Математика · 11 класс

Закон больших чисел и нормальное распределение — 11 класс

Исследуй разброс выборочного среднего, читай нормальную модель и находи вероятности по таблице. 16 коротких заданий и две письменные работы по математике для 11 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Среднее выборки и непрерывная модель

Для независимых наблюдений одной модели с конечными математическим ожиданием μ и дисперсией v выборочное среднее имеет ожидание μ, дисперсию v/n и стандартное отклонение $\sqrt{\frac{v}{n}}$ . Увеличение n уменьшает разброс распределения среднего. Закон больших чисел описывает приближение среднего к μ по вероятности; он не обещает улучшение каждого конкретного журнала.

В нормальной модели μ — математическое ожидание, σ — стандартное отклонение, σ² — дисперсия. Нормальная плотность симметрична относительно μ. Для непрерывной величины вероятность отдельного точного значения равна нулю, поэтому строгость концов интервала не меняет его вероятность.

Стандартизованная величина Z = (X − μ)/σ имеет стандартное нормальное распределение. Если F(z) = P(Z ≤ z), то P(a < X < b) = F((b − μ)/σ) − F((a − μ)/σ). Правый хвост равен 1 − F(z); из симметрии F(−z) = 1 − F(z).

Используй приведённые табличные вероятности, даже если они уже приближённые. При дополнительном условии дели вероятность пересечения на вероятность всего условия. Для двух независимых изделий вероятности нужных исходов перемножаются. Округление окончательного ответа указано отдельно.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Каждая ошибка измерения независимо принимает значения −6 или 6 с вероятностью 0,5. Для среднего n измерений используй дисперсию v/n. Найди математическое ожидание и дисперсию одной ошибки, затем стандартные отклонения средних для 36 и 144 измерений. В журнале первых 36 измерений сумма ошибок 0; после добавления 108 измерений их добавленная сумма равна 216. Найди оба наблюдаемых средних. Может ли такой журнал возникнуть в данной модели? Опровергает ли он закон больших чисел? Объясни различие между разбросом распределения среднего и результатом одной выборки.
Разбор и ориентиры для проверки
Симметрия даёт ожидание 0, средний квадрат ошибки равен 36. Для n = 36 и 144 стандартные отклонения $\sqrt{\frac{36}{n}}$ равны 1 и 0,5. В первом журнале могут быть 18 ошибок каждого знака; среди следующих 108 — 72 положительные и 36 отрицательных, их сумма 216. Итоговое среднее 216 : 144 = 1,5 оказалось дальше от ожидания 0, чем прежнее 0. Закон не гарантирует монотонного улучшения конкретного журнала. Критерии: верные характеристики и средние, приведён выполнимый состав наблюдений, уменьшение стандартного отклонения не смешано с обязательным уменьшением наблюдаемой ошибки.
Проверь: Одна ошибка: ожидание 0, дисперсия 36. Стандартные отклонения средних: 1 и 0,5. Наблюдаемые средние: 0 и 1,5. Журнал возможен и не опровергает закон больших чисел.
Масса изделия X нормально распределена с математическим ожиданием 500 г и стандартным отклонением 8 г. Принимают изделия массой от 488 до 512 г. Массы разных изделий независимы. Для стандартной модели даны F(1) = 0,8413 и F(1,5) = 0,9332. Найди вероятность принятия одного изделия и вероятность того, что хотя бы одно из двух изделий не будет принято. Затем известно, что масса отдельного изделия больше 492 г; найди условную вероятность, что она не больше 512 г. Покажи границы Z и события. Окончательные вероятности запиши десятичными дробями, округлив до четырёх знаков после запятой.
Разбор и ориентиры для проверки
Границы принятия Z = −1,5 и 1,5. По симметрии вероятность 2 · 0,9332 − 1 = 0,8664. Для двух изделий дополнение к принятию обоих равно 1 − 0,8664² = 0,24935104 ≈ 0,2494. Условие X > 492 даёт Z > −1, его вероятность 0,8413. Пересечение с X ≤ 512 даёт −1 < Z ≤ 1,5: вероятность 0,9332 − 0,1587 = 0,7745. Отношение 0,7745 : 0,8413 ≈ 0,9206. Критерии: верная стандартизация, использование симметрии и дополнения, независимость только для разных изделий, правильный знаменатель условной вероятности, округление только окончательных результатов.
Проверь: Вероятность принятия 0,8664; хотя бы одного непринятого среди двух — 0,2494; условная вероятность — 0,9206.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Разброс среднего выборки

Используй модель независимых одинаково распределённых наблюдений с конечной дисперсией.

Массы изделий измеряют независимо в одной модели. Математическое ожидание массы 500 г, дисперсия 36 г². Найди стандартное отклонение среднего арифметического масс 25 изделий в граммах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1,2
Дисперсия среднего 36 : 25 = 1,44 г². Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии, то есть 1,2 г; это не дисперсия 1,44 и не средняя масса 500 г.
Независимые измерения одной величины имеют одинаковую дисперсию 0,8. Каково минимальное целое число измерений, при котором дисперсия их среднего арифметического не больше 0,0032? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 250
Нужно 0,8/n ≤ 0,0032. Поэтому n ≥ 0,8 : 0,0032 = 250. Условие относится к дисперсии, а не к стандартному отклонению.
В независимых испытаниях вероятность успеха одинакова и равна 0,36. Доля успехов — среднее индикаторов, которые равны 1 при успехе и 0 иначе. Дисперсия одного индикатора p(1 − p). Найди число испытаний n, если стандартное отклонение доли успехов равно 0,012. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1600
Дисперсия индикатора 0,36 · 0,64 = 0,2304. Для доли стандартное отклонение $\sqrt{\frac{0,2304}{n}}$ = 0,012. После возведения в квадрат n = 0,2304 : 0,000144 = 1600.
Для 100 независимых измерений одной модели стандартное отклонение среднего равно 2,1. В новой выборке 900 независимых измерений той же модели. Найди стандартное отклонение нового среднего. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,7
Размер выборки увеличен в 9 раз, дисперсия среднего уменьшается в 9 раз, а стандартное отклонение — в 3 раза. Получаем 2,1 : 3 = 0,7.

Потренировать эту тему →

Интервал и хвост нормальной модели

Сначала переведи границы X в границы стандартной величины Z.

Масса X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 52 г и стандартным отклонением 4 г. Дано F(0,5) = 0,6915, F(1,5) = 0,9332, F(2) = 0,9772. Найди P(X > 58). Используй приведённые значения и запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,0668
Граница (58 − 52)/4 = 1,5. Нужна строка F(1,5), а не последнее табличное значение. Правый хвост 1 − 0,9332 = 0,0668.
Длина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 120 мм и дисперсией 9 мм². Дано F(−1) = 0,1587, F(2) = 0,9772, F(0,5) = 0,6915. Найди P(121,5 < X < 126), используя эти значения. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,2857
Стандартное отклонение $\sqrt{9}$ = 3 мм. Границы Z равны 0,5 и 2. Вероятность интервала 0,9772 − 0,6915 = 0,2857. Строка F(−1) к этому интервалу не относится.
Масса X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 80 г и стандартным отклонением 5 г. Дано F(2) = 0,9772, F(0,5) = 0,6915, F(1) = 0,8413. Найди P(X < 85). Используй таблицу и запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,8413
Граница Z = (85 − 80)/5 = 1. Нужна вероятность левого хвоста F(1) = 0,8413, а не дополнение табличного значения.
Диаметр X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 34 мм и стандартным отклонением 2 мм. Дано F(1,5) = 0,9332, F(2) = 0,9772, F(0,5) = 0,6915. Найди P(33 < X < 37), используя таблицу и симметрию. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,6247
Границы Z равны −0,5 и 1,5. По симметрии F(−0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085. Вероятность интервала 0,9332 − 0,3085 = 0,6247. Строка F(2) здесь не используется.

Потренировать эту тему →

Восстанови параметры нормальной модели

В этих задачах распределение нормальное, а его параметры требуется найти.

Для нормально распределённой длины X известно P(X < 18) = 0,12 и P(X > 42) = 0,12. Найди математическое ожидание X. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 30
Равные хвостовые вероятности означают симметричные относительно μ границы. Поэтому μ = (18 + 42)/2 = 30.
X имеет нормальное распределение со стандартным отклонением 10. Известно P(X ≤ 64) = 0,7881. В таблице стандартной модели F(0,8) = 0,7881. Используя это соответствие, найди математическое ожидание X. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 56
Равным накопленным вероятностям соответствует одна граница: (64 − μ)/10 = 0,8. Значит μ = 64 − 8 = 56.
В нормальной модели математическое ожидание X равно 220. Вероятность P(X ≤ 232) равна табличному значению F(1,5) = 0,9332. Найди дисперсию X. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 64
Получаем (232 − 220)/σ = 1,5, поэтому σ = 8. Дисперсия равна σ² = 64. Ответ 8 был бы стандартным отклонением.
Для нормально распределённого X даны P(X ≤ 48) = 0,3085 и P(X ≤ 60) = 0,9332. В стандартной таблице F(−0,5) = 0,3085, F(1,5) = 0,9332. Используй эти соответствия и найди стандартное отклонение X. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Уравнения 48 = μ − 0,5σ и 60 = μ + 1,5σ дают 12 = 2σ. Следовательно σ = 6. При этом μ = 51, что проверяет обе границы.

Потренировать эту тему →

Условие и независимые изделия

Обозначь нужное событие; только затем выбирай разность, дополнение, отношение или произведение.

X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 10 и стандартным отклонением 2. Дано F(0) = 0,5, F(1) = 0,8413, F(2) = 0,9772. Известно, что X > 10. Найди вероятность X > 14 при этом условии, используя таблицу. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,0456
Для 14 граница Z = 2, правый хвост 0,0228. Событие X > 14 входит в условие X > 10, вероятность условия 0,5. Отношение 0,0228 : 0,5 = 0,0456.
X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 100 и стандартным отклонением 10. Дано F(1) = 0,8413, F(2) = 0,9772. Известно, что X > 110. Найди вероятность X ≤ 120 при этом условии. Используй таблицу и округли окончательный ответ до четырёх знаков после запятой. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,8563
Пересечение — интервал 110 < X ≤ 120, его вероятность 0,9772 − 0,8413 = 0,1359. Вероятность условия 1 − 0,8413 = 0,1587. Отношение 0,1359 : 0,1587 ≈ 0,8563.
Массы двух изделий независимы и имеют одно нормальное распределение с математическим ожиданием 40 г и стандартным отклонением 5 г. Изделие принимают, если его масса не больше 45 г. Дано F(1) = 0,8413. Найди вероятность принятия ровно одного из двух изделий. Используй таблицу и округли окончательный ответ до четырёх знаков после запятой. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,2670
Для границы 45 г стандартизованное значение 1, поэтому принятие имеет вероятность 0,8413. Возможны два порядка: принято первое или второе. Вероятность 2 · 0,8413 · 0,1587 = 0,26702862 ≈ 0,2670.
Массы двух изделий независимы и нормально распределены с математическим ожиданием 100 г и стандартным отклонением 2 г каждая. Принимают изделие с массой от 96 г до 104 г. Дано F(2) = 0,9772. Найди вероятность принятия обоих изделий. Используй симметрию и таблицу, округли окончательный ответ до четырёх знаков после запятой. Запиши вероятность десятичной дробью. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,9109
Границы Z равны −2 и 2. Вероятность принятия одного изделия 0,9772 − (1 − 0,9772) = 0,9544. Для двух независимых изделий вероятность 0,9544² = 0,91087936 ≈ 0,9109.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Краткий ответ — число без единицы измерения. Для вероятности используй десятичную дробь. Табличные вероятности в условии даны для расчёта; указанные четыре знака относятся к окончательному ответу, а не к промежуточным действиям. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: Курс «Вероятность и статистика», 11 класс: содержание с.57, результаты с.58, тематическое планирование с.63–65. Закон больших чисел и выборочный метод — 3 часа; непрерывные величины — 2 часа; нормальное распределение, его числовые характеристики и свойства — 2 часа.. Дата сверки — 12 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня №436, № 1.1.3.7.1.1: Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва и др., «Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», базовый и углублённый уровни, Просвещение, 2026/2027. Приказ №436 от 22.06.2026, позиция 695. Подача сверена с законным издательским планированием Т.А. Бурмистровой, 2020, базовый план с.41–42: §70 статистическая вероятность и представление о законе больших чисел; §71 выборка, генеральная совокупность, частотные таблицы и непрерывные величины; §73 разброс. Нормальное распределение в этом историческом базовом плане отдельно не выделено; его базовый класс и действия подтверждены текущей ФРП с.65. Целевые параграфы учебника не прочитаны; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 12 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Среднее выборки и непрерывная модель

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Разброс среднего выборки

Интервал и хвост нормальной модели

Восстанови параметры нормальной модели

Условие и независимые изделия

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме