы одну отметку имеют 46 + 39 − 24 = 61 деталь. Без обеих отметок 80 − 61 = 19; вероятность 19 : 80 = 0,2375.
P(A) = 0,48, P(B) = 0,39, P(A ∪ B) = 0,68. Найди вероятность наступления ровно одного из событий. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,49
Общий участок имеет вероятность 0,48 + 0,39 − 0,68 = 0,19. Ровно одно: 0,68 − 0,19 = 0,49; это не сумма вероятностей A и B.
P(не A) = 0,35, P(B) = 0,42, P(A ∩ B) = 0,18. Найди вероятность, что A наступит, а B не наступит. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,47
P(A) = 1 − 0,35 = 0,65. Только A имеет вероятность 0,65 − 0,18 = 0,47; полная вероятность B для этого вычитания не нужна.

Потренировать эту тему →

Четыре области

Восстанови недостающую область по данным.

P(A) = 0,52, P(B) = 0,41. Вероятность наступления ровно одного из событий равна 0,39. Найди вероятность, что не наступит ни одно из них. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,34
Ровно одно равно 0,52 + 0,41 − 2x, где x — пересечение. Поэтому x = 0,27. Объединение имеет вероятность 0,52 + 0,41 − 0,27 = 0,66, дополнение — 0,34.
P(A ∩ B) = 0,16. Вероятность только A равна 0,38. P(A ∪ B) = 0,73. Найди P(B). Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,35
Объединение состоит из только A и всего B, поэтому P(B) = 0,73 − 0,38 = 0,35. Проверка: только B равно 0,19, вместе с общим участком даёт 0,35.
P(A ∪ B) = 0,81. Вероятность, что B наступит без A, равна 0,26. Найди P(не A). Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,45
В объединении всё A и только B: P(A) = 0,81 − 0,26 = 0,55. Противоположное A имеет вероятность 1 − 0,55 = 0,45.
Вероятность, что не наступит ни A, ни B, равна 0,28; P(A) = 0,43, P(B) = 0,51. Найди P(A ∩ B). Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,22
Объединение имеет вероятность 1 − 0,28 = 0,72. Пересечение равно 0,43 + 0,51 − 0,72 = 0,22.

Потренировать эту тему →

Событие в задаче

Сначала сформулируй подходящее событие.

При контроле качества вероятность дефекта размера равна 0,08, дефекта окраски — 0,06, обоих дефектов — 0,025. Деталь годна, если нет ни одного из этих дефектов. Найди вероятность годной детали. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,885
Вероятность хотя бы одного дефекта 0,08 + 0,06 − 0,025 = 0,115. Годность — противоположное событие, её вероятность 1 − 0,115 = 0,885.
Из билетов с номерами 1–40 равновозможно выбирают один. Найди вероятность, что его номер делится на 3 или на 5, включая номера, делящиеся на оба числа. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,475
Кратных 3 — 13, кратных 5 — 8, кратных 15 — 2. Благоприятных 13 + 8 − 2 = 19; вероятность 19 : 40 = 0,475.
В лотерее вероятность денежного приза равна 0,32, книжного приза — 0,24; оба приза могут достаться одному билету. Вероятность того, что билет не получит ни денежного, ни книжного приза, равна 0,52. Найди вероятность получить оба вида призов. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,08
Хотя бы один приз имеет вероятность 0,48. Общий участок равен 0,32 + 0,24 − 0,48 = 0,08.
Вероятность, что контрольная деталь пройдёт тест A, равна 0,76, тест B — 0,63, оба теста — 0,51. Найди вероятность пройти один тест и провалить другой. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,37
Только A: 0,76 − 0,51 = 0,25. Только B: 0,63 − 0,51 = 0,12. Ровно один пройденный тест: 0,25 + 0,12 = 0,37.

Потренировать эту тему →

Границы возможных значений

Найди достижимую границу, не предполагая независимость.

P(A) = 0,37 и P(B) = 0,28; других сведений нет. Найди разность между наибольшей и наименьшей возможными вероятностями того, что не наступит ни A, ни B. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,28
Объединение может меняться от 0,37 до 0,65. Поэтому вероятность ни одного меняется от 0,35 до 0,63. Разность 0,63 − 0,35 = 0,28; крайние значения достигаются при вложении B в A и при несовместных событиях.
P(A) = 0,45 и P(B) = 0,8; других сведений нет. Найди наименьшее возможное значение P(A ∩ B). Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,25
Объединение не больше 1, поэтому пересечение не меньше 0,45 + 0,8 − 1 = 0,25. Граница достижима: только A — 0,2, только B — 0,55, оба — 0,25, ни одно — 0.
P(A) = 0,72 и P(B) = 0,63; других сведений нет. Найди наибольшую возможную вероятность наступления ровно одного из событий. Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,65
Пересечение не меньше 0,72 + 0,63 − 1 = 0,35. Ровно одно равно 1,35 − 2x и максимально при x = 0,35: вероятность 0,65. Только A — 0,37, только B — 0,28, оба — 0,35, ни одно — 0.
P(A) = 0,48 и P(B) = 0,67; других сведений нет. Найди разность между наибольшим и наименьшим возможными значениями P(A ∩ B). Дай краткий ответ: запиши число.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,33
Пересечение не меньше 0,48 + 0,67 − 1 = 0,15 и не больше 0,48. Разность 0,48 − 0,15 = 0,33. Нижняя граница достигается при объединении вероятности 1, верхняя — при включении A в B.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Дай краткий числовой ответ; вероятность записывай десятичной дробью. Точка также принимается. Математически равные точные дроби принимаются. Решение и схему запиши в тетради; автопроверка оценивает итоговое число. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: курс «Вероятность и статистика», 10 класс: содержание с. 57, результаты с. 58, тематическое планирование с. 60. Пересечение, объединение, противоположные события, диаграммы Эйлера и формула сложения вероятностей.. Дата сверки — 11 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП. Учебник из федерального перечня № 436, № 1.1.3.7.1.1: Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», базовый и углублённый уровни, Просвещение. ФПУ № 436 от 22.06.2026, позиция 695. Учебные действия сверены с законным издательским планированием Т.А. Бурмистровой, 2020, с. 41, §§66,68; целевые параграфы учебника не прочитаны. Класс установлен по ФРП 2025; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 11 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Какие области нужно учитывать

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Найди неизвестную вероятность

Четыре области

Событие в задаче

Границы возможных значений

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме