Математика · 9 класс
Практические задачи: планы, размеры и расходы — 9 класс
Составляй модели по плану, рассчитывай закупку с запасом и сравнивай расходы. 16 коротких заданий и две письменные работы по математике для 9 класса.
Потренируйся самостоятельно
Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.
Без регистрации · ответы можно записывать в тетради
Родителю или репетитору — без имени и ответов.
Для преподавателя: выдать или распечатать набор
Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».
Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.
Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.
От плана к математической модели
Сначала выбери величины и единицы. При масштабе 1:k длина на местности в k раз больше длины на плане; площадь изменяется в k² раз. Проверь, входит ли вырез, проём или дорожка в искомую площадь.
Запас добавляют к точной расчётной потребности до закупки. Если продаются только целые упаковки, округляют вверх количество упаковок. Промежуточные длины, площади и потребность не округляют, если условие этого не требует.
Остаток сверх расчётной потребности равен закупленному количеству минус потребность с запасом. Стоимость может зависеть от порога скидки и доставки: сначала проверь условие каждого тарифа.
В обратной задаче обозначь неизвестную величину. Уравнение выражает точное условие, неравенство — ограничение. Из найденных значений оставь те, которые подходят по смыслу, единицам и целочисленности.
Запиши решение и проверь
Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.
На плане масштаба 1:100 прямоугольная комната имеет размеры 4,7 см и 3,9 см. Под встроенным шкафом площадью 0,85 м² покрытие не укладывают. К площади укладки добавляют запас 9%. Упаковка покрывает 1,6 м² и стоит 780 рублей. Доставка стоит 620 рублей, но при стоимости упаковок не менее 9000 рублей бесплатна. Бюджет 9400 рублей. Найди площадь укладки, потребность с запасом, минимальное число упаковок, остаток сверх потребности с запасом и полную стоимость заказа. Проверь, хватает ли бюджета. Объясни порядок округления.
Разбор и ориентиры для проверки
Действительные размеры 4,7 м и 3,9 м. Площадь 18,33 − 0,85 = 17,48 м²; потребность 17,48 · 1,09 = 19,0532 м². Одиннадцать упаковок покрывают только 17,6 м², двенадцать — 19,2 м². Остаток 19,2 − 19,0532 = 0,1468 м². Товары стоят 12 · 780 = 9360 рублей, порог бесплатной доставки выполнен. Критерии: модель площади учитывает шкаф, запас добавлен до закупки, округлено только количество упаковок вверх, остаток использует точную потребность, условие доставки и бюджет проверены.
Проверь: Площадь укладки 17,48 м²; с запасом 19,0532 м²; 12 упаковок; остаток 0,1468 м²; стоимость 9360 рублей, доставка бесплатна. Бюджета хватает, остаётся 40 рублей.
Для прямоугольного стенда отвели 30 м ограждения на полный периметр. Его длина больше ширины на 3 м. Найди размеры и площадь стенда. Затем для другого стенда с шириной y и длиной y + 3, где y — положительное целое число метров, проверь два ограничения: периметр не больше 30 м; покрытие по 185 рублей за квадратный метр вместе с фиксированным монтажом 1200 рублей не дороже 8500 рублей. Найди все подходящие значения y и объясни, какое ограничение исключает остальные.
Разбор и ориентиры для проверки
Из 2[x + (x + 3)] = 30 следует x = 6. Для другого стенда первое условие 4y + 6 ≤ 30 даёт y ≤ 6. Стоимость равна 185y(y + 3) + 1200. При y = 4 она 6380 рублей, при y = 5 — 8600 рублей и при y = 6 — 11190 рублей. Для положительных y стоимость возрастает, значит подходят только 1–4. Критерии: составлены оба ограничения, найдены размеры первого стенда, проверены целочисленность и положительность, показано, почему y = 5 и 6 исключает бюджет, а большие y исключает и периметр. Другой правильный способ проверки допустим.
Проверь: Первый стенд: ширина 6 м, длина 9 м, площадь 54 м². Для другого стенда подходят y = 1, 2, 3, 4; наибольшие размеры 4 м на 7 м.
Задания с ответами и объяснениями
Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.
Построй модель по плану
Учитывай масштаб, контур и то, что именно требуется измерить.
На плане прямоугольный зал имеет размеры 3,6 см и 2,4 см. Масштаб 1:250. Внутри зала вдоль всех четырёх стен оставляют дорожку шириной 0,5 м. Остальную часть пола покрывают ковром. Найди площадь ковра в квадратных метрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 40
Размеры зала 9 м и 6 м. Дорожка убирает по 0,5 м с двух концов каждого размера: площадь ковра (9 − 1) · (6 − 1) = 40 м².
На плане участка масштаба 1:200 внешний прямоугольник имеет размеры 8,4 см и 6,6 см. Из одного угла вырезан прямоугольник 2,1 см на 1,6 см. Вырез не входит в участок. Найди площадь участка в квадратных метрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 208,32
Внешние размеры 16,8 м и 13,2 м, размеры выреза 4,2 м и 3,2 м. Площадь 16,8 · 13,2 − 4,2 · 3,2 = 221,76 − 13,44 = 208,32 м².
Прямоугольный участок на плане масштаба 1:400 имеет стороны 4,8 см и 3,5 см. По границе ставят ограду; проём для ворот шириной 5,6 м оставляют без ограды. Найди общую длину ограды в метрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 60,8
Стороны участка 19,2 м и 14 м. Из полного периметра исключается один проём: 2 · (19,2 + 14) − 5,6 = 60,8 м.
Прямоугольная клумба на плане масштаба 1:150 имеет размеры 2,8 см и 4,9 см. Снаружи вокруг неё устраивают дорожку шириной 1,2 м с прямоугольной внешней границей. Найди площадь только дорожки в квадратных метрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 33,48
Клумба 4,2 м на 7,35 м. Внешний прямоугольник 6,6 м на 9,75 м. Дорожка занимает 6,6 · 9,75 − 4,2 · 7,35 = 64,35 − 30,87 = 33,48 м².
Закупка и точный остаток
Продаются целые упаковки. Остаток считай сверх потребности, уже включающей указанный запас.
Пол комнаты 5,4 м на 3,6 м покрывают плиткой. К точной площади добавляют запас 7%. Упаковка покрывает 2,5 м²; покупают минимальное целое число упаковок. Сколько квадратных метров покрытия останется сверх площади с запасом? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1,6992
Потребность с запасом 5,4 · 3,6 · 1,07 = 20,8008 м². Нужно 9 упаковок, они покрывают 22,5 м². Остаток 22,5 − 20,8008 = 1,6992 м². Округление площади перед закупкой изменяет остаток.
В комнате 4,6 м на 3,8 м высота стен 2,7 м. Из площади четырёх стен исключают дверь 1,8 м² и окно 3,24 м². Стены красят в два слоя: 1 л на 7 м² в каждом слое. К точной потребности добавляют запас 6%. Краску продают в банках по 3 л; покупают минимальное число банок. Сколько литров останется сверх потребности с запасом? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2,7888
Площадь стен 2 · (4,6 + 3,8) · 2,7 − 1,8 − 3,24 = 40,32 м². Требуется 40,32 · 2 : 7 · 1,06 = 12,2112 л. Пять банок содержат 15 л. Остаток 2,7888 л.
В комнате 5,7 м на 4,3 м встроенный шкаф занимает 1,25 м² пола; под ним ламинат не укладывают. К остальной площади добавляют запас 8%. Упаковка ламината покрывает 2,4 м². Покупают минимальное целое число упаковок. Найди остаток покрытия сверх площади с запасом в квадратных метрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1,2792
Площадь укладки 5,7 · 4,3 − 1,25 = 23,26 м², с запасом 25,1208 м². Десяти упаковок недостаточно, одиннадцать покрывают 26,4 м². Остаток 26,4 − 25,1208 = 1,2792 м².
Вдоль границы прямоугольного участка 18,4 м на 11,7 м натягивают три ряда проволоки. В каждом ряду пропускают проём 3,8 м. Дополнительно на все соединения вместе требуется 14,5 м проволоки. Ко всей полученной длине добавляют запас 5%. Продаются катушки по 30 м; покупают минимальное число катушек. Найди остаток в метрах сверх потребности с запасом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 17,115
На три ряда нужно [2 · (18,4 + 11,7) − 3,8] · 3 = 169,2 м. Вместе с соединениями 183,7 м, с запасом 192,885 м. Семь катушек содержат 210 м; остаток 17,115 м.
Примени условия стоимости
Сравнивай полные расходы и проверяй границы тарифов.
В магазине А упаковка стоит 520 рублей, доставка всего заказа — 1420 рублей. В магазине Б такая же упаковка стоит 580 рублей, доставка — 400 рублей. Скидок нет. Каково наименьшее целое число упаковок, при котором общая стоимость в А строго меньше, чем в Б? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 18
Неравенство 520n + 1420 < 580n + 400 даёт 1020 < 60n, то есть n > 17. Минимальное целое n = 18. При 17 упаковках стоимости равны, что не выполняет строгое неравенство.
Упаковка стоит 620 рублей. При покупке не менее 12 упаковок скидка 8% действует на стоимость всех упаковок, но не на доставку. Доставка стоит 950 рублей. Бюджет заказа 14600 рублей. Какое максимальное целое число упаковок можно купить? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 23
При n ≥ 12 стоимость 620 · 0,92n + 950 = 570,4n + 950. Из ограничения n ≤ 13650 : 570,4 получаем максимум 23. Они стоят 14069,2 рубля; 24 упаковки — 14639,6 рубля. Заказ без скидки при n < 12 не даёт большего количества.
Заказали 17 упаковок двух видов: обычная стоит 480 рублей, усиленная — 730 рублей. Доставка всего заказа стоила 850 рублей. Общая оплата 12010 рублей, скидок нет. Сколько усиленных упаковок заказали? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 12
Без доставки товары стоят 11160 рублей. Если бы все 17 упаковок были обычными, стоимость была бы 8160 рублей. Разница 3000 рублей приходится на доплату 250 рублей за каждую усиленную упаковку: 3000 : 250 = 12.
Бригада А берёт 1700 рублей за выезд и 385 рублей за каждый час. Бригада Б берёт 590 рублей за каждый час без платы за выезд. Часы оплачивают только целиком. Сколько различных положительных целых длительностей работ одновременно дают стоимость А строго ниже Б и стоимость А не больше 6650 рублей? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Нужны два условия: 1700 + 385h < 590h и 1700 + 385h ≤ 6650. Первое даёт h > 1700 : 205, второе h ≤ 4950 : 385. Подходят только 9, 10, 11 и 12 часов — четыре длительности.
Восстанови размеры или ограничение
Выбери неизвестную и проверь найденное значение по смыслу.
Прямоугольная площадка имеет периметр 44 м и площадь 117 м². Найди длину её меньшей стороны в метрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
Если меньшая сторона x, другая 22 − x. Уравнение x(22 − x) = 117 имеет корни 9 и 13. Меньшая сторона 9 м, большая 13 м; периметр и площадь выполняются.
Прямоугольный участок шириной 8 м имеет неизвестную длину. Внутри вдоль всех четырёх сторон оставляют полосу шириной 1 м. Площадь внутреннего прямоугольника, без полосы, равна 168 м². Найди длину всего участка в метрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 30
Для длины x внутренние размеры равны 6 м и x − 2 м. Поэтому 6(x − 2) = 168, x − 2 = 28, x = 30 м. Полоса отнимается с двух концов длины.
Прямоугольный навес имеет ширину x метров и длину x + 3 метра. Ширина должна быть положительным целым числом. Покрытие обходится в 210 рублей за квадратный метр, монтаж всего навеса — 2400 рублей. Общий бюджет не больше 10000 рублей. Найди наибольшую допустимую ширину x в метрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Стоимость 210x(x + 3) + 2400 ≤ 10000. При x = 4 она 8280 рублей, при x = 5 уже 10800 рублей. Для положительных x площадь и стоимость возрастают, поэтому большего допустимого целого значения нет.
На плане прямоугольная площадка имеет размеры 4,8 см и 7,2 см. Её действительная площадь 77,76 м². Масштаб записан как 1:k. Найди k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 150
Площадь на плане 34,56 см², действительная — 777600 см². Поэтому k² = 777600 : 34,56 = 22500 и положительное k = 150. Проверка: размеры 7,2 м и 10,8 м дают 77,76 м².
Вопросы о тренировке
Как записывать ответ?
В числовом задании требуется краткий ответ: число без единицы измерения. Единица названа в вопросе. В выборе отметь один верный вариант. Автопроверка оценивает ответ; промежуточные действия и обоснование проверяй по разбору письменной работы. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.
Это подготовка к ВПР или ОГЭ?
Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.
Программа и границы проверки
Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 5–9 классы», базовый уровень, 2025: ФРП ООО, базовый уровень: алгебра 9 класса, содержание с.43–44, результаты с.47–48, тематическое планирование с.62–69; геометрия, моделирование и практические задачи при повторении с.88–89. Текстовые задачи, уравнения и неравенства, цена–количество–стоимость, точность вычислений.. Дата сверки — 12 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.
Учебник из федерального перечня №436, № 1.1.2.7.1.5: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др., под редакцией С.А. Теляковского, «Математика. Алгебра. 9 класс», базовый уровень, Просвещение, 2026/2027, ISBN978-5-09-140285-8. Приказ №436 от 22.06.2026, позиция 478. Подача сверена с законными методическими материалами издательства от 2023 года, с.15: таблица величин, стоимость и количество, составление модели практической задачи для линии 7–9. Старое планирование не определяет нынешний класс; он подтверждён ФРП. Целевые параграфы учебника не прочитаны; задания авторские. Карточка учебника у издателя.
Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 12 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.
Другие темы для тренировки
Обыкновенные дроби · 5–6 классы · Задачи на проценты · 6 класс · Десятичные дроби · 5 класс · Линейные уравнения · 7 класс · Пропорции · 6 класс · Таблицы и столбчатые диаграммы · 5 класс · Статистические характеристики · 7 класс · Смежные и вертикальные углы · 7 класс · Признаки равенства треугольников · 7 класс · Подобие треугольников · 8 класс · Многочлены · 7 класс · Задачи на движение · 5 класс · Признаки делимости · 5–6 классы · НОД и НОК · 6 класс · Положительные и отрицательные числа · 6 класс · Степень с натуральным показателем · 7 класс · Формулы сокращённого умножения · 7 класс · Линейная функция · 7 класс · Системы уравнений · 7 класс · Рациональные дроби · 8 класс · Квадратные корни · 8 класс · Квадратные уравнения · 8 класс · Линейные неравенства · 8 класс · Теорема Пифагора · 8 класс · Площадь и периметр · 5 класс · Углы и транспортир · 5 класс · Классическая вероятность · 8 класс · Простые уравнения · 5 класс · Уравнения с дробями и числами со знаком · 6 класс · Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат · 8 класс · Трапеция · 8 класс · Равнобедренный треугольник · 7 класс · Площади треугольника и четырёхугольников · 8 класс · Частота события и случайный опыт · 7 класс · Графы: вершины, рёбра, пути · 7 класс · Множества и диаграммы Эйлера · 8 класс · Дерево опыта и вероятности · 8 класс · Разброс данных и диаграмма рассеивания · 8 класс · Натуральные числа и порядок действий · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 6 класс · Задачи на работу · 5 класс · Производительность и работа · 6 класс · Объём куба и параллелепипеда · 5 класс · Координатная плоскость · 6 класс · Осевая симметрия · 6 класс · Центральная симметрия · 6 класс · Окружность и круг · 6 класс · Целые показатели и стандартный вид · 8 класс · Дробно-рациональные уравнения · 8 класс · График y=x² · 7 класс · График y=x³ · 7 класс · Обратная пропорциональность · 8 класс · График квадратного корня · 8 класс · Параллельные прямые и секущая · 7 класс · Углы треугольника · 7 класс · Высота, медиана, биссектриса · 7 класс · Построения циркулем и линейкой · 7 класс · Хорды и диаметры · 7 класс · Касательная к окружности · 7 класс · Серединный перпендикуляр · 7 класс · Теорема Фалеса · 8 класс · Средние линии · 8 класс · Синус, косинус, тангенс · 8 класс · Центральные и вписанные углы · 8 класс · Деление в столбик · 4 класс · Таблица умножения · 3 класс · Умножение в столбик · 4 класс · Деление с остатком · 3 класс · Табличное деление · 3 класс · Сложение и вычитание в столбик · 3 класс · Состав числа и дополнение до 10 и 20 · 1 класс · Переход через десяток: дополнительно, 2 класс · 1 класс · Перевод единиц длины и массы · 3–4 классы · Текстовые задачи в два-три действия · 2–3 классы · Биквадратные уравнения · 9 класс · Квадратичная функция · 9 класс · Векторы и действия с ними · 9 класс · Метод координат · 9 класс · Системы нелинейных уравнений · 9 класс · Тригонометрия и теорема косинусов · 9 класс · Теорема синусов · 9 класс · Скалярное произведение · 9 класс · Арифметическая прогрессия · 9 класс · Геометрическая прогрессия · 9 класс · Сложные проценты · 9 класс · Функция y = |x| · 7 класс · Многоугольники, дуги и секторы · 9 класс · Движения плоскости · 9 класс · Порядок действий · 2–3 классы · Время и календарь · 3–4 классы · Разряды многозначных чисел · 4 класс · Перестановки и сочетания · 9 класс · Числовые последовательности · 9 класс · Квадратные неравенства и метод интервалов · 9 класс · Квадратный трёхчлен · 8 класс · Графики функций · 9 класс · Уравнения окружности и прямой · 9 класс · Геометрическая вероятность · 9 класс · Испытания Бернулли · 9 класс · Сравнение чисел · 1 класс · Сложение и вычитание до 10 · 1 класс · Сложение и вычитание до 100 · 2 класс · Сантиметр, дециметр, метр · 2 класс · Площадь прямоугольника · 3 класс · Доли величины · 3 класс · Скорость, время, расстояние · 4 класс · Периметр · 2 класс · Внетабличное умножение и деление · 3 класс · Неизвестный компонент · 3–4 классы · Масса и вместимость · 3–4 классы · Сложение и вычитание многозначных чисел · 4 класс · Доля и целое по доле · 4 класс · Числа от 11 до 20 · 1 класс · Отрезок, ломаная и многоугольник · 1–2 классы · Смысл умножения и деления · 2 класс · Прямой угол · 2 класс, другие виды — дополнительно · Трёхзначные числа · 3 класс · Умножение и деление на 10 и 100 · 3–4 классы · Единицы площади · 4 класс · Движение навстречу · 4 класс · Письменное умножение на однозначное число · 3 класс · Деление на однозначное число с проверкой · 3–4 классы · Числовые и буквенные выражения · 2–3 классы · Таблицы и простые диаграммы · 3–4 классы · Миллиметр и километр · 4 класс · Век, год и сутки · 4 класс · Приведение к единице · 3–4 класс · Составные фигуры · 4 класс · Логарифмы и их свойства · 11 класс · Логарифмические уравнения · 11 класс · Вычисление производной · 11 класс · Касательная и смысл производной · 11 класс · Монотонность и экстремумы · 11 класс · Наибольшее и наименьшее значение · 11 класс · Радианная мера и окружность · 10 класс · Тригонометрия произвольного угла · 10 класс · Тригонометрические преобразования · 10 класс · Тригонометрические уравнения · 10 класс · Показательная функция и уравнения · 11 класс · Логарифмические неравенства · 11 класс · Показательные неравенства · 11 класс · Степень с рациональным показателем · 11 класс · Иррациональные уравнения · 10 класс · Первообразная и интеграл · 11 класс · Углы и расстояния в пространстве · 10 класс · Призма: элементы и площадь поверхности · 10 класс · Пирамида: элементы и площадь поверхности · 10 класс · Цилиндр и конус · 11 класс · Сфера и шар · 11 класс · Круговые диаграммы · 6 класс · Объёмы многогранников · 10 класс · Одночлен: коэффициент, степень и действия · 7 класс · Случайные опыты и классическая вероятность · 10 класс · Операции над событиями и сложение вероятностей · 10 класс · Условная вероятность и независимые события · 10 класс · Формула полной вероятности и дерево опыта · 10 класс · Комбинаторика и бином Ньютона · 10 класс · Испытания Бернулли и биномиальное распределение · 10 класс · Случайные величины: ожидание и дисперсия · 11 класс · Параллельность прямых и плоскостей · 10 класс · Перпендикулярность прямых и плоскостей · 10 класс · Закон больших чисел и нормальное распределение · 11 класс · генератор математических примеров · все тренажёры для школьников · все бесплатные инструменты.