Математика · 10 класс

Область определения и множество значений функции: 10 класс

Находи совместные ограничения корней и знаменателей, исследуй множество значений и границы по графику. 16 коротких заданий и две письменные работы для 10 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

При выдаче проверим вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Как сохранить все ограничения

До сокращения дроби выпиши ограничения исходной формулы: знаменатели не равны нулю, подкоренные выражения неотрицательны.

Ограничения должны выполняться одновременно. Корень в знаменателе требует строгого неравенства.

Множество значений — все получаемые значения функции. Проверь достижение каждой границы и значения в исключённых точках.

У графика отличай видимый фрагмент от всей функции. Для ограничения аргумента учитывай отдельно каждую включённую или исключённую точку.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Найди область определения функции f(x) = $\frac{\sqrt{x + 6}}{(x − 2) \sqrt{8 − x}}$ . Запиши её промежутками и обоснуй все включённые и исключённые точки.
Разбор и ориентиры для проверки
Необходимо x + 6 ≥ 0, 8 − x > 0 и x ≠ 2. Пересечение даёт [−6; 8) без точки 2. Критерии: три исходных ограничения, их пересечение, включение −6, исключение 2 и 8, равносильная запись множества.
Проверь: [−6; 2) ∪ (2; 8).
Найди область определения и множество значений функции f(x) = $\frac{x² − 9}{x − 3}$ , если −5 ≤ x ≤ 6. Объясни, как сокращение влияет на исключённую точку. Построй эскиз оставшейся части графика.
Разбор и ориентиры для проверки
Исходная формула запрещает x = 3. На остальных точках y = x + 3, поэтому образ отрезка [−5; 6] был бы [−2; 9], но значение 6 потеряно. Критерии: сохранённый запрет, обе границы и выколотая точка на эскизе, два полных множества и объяснение единственности аргумента для потерянного значения.
Проверь: D = [−5; 3) ∪ (3; 6]; E = [−2; 6) ∪ (6; 9].

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Совместные ограничения

Запиши ограничения, затем найди запрошенное число.

Для f(x) = $\frac{\sqrt{x + 3}}{x − 1}$ найди число целых аргументов из [−5; 5], входящих в область определения. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
Нужно x ≥ −3 и x ≠ 1. В [−3; 5] девять целых чисел; исключаем 1 и получаем восемь.
Найди наименьший целый аргумент из области определения f(x) = $\frac{\sqrt{10 − 2x}}{\sqrt{x + 1}}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
В числителе нужно x ≤ 5, в знаменателе x > −1. Пересечение (−1; 5] содержит целые 0, 1, 2, 3, 4, 5, наименьшее — 0.
Для f(x) = $\frac{\sqrt{(x − 2)(x + 3)}}{x + 1}$ найди число целых допустимых аргументов из [−4; 4]. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
Подкоренное выражение неотрицательно при x ≤ −3 или x ≥ 2. Знаменатель исключает −1, которое и так не входит. Подходят −4, −3, 2, 3, 4: пять чисел.
Найди наибольший целый аргумент из области определения f(x) = $\sqrt{7 − x}$ + $\frac{2}{\sqrt{x − 3}}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 7
Необходимо x ≤ 7 и x > 3. Область (3; 7]; её наибольший целый аргумент 7 допустим: первый корень равен нулю, а знаменатель ненулевой.

Потренировать эту тему →

Множество значений по формуле

Проверь, какие значения действительно достигаются.

Функция f(x) = $\sqrt{13 − x}$ + 4 рассматривается при x ∈ [−3; 9]. Найди её наименьшее значение. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Подкоренное выражение уменьшается от 16 до 4. Корень принимает все значения от 2 до 4, поэтому функция — от 6 до 8. Нижняя граница достигается при x = 9.
Для f(x) = $\frac{1}{x² + 2}$ , определённой при всех действительных x, найди наибольшее значение. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,5
Знаменатель не меньше 2, и равен 2 при x = 0. Положительная обратная величина не больше $\frac{1}{2}$ , это значение достигается.
Найди наименьшее значение f(x) = 3 − $\sqrt{16 − (x − 2)²}$ на всей её области определения. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −1
Область −2 ≤ x ≤ 6. Корень принимает значения от 0 до 4; после вычитания из 3 получаем [−1; 3]. Значение −1 достигается при x = 2.
Найди наименьшее значение f(x) = $\frac{1}{\sqrt{25 − x²}}$ на всей её области определения. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,2
Требуется −5 < x < 5. Знаменатель положителен и не больше 5; его максимум при x = 0. Поэтому минимум функции $\frac{1}{5}$ , то есть 0,2. Множество значений [0,2; +∞).

Потренировать эту тему →

Ограниченный график

Отбери участок по условию и исследуй его значения.

На рисунке показана часть графика y = $\frac{4}{x}$ . Из всего графика оставили только точки с x ∈ [−4; −1) ∪ [2; 4]. Найди наименьшее целое число, входящее в множество значений оставленной части. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −3
На отрицательном участке значения образуют (−4; −1], на положительном — [1; 2]. Число −4 не достигается, поэтому наименьшее целое в объединении равно −3.
На рисунке график y = $\sqrt{x}$ . На нём оставили точки с 1 ≤ x ≤ 16, но удалили точку с x = 9. Какого единственного значения y из [1; 4] теперь нет в множестве значений? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
График возрастает, поэтому каждому y из [1; 4] соответствовал ровно один x. Удалённой точке с x = 9 соответствует y = 3; другого аргумента с этим значением нет.
Из всего графика y = x³, часть которого показана на рисунке, оставили только точки с −2 < x ≤ 1. Найди наибольшее значение оставленной функции. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
Кубическая функция возрастает; оставленный участок имеет множество значений (−8; 1]. Правая граница включена, поэтому наибольшее значение равно 1.
Из всего графика y = $\frac{−6}{x}$ оставили точки с x ∈ [−3; −2] ∪ (1; 3]. Найди наименьшее целое число в множестве значений оставленной части. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −5
На отрицательном участке y ∈ [2; 3], на положительном y ∈ (−6; −2]. Наименьшее целое в объединении −5, поскольку −6 исключено.

Потренировать эту тему →

Исключённые значения

Работай с исходной формулой до любых сокращений.

Для f(x) = $\frac{x² − 16}{x − 4}$ найди значение y, которого нет в множестве значений функции. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
При x ≠ 4 функция равна x + 4. Исключённый аргумент дал бы 8; другого аргумента с таким значением нет. Все остальные значения достигаются.
Функция f(x) = $\frac{x² − 25}{x − 5}$ рассматривается при −6 ≤ x ≤ 7. Найди единственное число из [−1; 12], не входящее в её множество значений. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
Исходная формула исключает x = 5. На остальных аргументах y = x + 5. Образ отрезка без этой точки — [−1; 10) ∪ (10; 12]; исключено значение 10.
Найди сумму всех действительных чисел y, не входящих в множество значений f(x) = $\frac{x² − 1}{x² + x}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
Нужно x ≠ 0 и x ≠ −1. На области определения f(x) = 1 − $\frac{1}{x}$ . Значение 1 невозможно; значение 2 получилось бы только при запрещённом x = −1. Любое иное y даёт допустимый x = $\frac{1}{1 − y}$ . Исключены 1 и 2, сумма 3.
Найди сумму всех различных значений функции f(x) = $\frac{\sqrt{(x − 5)²}}{x − 5}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
При x ≠ 5 числитель равен |x − 5|. Если x > 5, значение 1; если x < 5, значение −1. Оба достигаются, иных нет, их сумма 0.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Числовое поле принимает целое число, точную десятичную запись и равную обыкновенную дробь. В выборе нужен один вариант с полным ответом. ОДЗ и преобразования проверяй по разбору; краткая автопроверка не оценивает ход решения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 10–11 классы», базовый уровень, 2025: 10 класс: содержание с. 15, результаты с. 18, планирование с. 21. Дата сверки — 25 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Содержание — по ФРП 2025. Учебник из федерального перечня № 436: Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др., «Математика. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы», базовый уровень, Просвещение, 2026. Целевые параграфы в законном фрагменте не прочитаны. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 26 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Как сохранить все ограничения

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Совместные ограничения

Множество значений по формуле

Ограниченный график

Исключённые значения

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме